第一篇 选择填空提速练13-14-【师大金卷】2025年高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

新高考数学１３— ２　 选择填空提速练１３ 　　本卷分单选题、多选题和填空题三部分,满分７３分． １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ 一、单选题:共８小题,每小题５分,共４０分． １．(２０２４􀅰山东菏泽一中月考)掷两枚质地均匀的骰子,设A＝“第一 枚出现奇数点”,B＝“第二枚出现偶数点”,则A 与B 的关系为 (　　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 ２．(２０２４􀅰四川成都教育科学研究院附中测试)已知a,b∈R,则１＜b ＜a是a－１＞|b－１|的 (　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．(２０２４􀅰河南许昌禹州高级中学月考)如图, 在四面体OABC 中,OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c, 点D 为AC 的中点,OE→＝１２ED →,则BE→＝ (　　) A．１１２a－b＋ １ １２c B． １ ６a－b＋ １ ６c C．１３a－b＋ １ ３c D． １ ２a－b＋ １ ２c ４．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的１００块稻田上 种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下 表 亩产量 [９００,９５０) [９５０,１０００) [１０００,１０５０) 频数 ６ １２ １８ 亩产量 [１０５０,１１００) [１１００,１１５０) [１１５０,１２００) 频数 ３０ ２４ １０ 根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　) A．１００块稻田亩产量的中位数小于１０５０kg B．１００块稻田中亩产量低于１１００kg的稻田所占比例超过８０％ C．１００块稻田亩产量的极差介于２００kg至３００kg之间 D．１００块稻田亩产量的平均值介于９００kg至１０００kg之间 ５．(２０２４􀅰江西南昌十九中月考)现实生活中,空旷田野间两根电线 杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲 线形态,这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中, 这类曲线可用函数f(x)＝ae ２x＋b ex (ab≠０,e＝２．７１８２８􀆺)来表 示．下列结论正确的是 (　　) A．若ab＞０,则函数f(x)为奇函数 B．若ab＞０,则函数f(x)有最小值 C．若ab＜０,则函数f(x)为增函数 D．若ab＜０,则函数f(x)存在零点 ６．(２０２４􀅰甘肃定西检测)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y２＝１(a＞１)的离心率为 ３ ２ ,P 是C 上任意一点,O为坐标原点,P 到x 轴的距离为d,则 (　　) A．４|OP|２－d２ 为定值 B．３|OP|２－d２ 为定值 C．|OP|２＋４d２ 为定值 D．|OP|２＋３d２ 为定值 ７．(２０２４􀅰河北调研联合测评)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,若c＝３,b＝２,∠BAC 的平分线AD 的长为４ ６５ ,则BC 边上的高线AH 的长等于 (　　) A．４３ B． ４ ２ ３ C．２ D． ４ ３ ３ ８．(２０２４􀅰四川绵阳东辰学校月考)已知圆C的直径AB 长为８,与C 相离的直线l垂直于直线AB,垂足为H,且０＜AH＜２,圆C上的 两点P,Q 到l的距离分别为d１,d２,且d１≠d２．若d１＝AP,d２＝ AQ,则d１＋d２＝ (　　) A．２ B．４ C．６ D．８ 二、多选题:共３小题,每小题６分,共１８分． ９．(２０２４􀅰黑龙江哈九中二模)已知复数z０＝２＋i和z,则下列命题 是真命题的有 (　　) A．若z满足|z－z０|＝z０＋z０,则其在复平面内对应点的轨迹是圆 B．若z满足|z－z０|＋|z－z０|＝４,则其在复平面内对应点的轨迹 是椭圆 C．若z满足|z－z０|－|z－z０|＝２,则其在复平面内对应点的轨迹 是双曲线 D．若z满足|z＋z０＋z０|＝|z－z０|,则其在复平面内对应点的轨 迹是抛物线 １０．(２０２４􀅰黑龙江哈六中二模)已知等差数列{an}的首项a１＝１,公 差d＝６,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数 列的数一起构成一个新的等差数列{bn},下列说法正确的有 (　　) A．