第一篇 选择填空提速练3-4-【师大金卷】2025年高考数学一轮二轮衔接复习小卷练透阶段测试卷（新高考）

新高考数学３— ２　 选择填空提速练３ 　　本卷分单选题、多选题和填空题三部分,满分７３分． １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ 一、单选题:共８小题,每小题５分,共４０分． １．(２０２４􀅰河南开封二检)已知数列{an}的前n项和为Sn＝３n－１,则 a５＝ (　　) A．８１ B．１６２ C．２４３ D．４８６ ２．(２０２４􀅰海南琼海嘉积中学一模)若古典概型的样本空间Ω＝{１, ２,３,４},事件A＝{１,２},事件A,B 相互独立,则事件B 可以是 (　　) A．{１,３} B．{１,２,３} C．{３,４} D．{２,３,４} ３．(２０２４􀅰海南部分学校模拟)如图,点P,A,B 均在边长为１的小正 方形组成的网格上,则PA→􀅰(PB→－２PA→)＝ (　　) A．－８ B．－４ C．０ D．４ ４．(２０２４􀅰湖南常德３月模拟)已知(２x－３)９＝a０＋a１(x－１)＋a２(x －１)２＋􀆺＋a８(x－１)８＋a９(x－１)９,则a０＋２a１＋３a２＋􀆺＋９a８ ＋１０a９＝ (　　) A．９ B．１０ C．１８ D．１９ ５．(２０２４􀅰江西八所重点中学４月联考)函数f(x)＝|２x－m|－|lnx|有 且只有一个零点,则m的取值可以是 (　　) A．２ B．１ C．３ D．e ６．(２０２４􀅰湖南衡阳田家炳实验中学３月测试)空间四边形ABCD 中E,F,G,H 分别为AB,AD,CD,CB 上的点(不含端点)．四边形 EFGH 为平面四边形且其法向量为n．下列论述错误的为 (　　) A．BD→􀅰n＝０,则BD∥平面EFG B．EF→＝HG→,则AC∥平面EFG C．EF→􀅰HG→＝０,EF→＝HG→,则四边形EFGH 为矩形 D．BD→􀅰AC→＝０,EF→＝HG→,则四边形EFGH 为矩形 ７．(２０２４􀅰广西柳州三模)椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为e, 右焦点为F(c,０),方程ax２＋bx－c＝０的两个实根分别为x１ 和 x２,则点P(x１,x２) (　　) A．必在圆x２＋y２＝２内 B．必在圆x２＋y２＝２上 C．必在圆x２＋y２＝２外 D．与圆x２＋y２＝２的关系与e有关 ８．(２０２４􀅰重庆璧山一模)已知sinαsin( π３－α) ＝３cosαsin(α＋ π ６ ) , 则cos(２α＋π３) ＝ (　　) A．－ ３２ B．－１ C． １ ２ D． ３ ２ 二、多选题:共３小题,每小题６分,共１８分． ９．(２０２４􀅰新高考模拟卷)已知Z(A)表示集合A 的整数元素的个 数,若集合M＝{x|x２－９x＜１０},N＝{x|lg(x－１)＜１},则 (　　) A．Z(M)＝９ B．M∪N＝{x|－１＜x＜１１} C．Z(N)＝９ D．∁RM∩N＝{x|１０＜x＜１１} １０．(２０２４􀅰河南新乡二模)如图,弹簧挂着的小球做 上下运动,它在ts时相对于平衡位置的高度h (单位:cm)由关系式h＝Asin(ωt＋φ),t∈[０, ＋∞)确定,其中A＞０,ω＞０,φ∈(０,π]．小球从 最高点出发,经过２s后,第一次回到最高点,则 (　　) A．φ＝ π ４ B．ω＝π C．t＝３．７５s与t＝１０s时的相对于平衡位置的高度h之比为 ２２ D．t＝３．７５s与t＝１０s时的相对于平衡位置的高度h之比为１２ １１．(２０２４􀅰江西重点中学联考模拟)已知正方体ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为１,M 是AA′中点,P 是AB 的中点,点N 满足D′N→＝ λD′C′→(λ∈[０,１]),平面 MPN 截该正方体,将其分成两部分,设 这两部分的体积分别为V１,V２,则下列判断正确的是 (　　) A．λ＝１２ 时,截面面积为 ３ ２ B．λ＝１２ 时,V１＝V２ C．|V１－V２|随着λ的增大先减小后增大 D．|V１－V２|的最大值为 ５ １２ 三、填空题:共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰重庆南开中学七检)已知复数ω＝－１－ ３i２ ,则ω２０２４＝ 　　　　． １３．(２０２４􀅰浙江９１联盟模拟)应用抛物线和双曲 线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远 镜,这种望远镜的特点是镜铜可以很短而观察 天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的 一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图 (中心截口示意图)所示．其中一个反射镜PO１Q 弧所在的曲线为 抛物线,另一个反射镜MO２N 弧所在的曲线为双曲线一个分支． 