an＝６n－５ B．当k＝２时,bn＝２n－１ C．当k＝２时,b１９不是数列{an}中的项 D．若b８ 是数列{an}中的项,则k的值可能为６ １１．(２０２４􀅰江西鹰潭贵溪市实验中学检测)为了估计一批产品的不 合格品率p,现从这批产品中随机抽取一个样本容量为n的样本 ξ１,ξ２,ξ３,􀆺,ξn,定义ξi＝ １,第i次不合格, ０,第i次合格,{ i＝１,２,􀆺,n,于是 P(ξi＝１)＝p,P(ξi＝０)＝１－p,i＝１,２,􀆺,n,记L(p)＝P(ξ１＝ x１,ξ２＝x２,􀆺,ξn＝xn)(其中xi＝０或１,i＝１,２,􀆺,n),称L(p) 表示p为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原 理基础上的一个统计方法,极大似然原理的直观想法是:一个随 机试验如有若干个可能的结果A,B,C,􀆺,若在一次试验中,结 果A 出现,则一般认为试验条件对A 出现有利,也即A 出现的概 率很大．极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数 的统计方法,即“模型已定,参数未知”,通过若干次试验,观察其 结果,利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最 大．根据以上原理,下面说法正确的是 (　　) A．有外形完全相同的两个箱子,甲箱有９９个白球１个黑球,乙箱 有１个白球９９个黑球．今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中 抽取一球,结果取得白球,那么该球一定是从甲箱子中抽出的 B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼,打捞了１００条鱼,其中鲤鱼８０ 条,草鱼２０条,那么推测鲤鱼和草鱼的比例为４∶１时,出现８０ 条鲤鱼、２０条草鱼的概率是最大的 C．L(p)＝p∑ n i＝１ xi(１－p)n－∑ n i＝１ xi(xi＝０或１,i＝１,２,􀆺,n) D．L(p)达到极大值时,参数p的极大似然估计值为１n∑ n i＝１ xi 三、填空题:共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰山东济宁模拟)设集合A＝{x|x２－x－６＜０},B＝{x|－a ≤x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　． １３．(２０２４􀅰高考名校名师押题卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０,|φ|＜π２ ) 的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上 所有点的横坐标缩短为原来的π ４ ,纵坐标伸 长到原来的２倍,再把得到的图象向左平移π１２ 个单位长度,可得 到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m 在 [ －π２,０] 上有两个不相 等的实数根,则m 的取值范围为　　　　． １４．(２０２４􀅰河南部分重点高中测试)在三棱柱ABC－A１B１C１ 中,四 面体A１ABC是棱长为２的正四面体,D 为棱CC１ 的中点,平面α 过点D 且与A１B 垂直,则α与三棱柱ABC－A１B１C１ 表面的交 线的长度之和为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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６．(２０２４􀅰江西南昌十九中一模)将一个棱长为４的正四面体同一侧 面上的各棱中点两两连接,得到一多面体,则这个多面体的外接球 的体积为 (　　) A．８π B．８π３ C．８ ６π２７ D． ８ ２π ３ ７．(２０２４􀅰安徽皖江名校联盟４月模拟)已知△ABC 的内角A,B,C 对边分别为a,b,c,满足asinA＋c(sinA＋sinC)＝２sinB,若b＝ ２,则△ABC面积的最大值为 (　　) A．３４ B． ３ ６ C． ３ ３ D． ３ ２ ８．(２０２４􀅰浙江丽水、湖州、衢州三地市二模)已知正实数x１,x２,x３ 满足x２１＋２x１＋１＝x１２x１,x２２＋３x２＋１＝x２３x２,x２３＋４x３＋１＝ x３４x３,则x１,x２,x３ 的大小关系是 (　　) A．x３＜x２＜x１ B．x１＜x２＜x３ C．x１＜x３＜x２ D．x２＜x１＜x３ 二、多选题:共３小题,每小题６分,共１８分． ９．(２０２４􀅰甘肃靖远三模)设集合A＝{x|x２－x≤６},B＝{xy|x∈ A,y∈A},则 (　　) A．A∩B＝B B．B∩Z的元素个数为１６ C．A∪B＝B D．A∩Z的子集个数为６４ １０．(２０２４􀅰河南TOP二十名校冲刺)已知椭圆Γ１: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b ＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,将Γ１ 上所有点的横坐标与纵坐 标分别伸长到原来的k(k＞０,k≠１)倍得到椭圆Γ２,则下列说法 正确的是 (　　) A．若t＞０,则ba＜ b＋t a＋t B．若Γ１,Γ２ 的离心率分别为e１,e２,则e１＝e２ C．若Γ１,Γ２ 的周长分别为C１,C２,则C２＝ C１ k D．若Γ１ 的四个顶点构成的四边形面积为 |F１F２|２ ４ ,则Γ１ 的离心 率为２(２－１) １１．(２０２４􀅰山西朔州应县一中一模)在信道内传输M,N,P 信号,信 号的传输相互独立,发送某一信号时,收到的信号字母不变的概 率为α(０＜α＜１),收到其他两个信号的概率均为１－α２ ． 若输入四 个相同的信号 MMMM,NNNN,PPPP 的概率分别为p１,p２, p３,且p１＋p２＋p３＝１．记事件 M１,N１,P１ 分别表示“输入 MMMM”“输入NNNN”“输入PPPP”,事件D 表示“依次输出 MNPM”,则 (　　) A．若输入信号 MMMM,则输出的信号只有两个 M 的概率为 α２(１－α)２ B．P(D|M１)＝α２(１－α２ ) ２ C．P(D|P１)＝α(１－α２ ) ３ D．P(M１|D)＝ ２αp１ (３α－１)p１＋１－α 三、填空题:共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰青海海南州部分学校一模)已知向量a＝(－１,３),b＝(３, －４),c∥(a＋b),写出一个非零向量c的坐标:　　　　． １３．(２０２４􀅰陕西安康汉滨区模拟)甲、乙两名同学利用寒假到北京旅 游,由于时间关系,只能从故宫、长城、颐和园、南锣鼓巷四个景点 中随机选择一个游玩．在甲、乙两人选择的景点不同的条件下,甲 和乙恰有一人选择颐和园的概率为　　　　． １４．(２０２４􀅰山西平遥二中押题卷)若函数y＝f(x)的图象上存在不 同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称函 数y＝f(x)具有T 性质．若函数g(x)＝ax－c２＋bsinxcosx＋ ccos２x具有T 性质,其中a,b,c为实数,且满足b２＋c２＝１,则实 数a＋b＋c的取值范围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学１４—１ 数学答案 —２６　 选择填空提速练１３ １．C　[试题解析]掷两枚质地均匀的骰子,设A＝“第一枚 出现奇数点”,B＝“第二枚出现偶数点”,事件 A 与 B 能同时发生,故事件A 与B 既不是互斥事件,也 不是对立事件,故 A,B错误;P(A)＝３６＝ １ ２ ,P(B) ＝３６＝ １ ２ ,P(AB)＝３６× ３ ６＝ １ ４ ,P(A)􀅰P(B)＝ １ ２× １ ２＝ １ ４ ,因为P(A)􀅰P(B)＝P(AB),所以A 与B 相互独立,故C正确;事件A 与B 不相等,故 D 错误．故选 C． ２．B　[试题解析]因为a－１＞|b－１|⇔１－a＜b－１＜a－１ ⇔ ２＜a＋b , b＜a,{ 所以当１＜b＜a时,a－１＞|b－１|成 立,当a－１＞|b－１|成立时,如取b＝１２ ,a＝２,此时 １＜b＜a不成立,所以１＜b＜a是a－１＞|b－１|的 充分不必要条件．故选B． ３．B　[试题解析]因 为OE→＝ １２ED →,所 以OE→＝ １３OD →＝ １ ３ ( １ ２OA →＋ １２OC → ) ,故BE→＝BO→＋OE→＝－OB→＋ １ ３OD →＝－b＋１３ ( １ ２a＋ １ ２c) ＝－b＋ １ ６a＋ １ ６c＝ １ ６a－b＋ １ ６c． 故选B． ４．C　[试题解析]对于 A,因为前３组的频率之和０􀆰０６＋ ０􀆰１２＋０􀆰１８＝０􀆰３６＜０􀆰５,前４组的频率之和０􀆰３６ ＋０􀆰３０＝０􀆰６６＞０􀆰５,所以１００块稻田亩产量的中位 数所在的区间为[１０５０,１１００),故 A不正确; 对于B,１００块稻田中亩产量低于１１００kg的稻田 所占比例为６＋１２＋１８＋３０ １００ ×１００％＝６６％ ,故 B不 正确; 对于C,因为１２００－９００＝３００,１１５０－９５０＝２００,所 以１００块稻田亩产量的极差介于２００kg至３００kg 之间,故 C正确; 对于 D,１００块稻田亩产量的平均值为 １１００× (９２５× ６＋９７５×１２＋１０２５×１８＋１０７５×３０＋１１２５×２４＋ １１７５×１０)＝１０６７(kg),故 D不正确．综上所述,故 选 C． ５．