已知F１,F２ 是双曲线的两个焦点,其中F２ 同时又是抛物线的焦 点,且∠NF２F１＝４５°,tan∠NF１F２＝ １ ４ ,△NF１F２ 的面积为１０, |O１F２|＝８,则抛物线的方程为　　　　． １４．(２０２４􀅰北京东城区一模)已知数列{an}的各项均为正数,满足 an＋１＝ca２n＋an,其中常数c∈R．给出下列四个判断: ①若a１＝１,c＜０,则an＜ １ n＋１ (n≥２); ②若c＝－１,则an＜ １ n＋１ (n≥２); ③若c＝１,an＞n(n≥２),则a１＞１; ④a１＝１,存在实数c,使得an＞n(n≥２)． 其中所有正确判断的序号是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学３—１ 新高考数学４— ２　 选择填空提速练４ 　　本卷分单选题、多选题和填空题三部分,满分７３分． １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ 一、单选题:共８小题,每小题５分,共４０分． １．(２０２４􀅰浙江９１联盟模拟)已知全集U＝{１,２,３,４,５},M∩ (∁UN)＝{１,２},(∁UM)∩N＝{４},∁U(M∪N)＝{３},则M∩N＝ (　　) A．⌀ B．{４} C．{５} D．{１,２} ２．(２０２４􀅰河北多校联考)若(１＋ai)(a－i)＞０,a∈R,则 (　　) A．a＝１ B．a＝±１ C．a≤－１或a≥１ D．a≥１ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相 等,且它们的高均为 ３,则圆锥的体积为 (　　) A．２ ３π B．３ ３π C．６ ３π D．９ ３π ４．(２０２４􀅰贵州黔东南州二模)将函数f(x)＝４sin( －３x＋π６ ) －２的 图象向右平移π ３ 个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间 [ －π１２,θ] 上的最大值为０,则θ＝ (　　) A．π３ B． π ６ C． π ９ D． π １２ ５．(２０２４􀅰海南部分学校模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 a１０＝７,S１０＝４０,则{an}的前１００项中,an 为整数的各项之和为 (　　) A．１０８９ B．１０９９ C．１１５６ D．１１６６ ６．(２０２４􀅰云南昆明三诊一模)已知函数f(x)＝ex＋e２－x,则下列说 法正确的是 (　　) A．f(x)为增函数 B．f(x)有两个零点 C．f(x)的最大值为２e D．y＝f(x)的图象关于直线x＝１对称 ７．(２０２４􀅰广西壮族自治区来宾一模)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b ＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,过F２ 作一条直线与C交于A,B 两点(不在坐标轴上),坐标原点为O,若|OA|２＝a２－b２,|BF１|＝ ５a ３ ,则C的离心率为 (　　) A．１３ B． ３ ２ C． ５ ３ D． １０ ６ ８．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)＞f(x－ １)＋f(x－２),且当x＜３时f(x)＝x,则下列结论中一定正确的是 (　　) A．f(１０)＞１００ B．f(２０)＞１０００ C．f(１０)＜１０００ D．f(２０)＜１００００ 二、多选题:共３小题,每小题６分,共１８分． ９．(２０２４􀅰重庆南开中学七检)下列命题中正确的是 (　　) A．若向量a,b满足|a􀅰b|＝|a||b|,则a∥b B．若非零向量a,b满足|a＋b|＝|a－b|,则a⊥b C．若a,b,c为平面向量,则(a􀅰b)c＝a(b􀅰c) D．若a,b,c为非零向量,且满足a􀅰b＝a􀅰c,则b＝c １０．(２０２４􀅰河北高三大数据应用调研)已知直线a,b和平面α,β,α与 β所成锐二面角为θ．则下列结论正确的是 (　　) A．若a⊥α,b⊥β,则a与b所成角为θ B．若a∥α,b∥β,则a与b所成角为θ C．若a⊂α,则a与β所成角最大值为θ D．若b⊥β,则b与α所成角为 π ２－θ １１．(２０２４􀅰辽宁鞍山二测)在平面直角坐标系中,定义d(A,B)＝ |x１－x２|＋|y１－y２|为点A(x１,y１)到点B(x２,y２)的“折线距 离”．点O是坐标原点,点Q 在直线２x＋y－２ ５＝０上,点P 在 圆x２＋y２＝１上,点R 在抛物线y２＝－４x上．下列结论中正确的 结论为 (　　) A．d(O,Q)的最小值为２ B．d(O,P)的最大值为 ２ C．d(P,Q)的最小值为 ５２ D．d(R,Q)的最小值为 ５－１４ 三、填空题:共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰安徽江南十校联考)从０,２,４,６中任意选１个数字,从１, ３,５中任意选２个数字,得到没有重复数字的三位数．