D　[试题解析]取a＝b＝１,满足ab＞０,此时f(x)＝ex ＋e－x,其定义 域 为 R,关 于 原 点 对 称,且 f(x)＝ f(－x),此时f(x)为偶函数,故 A错误; f(x)＝aex＋be－x,令ex＝t,t＞０,故y＝a(t＋ b a t ) 若存在最小值,则f(x)有最小值,因为ab＞０,故ba ＞０,根据对勾函数的单调性可知,y＝t＋ b a t ,t＞０ 有最小值,无最大值,故当a＜０时,y＝a(t＋ b a t ) ,t ＞０有最大值没有最小值,故B错误; 当a＜０,b＞０时,满足ab＜０,又y＝aex 是单调减函 数,y＝be－x是单调减函数,故f(x)＝aex＋be－x 是 单调减函数,故 C错误; 令f(x)＝０,即aex＋be－x＝０,则e２x＝－ba ,因为ab ＜０,故－ba ＞０ ,解得x＝ １２ln( － b a ) ,故当ab＜ ０,１２ln( － b a ) 即为函数零点,故 D正确．故选 D． ６．D　[试题解析]依题意,设P(x,y),则|OP|２＝x２＋y２, d２＝y２,因为椭圆C:x ２ a２ ＋y２＝１(a＞１)的离心率为 ３ ２ ,所以 １－１a２ ＝ ３２ ,解得a２＝４,所以C的方程为 x２ ４＋y ２＝１,即x２＋４y２＝４,即x２＋y２＋３y２＝４,所 以|OP|２＋３d２＝４,故 D正确,ABC错误．故选 D． ７．B　[试题解析]由 题 意 知,设 ∠BAD＝∠CAD＝α,则 ∠BAC＝２α,如图所示, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得 １ ２×３×２sin２α＝ １ ２ ×３×４ ６５ sinα＋ １ ２×２× ４ ６ ５ sinα , 整理得３sin２α＝２ ６sinα,即sinα(３cosα－ ６)＝０, 又因为sinα≠０,所以cosα＝ ６３ , 所以cos２α＝２cos２α－１＝１３ , 所以sin２α＝ １－cos２２α＝２ ２３ , 在△ABC 中,由余弦定理 得a２＝３２＋２２－２×３× ２cos２α＝１３－４＝９,所以a＝３,由S△ABC＝ １ ２bcsin２α＝ １ ２a 􀅰|AH|,可得１２×３×２× ２ ２ ３ ＝ １ ２×３|AH| ,解得 |AH|＝４ ２３ ． 故选B． ８．D　[试题解析]以AB 所在直线为x 轴,以AH 中垂线 所在直线为y 轴建系, 设AH＝２m,P,Q在l:x＝－m上的射影分别为P′,Q′, ∵PA＝PP′,AQ＝QQ′,∴P(x１,y１),Q(x２,y２)在抛物 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —２７　 线y２＝４mx上运动, y２＝４mx [x－(４＋m)]２＋y２＝１６{ ⇒x ２－ (８＋２m)x＋(４＋m)２＋４mx＝１６,∴x２＋(２m－８)x ＋m２＋８m＝０两根为x１,x２,∴d１＋d２＝x１＋x２＋ ２m＝８．故选 D． ９．AB　[试题解析]设z＝x＋yi(x,y∈R),由z０＝２＋i可 得z０＝２－i;若z满足|z－z０|＝z０＋z０＝２＋i＋２ －i＝４,即可得|x－２＋(y－１)i|＝４,所以(x－２)２ ＋(y－１)２＝１６,因此其在复平面内对应点的轨迹 表示以(２,１)为圆心,半径为４的圆,故 A 正确;若 z满足|z－z０|＋|z－z０|＝４,在复平面内表示点 (x,y)到(２,１)与(２,－１)的距离之和为４,又因为 (２,１)与(２,－１)之间的距离为２＜４,根据椭圆定 义可得其在复平面内对应点的轨迹是椭圆,故 B 正确;若z满足|z－z０|－|z－z０|＝２,在复平面内 表示点(x,y)到(２,１)与(２,－１)的距离之差为２, 又因为(２,１)与(２,－１)之间的距离为２＝２,不满 足双曲线定义,故C错误;若z满足|z＋z０＋z０|＝ |z－z０|,可化为|z＋４|＝|z－z０|,在复平面内表 示点(x,y)到(－４,０)与(２,－１)的距离相等,其在 复平面 内 对 应 点 的 轨 迹 是 直 线,故 D 错 误．故 选 AB． １０．ABD　[试题解析]an＝１＋６(n－１)＝６n－５,故 A 正 确;当k＝２时,{bn}公差d＝ ６ ３＝２ ,此时bn＝１ ＋２(n－１)＝２n－１,故 B正确;当k＝２时,bn＝ ２n－１,此时b１９＝２×１９－１＝３７,a７＝６×７－５ ＝３７,即b１９是数列{an}中的项,故 C错误;当k ＝６时,b１＝a１,又a２＝b１＋６＋１＝b８,故 D 正确． 故选 ABD． １１．BCD　[试题解析]极 大 似 然 是 一 种 估 计 方 法,故 A 错误; 设鲤鱼和草鱼的比例为t,则出现８０条鲤鱼,２０ 条草 鱼 的 概 率 为 C８０１００ ( tt＋１) ８０ ( １t＋１) ２０ ,设 f(t)＝C８０１００ ( tt＋１) ８０ ( １t＋１) ２０ , ∴f′(t)＝C８０１００ ８０t７９(t＋１)１００－１００t８０(t＋１)９９ (t＋１)２００ ＝ C８０１００ t７９ (t＋１)１０１ 􀅰(８０－２０t),∴０＜t＜４时,f′(t) ＞０,４＜t时,f′(t)＜０,∴f(t)在t∈(０,４)上单 调递增,在t∈(４,＋∞)上单调递减,故当t＝４ 时,f(t)最大,故B正确; 根据题意,L(p)＝P(ξ１＝x１,ξ２＝x２,􀆺,ξn＝ xn)(其中xi＝０或１,i＝１,２,􀆺,n),所以L(p) ＝p∑ n i＝１xi (１－p)n－∑ n i＝１xi (xi＝０ 或 １,i＝１,２,􀆺, n),故 C正确;L′(p)＝(∑ n i＝１ xi)􀅰p∑ n i＝１xi－１􀅰(１ －p)n－∑ n i＝１xi－p∑ n i＝１xi􀅰 (n－∑ n i＝１ xi ) (１－p)n－１－∑ n i＝１xi ＝p∑ n i＝１xi－１􀅰(１－p)n－１－∑ n i＝１xi􀅰 [ ( ∑ n i＝１ xi ) 􀅰(１－ p)－p (n － ∑ n i＝１ xi ) ] ＝p∑ n i＝１xi－１ 􀅰 (１－ p)n－１－∑ n i＝１xi􀅰 ( ∑ n i＝１ xi－np) ,令L′(p)＝０,解得p ＝１n∑ n i＝１ xi,且０＜p＜ １ n ∑ n i＝１ xi 时,L′(p)＞０,１＞ p＞１n∑ n i＝１ xi 时,L′(p)＜０,故L(p)在 (０,１n ∑ n i＝１ xi ) 上递增,在 ( １n∑ n i＝１ xi,１) 上递减,故L(p)达到极 大值时,参数p的极大似然估计值为 １n∑ n i＝１ xi,故 D正确．故选BCD． １２．[试题解析]集合A＝{x|x２－x－６＜０}＝{x|(x－３)􀅰(x ＋２)＜０}＝{x|－２＜x＜３},又B＝{x|－a≤x≤a},且A ⊆B,故可得 －a≤－２ , a≥３,{ 即 a≥２, a≥３,{ 解得a∈[３,＋∞)． [参考答案][３,＋∞) １３．[试题解析]由f(x)的部分图象,可得A＝１．由图可知 点 ( ２３,１) ,( １０ ３ ,－１２ ) 在f(x)的图象上,则sin(ω× ２ ３＋φ) ＝１,sin(ω× １０ ３＋φ) ＝－ １ ２ ,由五点作图法可 得ω×２３＋φ＝ π ２ ,ω×１０３＋φ＝２π－ π ６ ,解得ω＝π２ ,φ ＝π６ ,则f(x)＝sin( π２x＋ π ６ ) ．将函数f(x)图象上 所有点的横坐标缩短为原来的 π ４ ,纵坐标伸长到原来 的２倍得到y＝２sin(２x＋ π６ ) 的图象,再把得到的图 象向左平移 π １２ 个单位长度,可得到g(x)＝２sin(２x＋ π ３ ) 的图象． 作出函数g(x)的部分图象如图所示, 由根据函数g(x)的图象知:当－２＜m≤－ ３时,直线 y＝m 与函数g(x)在 [ －π２,０] 上的图象有两个交点, 即方程g(x)＝m 在 [ －π２,０] 上有两个不相等的实数 根．故m 的取值范围为(－２,－ ３]． [参考答案](－２,－ ３] １４．[试题解析]设A１B∩AB１＝O,取 AC 的中点 H,连接 CO,B１C,OH,可知CO＝OA＝ ３,OH＝ ３－１＝ ２, 由题意可知:A１B⊥AO,A１B⊥CO,且 AO∩CO＝O, AO,CO⊂平面AB１C,所以A１B⊥平面AB１C,又因为 A１B⊥平 面α,可 知 平 面 AB１C∥ 平 面α,设 平 面α∩ AA１＝E,即平面α∩平面AA１C１C＝DE,且平面AB１C ∩平面AA１C１C＝AC,则AC∥DE,且 D 为棱CC１ 的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —２８　 中点,可知E 为棱AA１ 的中点,同理取A１B１,B１C１ 的 中点F,G,连 接 EF,FG,DG,可 知 平 面α 即 为 平 面 DEFG, 则DE＝２,EF＝AO＝ ３,GF＝ １２A１C１ ＝１ ,DG＝ １ ２B１C＝OH＝ ２ ,所以α与三棱柱ABC－A１B１C１ 表 面的交线的长度之和为２＋ ３＋１＋ ２＝３＋ ３＋ ２． [参考答案]３＋ ３＋ ２ 选择填空提速练１４ １．D　[试题解析]由题意知b为x２－(４＋２i)x＋４＋ai＝０ 的实数根,则b２－(４＋２i)b＋４＋ai＝０,即b２－４b＋４ ＋(a－２b)i＝０,则 b２－４b＋４＝０, a－２b＝０,{ 解得 b＝２, a＝４,{ 所以 z＝４＋２i,所以|z２|＝２０,故 D正确．故选 D． ２．C　[试题解析]∵l∥γ,l⊂平面α,α∩γ＝a,∴l∥a,故 A错误;同理可得l∥b,故 B错误;由 A,B知a∥b, 故C正确;由 A知l∥a,∵a⊄平面β,l⊂平面β,∴a ∥β,故 D错误．故选 C． ３．B　[试题解析]因为抛物线y２＝２px(p＞０)上一点 M 到其准线 及 对 称 轴 的 距 离 分 别 为 ３ 和 ２ ２,所 以 |yM|＝２ ２, xM＋p２＝３ ,{ 即 |yM|＝２ ２, xM＝３－p２ ,{ 代 入 抛 物 线 方 程 可 得８＝２p(３－p２ ) ,整理得p ２－６p＋８＝０,解得p＝ ２或p＝４．故选B． ４．D　[试题解析]由题意f(x)＝nx２－２(x１＋x２＋􀆺＋ xn)x＋(x２１＋x２２＋􀆺＋x２n),f(x)取得最小值时,x＝ x１＋x２＋􀆺＋xn n ＝x． 故选 D． ５．B　[试题解析]设等比数列{an}的公比为b, 若aman＝apaq,则a１bm－１􀅰a１bn－１＝a１bp－１􀅰a１bq－１, 因为a１ 不等于 ０,所 以bm＋n－２＝bp＋q－２,若b＝±１ 时,无法得出 m＋n＝p＋q,所以“aman＝apaq”不是 “m＋n＝p＋q”的充分条 件;若“m＋n＝p＋q”,则 aman ＝a１bm－１ 􀅰a１bn－１ ＝a２１bm＋n－２ ＝a２１bp＋q－２ ＝ a１bp－１􀅰a１bq－１＝apaq,所以“aman＝apaq”是“m＋n ＝p＋q”的必要条件．所以“aman＝apaq”是“m＋n＝ p＋q”的必要不充分条件．故选B． ６．D　[试题解析]如图１:所得的多面体为正八面体,这正 八面体的外接球球心如图２中点O,设外接球半径 为r,正八面体的棱长为２,在△MOE 中,OM＝OE ＝r,ME＝２,∠MOE＝９０°,所以OM＝OE＝r＝ ２, 所以V＝４３πr ３＝４３π× (２)３＝８ ２３ π． 故选 D． ７．C　[试题解析]由正弦定理得sinA＝a２R ,sinB＝b２R , sinC＝c２R ,又asinA＋c(sinA＋sinC)＝２sinB,且 b＝２,所以a２＋c２＝b２－ac,故cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ －１２ ,又B∈(０,π),所以∠B＝２π３ ,由a２＋c２≥２ac, 即a２＋c２＝b２－ac＝４－ac≥２ac,得ac≤４３ ,△ABC 的面积为１ ２acsin ２π ３＝ ３ ４ac≤ ３ ３ ,故选 C． ８．A　[试题解析]因为x１,x２,x３ 为正实数,且满足x２１＋ ２x１＋１＝x１２x１,x２２＋３x２＋１＝x２３x２,x２３＋４x３＋１＝ x３４x３,则x２１＋１＝x１２x１－２x１,x２２＋１＝x２３x２ －３x２, x２３＋１＝x３４x３ －４x３,所以 x２１＋１ x１ ＝２x１ －２, x２２＋１ x２ ＝ ３x２－３, x２３＋１ x３ ＝４x３ －４,则x１＋ １ x１ ＝２x１ －２,x２＋ １ x２ ＝３x２－３,x３＋ １ x３ ＝４x３ －４,令f(x)＝x＋ １x ,x ∈(０,＋∞),由对勾函数的性质可得f(x)＝x＋１x 在(０,１)上 单 调 递 减,在(１,＋∞)上 单 调 递 增,且 f(１)＝２,满足x１＋ １ x１ ＝２x１－２的x１ 即为y＝f(x) 与y＝２x－２的交点的横坐标,满足x２＋ １ x２ ＝３x２ － ３的x２ 即为y＝f(x)与y＝３x－３的交点的横坐 标,满足x３＋ １ x３ ＝４x３ －４的x３ 即为y＝f(x)与y ＝４x－４的交点的横坐标,在同一平面直角坐标系 中画出y＝f(x)、y＝２x－２、y＝３x－３、y＝４x－４的 图象如下所示: 由图可知x３＜x２＜x１．故选 A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —２９　 ９．BCD　[试题解析]因为A＝{x|x２－x≤６}＝{x|－２≤x ≤３},所以B＝{xy|x∈A,y∈A}＝{x|－６≤x≤ ９},即A⊆B,所以A∩B＝A,A∪B＝B,B∩Z有 ６＋１＋９＝１６个元素,故 A 错误,BC 正确;而 A ∩Z有２＋１＋３＝６个元素,所以A∩Z的子集个 数为２６＝６４,故 D正确．故选BCD． １０．AB　[试题解析]设点(x′,y′)为椭圆Γ２ 上任意一点, 则由题意知 x′＝kx, y′＝ky,{ 即 x′ k ＝x , y′ k ＝y , ì î í ïï ï 代入椭圆Γ１ 的 方程得 (x′)２ k２a２ ＋ (y′)２ k２b２ ＝１．所以椭圆Γ２ 的方程为 (x′)２ k２a２ ＋ (y′)２ k２b２ ＝１(a＞b＞０)．因为a＞b＞０,t＞０, 所以b a ＜ b＋t a＋t ,故 A正确; 由已知得e１＝ a２－b２ a ,e２＝ k a２－b２ ka ＝e１ ,故 B正确; 由已知得Γ１∽Γ２,其 相 似 比 为１∶k,所 以 C１ C２ ＝ １ k ,所以C２＝kC１,因为k＞０,k≠１,故 C错误; 设c＝ a２－b２,因为Γ１ 的四个顶点构成的四边 形的面积为 |F１F２|２ ４ ,所以 １ ２ 􀅰２a􀅰２b＝ (２c)２ ４ , 所以２ab＝c２,所以２a a２－c２＝c２,所以e４＋４e２ －４＝０,所 以 e２ ＝ －４＋ ４ ２－４×(－４) ２ ＝ ２(２－１)(负舍),故 D错误．故选 AB． １１．BCD　[试题解析]因为发送某一信号时,收到的信号 字母不变的概率为α(０＜α＜１),收到其他两个 信号的概率均为１－α ２ ,即收到的信号字母变的 概率为１－α,且信号的传输相互独立,所以输入 信号 MMMM,则输出的信号只有两个 M 的概 率为 C２４α２(１－α)２＝６α２ (１－α)２,故 A错误; 因为 P(D|M１)＝ P(DM１) P(M１) ＝ α２ (１－α２ ) ２ p１ p１ ＝ α２ (１－α２ ) ２ ,故B正确; P (D |P１ )＝ P(DP１) P(P１) ＝ α(１－α２ ) ３ p３ p３ ＝ α(１－α２ ) ３ ,故 C正确; 因为 P(D|N１)＝ P(DN１) P(N１) ＝ α(１－α２ ) ３ p２ p２ ＝ α(１－α２ ) ３ ,而 P (D)＝α２ ( １－α２ ) ２ p１ ＋ α(１－α２ ) ３ p２＋α(１－α２ ) ３ p３ ＝α２ (１－α２ ) ２ p１ ＋ α(１－α２ ) ３ (１－p１)＝α(１－α２ ) ２ [αp１＋１－α２ (１－ p１)] ＝α(１－α２ ) ２ (αp１＋ １２ － α ２ － p１ ２ ＋ αp１ ２ ) ＝α(１－α２ ) ２ (３αp１－p１＋１－α２ ) ＝α( １－α ２ ) ２ 􀅰 [ (３α－１)p１＋１－α ２ ] ,所 以 P (M１ |D)＝ P(M１D) P(D)＝ P(D|M１)􀅰P(M１) P(D) ＝ α２ (１－α２ ) ２ 􀅰p１ P(D) ＝ α２ (１－α２ ) ２ 􀅰p１ α(１－α２ ) ２ [ (３α－１)p１＋１－α ２ ] ＝ ２αp１ (３α－１)p１＋１－α ,故 D正确．故选BCD． １２．[试题解析]因为a＝(－１,３),b＝(３,－４),所以a＋b ＝(－１,３)＋(３,－４)＝(２,－１),又c∥(a＋b)且c≠ ０,所以c＝λ(a＋b)(λ≠０),则c＝(２λ,－λ)(λ≠０),不 妨令c＝(４,－２)． [参考答案](４,－２)(答案不唯一) １３．[试题解析]设事件 A:甲和乙选择的景点不同,事 件 B:甲和乙恰 有 一 人 选 择 颐 和 园,所 以 P(A)＝A ２ ４ ４２ ＝ ３ ４ ,P(AB)＝C １ ２C１３ ４２ ＝３８ ,所以P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ ３ ８ ３ ４ ＝１２． 故所求概率为１ ２． [参考答案]１ ２ １４．[试题解析]由题意可得g(x)＝ax＋b２sin２x＋ c ２cos２x ＝ax＋ b ２＋c２ ２ sin (２x＋φ)．于 是 g′(x)＝a＋ b２＋c２cos(２x＋φ)＝a＋cos(２x＋φ)．设切点分别为 P１(x１,y１),P２(x２,y２),则由函数y＝g(x)具有 T 性 质,可得g′(x１)g′(x２)＝－１,即[a＋cos(２x１＋φ)][a ＋cos(２x２＋φ)]＝－１,整理得a ２＋[cos(２x１＋φ)＋ cos(２x２＋φ)]a＋cos(２x１＋φ)cos(２x２＋φ)＋１＝０,将 上式视为关于a的方程,则其判别式:Δ＝[cos(２x１＋ φ)＋cos(２x２＋φ)] ２－４[cos(２x１＋φ)cos(２x２＋φ)＋１] ≥０,即Δ＝[cos(２x１＋φ)－cos(２x２＋φ)] ２－４≥０,注 意到－１≤cos(２x１＋φ)≤１,－１≤cos(２x２＋φ)≤１,则 －２≤cos(２x１＋φ)－cos(２x２＋φ)≤２,故Δ＝[cos(２x１＋ φ)－cos(２x２＋φ)] ２－４＝０,此时 cos(２x１＋φ)＝－１, cos(２x２＋φ)＝１{ 或 cos(２x１＋φ)＝１, cos(２x２＋φ)＝－１．{ 代入 方 程 可 得a ２ ＝０,因 此a ＝０． 另一方面,由b２＋c２＝１,可设b＝cosθ,c＝sinθ,其中θ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —３０　 ∈R,则|b＋c|＝|cosθ＋sinθ|＝ ２sin(θ＋ π４ ) ≤ ２,即－ ２≤b＋c≤ ２．因此,a＋b＋c∈[－ ２,２]． [参考答案][－ ２,２] 选择填空提速练１５ １．B　[试题解析]依题意,解不等式x２≤９,得－３≤x≤３,A ＝{x∈Z|－３≤x≤３}＝{－３,－２,－１,０,１,２,３},而B ＝{ －１,０,１２,２,３} ,因此A∪B＝{ －３,－２,－１,０,１, ２,３,１２} ,所以A∪B中元素的个数为８．故选B． ２．D　[试题解析]由题意,z　　 －i１－i　－２i ＝０ 可化为－２iz ＋i(１－i)＝０,所以z＝１＋i２i ＝ (１＋i)(－i) －２i２ ＝ １２ － １ ２i ,所 以z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为 ( １２, －１２ ) ,所以复数z在复平面内对应的点在第四象 限．故选 D． ３．A　[试题解析]设等比数列{an}的公比为q,由S３＝a２ ＋５a１,得a１＋a２＋a３＝a２＋５a１,即:a３＝４a１＝a１q２, 所以,q２＝４,又a５＝４,所以,a１q４＝a１(q２)２＝a１×４２ ＝４,所以,a１＝ １ ４． 故选 A． ４．C　[试题解析]因为２a×１０＝１,所以a＝０．０５．参赛成 绩位于[５０,８０)内的频率为１０×(０．０１＋０．０１５＋ ０􀆰０３５)＝０．６,第７５百分位数在[８０,９０)内,设为８０ ＋y,则０．０３y＝０．１５,解得y＝５,即第７５百分位数 为８５,故选 C． ５．D　[试题解析]由题意知f(x)＝g(x),则a(x＋１)２－１ ＝cosx＋２ax,即cosx＝a(x２＋１)－１．令h(x)＝ cosx－a(x２＋１)＋１．易知h(x)为偶函数,由题意知 h(x)在(－１,１)上 有 唯 一 零 点,所 以h(０)＝０,即 cos０－a(０＋１)＋１＝０,得a＝２,故选 D． ６．B　[试题解析]依题意,设P(m,n)(m≥０),则n２＝６m, 所以 (|PB||PA|) ２ ＝ (m－３)２＋n２ (m＋３)２＋n２ ＝m ２－６m＋９＋６m m２＋６m＋９＋６m ＝ m ２＋９ m２＋１２m＋９ ＝ １ １＋ １２mm２＋９ ,当m＝０时,|PB||PA|＝１ ; 当m＞０时,１２m m２＋９ ＝ １２ m＋９m ≤ １２ ２ m􀅰９m ＝２,当且 仅当m＝９m ,即m＝３时,等号成立,所以 (|PB||PA|) ２ ＝ １ １＋ １２mm２＋９ ≥ １１＋２＝ １ ３ ,即|PB| |PA|≥ ３ ３ ,综 上, |PB| |PA| 取最小值 ３ ３ 时,m＝３,则 P(３,±３ ２),所以 |PB|＝ (３－３)２＋(±３ ２)２＝３ ２．故选B． ７．C　[试题解析]函数f(x)＝２sin(x＋π３ ) ＋１,依题意, ２asin(x＋π３ ) ＋２bsin(x＋ π ３－φ) ＋a＋b＝１对任 意的x∈R恒成立,即２asin(x＋ π３ ) ＋２bsin(x＋ π ３ )cosφ－２bcos(x＋ π ３ )sinφ＋a＋b－１＝０对x ∈R 恒 成 立,因 此 ２(a＋bcosφ)sin(x＋ π３ ) － ２bsinφcos(x＋π３ ) ＋a＋b－１＝０对x∈R恒成立, 于是 a＋bcosφ＝０, bsinφ＝０, a＋b－１＝０, { 显然b≠０,否则a＝０且a＝１, 矛盾,则sinφ＝０,显然cosφ≠１,否则a＋b＝０且a ＋b＝１,矛盾,从而cosφ＝－１,解得a＝b＝ １ ２ ,φ＝ (２k＋１)π,所以a－bcosφ＝１．故选 C． ８．C　[试题解析]取 AD 的 中 点E,连 接 PE,BE,因 为 △APD 是边长为２的正三角形,所以PE⊥AD,PE ＝ ３,又∠ABC＝６０°,AD∥BC,BC＝２AB＝２AD, 所以AB＝AD＝２,在△ABE 中,由余弦定理BE２＝ AE２＋AB２－２AE􀅰ABcos１２０°,即BE２＝１２＋２２－ ２×２×１× ( － １２ ) ＝７,又 PB＝ １０,所以 PB ２＝ PE２＋BE２,所 以 PE⊥BE,又 AD∩BE＝E,AD, BE⊂平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,又PE⊂ 平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,取BC 的 中点F,连 接 FA,FD,FE,则 △ABF,△DCF 及 △ADF 均为等边三角形,易知FA＝FD＝FB＝FC ＝２且FE⊥AD,又平面PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD＝AD,EF⊂平 面 ABCD,所 以 EF⊥平面PAD,所以等腰梯形ABCD 外接圆的圆 心为F,设△PAD 的外接圆的圆心为 M,则 ME＝ １ ３PE＝ ３ ３ ,设四棱锥P－ABCD 外接球的球心为 O,连接OB,OF,OM,则OM⊥平面 PAD,OF⊥平 面 ABCD,所 以 OF∥ME,OM∥EF,所 以 四 边 形 OMEF 为平行四边形,所以OF＝ME＝ ３３ ,所以外 接球的半径R＝OB＝ ( ３３ ) ２ ＋２２＝ １３３ ,所以外 接球的表面积S＝４πR２＝５２π３ ． 故选 C． ９．BD　[试题解析]因为 (x－１x ) ４ 展开式一共五项,所以 二项式系数最大项为第三项,故 A 错误;令x＝１, (x－１x ) ４ ＝０,所以各系数的和为０,故 B正确;因 为 (x－１x ) ４ 的展开通项为Tr＋１＝Cr４x４－r ( －１x ) r ＝Cr４ (－１)rx４－２r(r＝０,１,２,３,４),令４－２r＝４,得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