在所组成的 三位数中任选一个,则该数是偶数的概率为　　　　． １３．(２０２４􀅰河南郑州二测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a, b,c,已知a＝ ２,b＝４,ccosB＋a＝０,则边c＝　　　　,点D 在 线段AB 上,且∠CDA＝３π４ ,则CD＝　　　　． １４．(２０２４􀅰福建厦门二检)已知函数f(x)＝xa－logbx(a＞０,b＞０, 且b≠１),若f(x)≥１恒成立,则ab的最小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学４—１ 数学答案 —５　 １３．[试题解析]由 题 意 知 an ＝ n２－１ ２ ,n为奇数, n２ ２ ,n为偶数, ì î í ïï ï bn ＝ (－１)nan,故数列{bn}的前３０项和为－a１＋a２－a３＋ ＋a４－􀆺－a２９＋a３０＝－ １２－１ ２ ＋ ２２ ２－ ３２－１ ２ ＋ ４２ ２－ 􀆺 －２９ ２－１ ２ ＋ ３０２ ２ ＝ ２２－１２ ２ ＋ ４２－３２ ２ ＋ 􀆺＋３０ ２－２９２ ２ ＋ １５ ２＝ １ ２ (３＋７＋１１＋􀆺＋５９)＋１５２ ＝ １ ２ × １５(３＋５９) ２ ＋１５２＝２４０． [参考答案]２４０ １４．[试题解析]由题意可得:该拟柱体的体积为中间正六 棱柱的体积与外侧６个四棱锥的体积之和,上底面边 长为２ ３,正六棱柱的体积３６ ３,四棱锥的体积为 １３ ×１×２ ３×２＝４ ３３ ,从而拟柱体的体积为３６ ３＋６× ４ ３ ３ ＝４４ ３． [参考答案]４４ ３ 选择填空提速练３ １．B　[试题解析]数列{an}的前n项和为Sn＝３n－１,所以 a５＝S５－S４＝３５－３４＝１６２．故选B． ２．A　[试题解析]对于 A,由题意得 P(A)＝ ２４ ＝ １ ２ ,P (B)＝２４＝ １ ２ ,A∩B＝{１},故P(A∩B)＝１４ ,所以 P(A∩B)＝P(A)P(B),故事件 A,B 相互独立,故 A正确; 对于B,P(B)＝３４ ,A∩B＝{１,２},故P(A∩B)＝ ２ ４＝ １ ２ , 所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B 不相互独 立,故B错误; 对于 C,P(B)＝２４＝ １ ２ ,A∩B＝∅,故P(A∩B)＝ ０,所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B 不相互 独立,故 C错误; 对于 D,P(B)＝３４ ,A∩B＝{２},故P(A∩B)＝１４ , 所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B 不相互独 立,故 D错误．故选 A． ３．A　[试题解析]如图,以点P 为坐标原点,建立平面直 角坐标系,则PA→＝(１,－３),PB→＝(６,－２),∴PB→－ ２PA→＝(６,－２)－(２,－６)＝(４,４),∴PA→􀅰(PB→－ ２PA→)＝(１,－３)􀅰(４,４)＝－８,故选 A． ４．D　[试题解析]由(２x－３)９＝a０＋a１(x－１)＋a２(x－ １)２＋􀆺＋a８(x－１)８＋a９(x－１)９,得(x－１)(２x－ ３)９＝a０(x－１)＋a１(x－１)２＋a２(x－１)３＋􀆺＋ a８(x－１)９＋a９(x－１)１０,分 别 对 两 边 进 行 求 导 得 (２x－３)９＋１８(x－１)(２x－３)８＝a０＋２a１(x－１)＋ ３a２(x－１)２＋􀆺＋９a８(x－１)８＋１０a９(x－１)９,令x ＝２,得(２×２－３)９＋１８(２－１)(２×２－３)８＝a０＋ ２a１＋３a２＋􀆺＋９a８＋１０a９,得a０＋２a１＋３a２＋􀆺＋ ９a８＋１０a９＝１９．故选 D． ５．B　[试题解析]f(x)＝|２x－m|－|lnx|＝０⇔m－２x＝ lnx或m－２x＝－lnx,显然h(x)＝２x＋lnx 单调 递增,令g(x)＝２x－lnx,(x＞０),则g′(x)＝２－ １ x ,当０＜x＜１２ 时,g′(x)＜０,g(x)单调递减,当x ＞１２ 时,g′(x)＞０,g(x)单调递增,所以g(x)min＝ g( １２ ) ＝１＋ln２,注意到h(x)＝g(x)的交点为(１, ２),而２＞１＋ln２,所以在同一平面直角坐标系中作 出h(x),g(x)的图象如图所示, 由图可知m＝h(x),m＝g(x)的根的个数之和为１, 所以m＜１＋ln２,对比选项可知m 的取值可以是１． 故选B． ６．C　[试题解析]由于n是平面EFGH 的法向量,且BD→ 􀅰n＝０,BD 不在平面EFG 内,则BD∥平面EFG, 故 A正确;对于B,由于EF→＝HG→,则四边形EFGH 为平行四边形,故EH∥FG,FG⊂平面ACD,EH⊄ 平面ACD,所以EH∥平面ACD,EH⊂平面ACB, 且平面ACD∩平面ACB＝AC,故EH∥AC,又EH ⊂平面EFG,AC⊄平面EFG,则 AC∥平面 EFG, 故B正确;对于 C,由于EF→＝HG→,则四边形EFGH 为平行四边形,EF→􀅰HG→＝０⇒EF⊥HG,显然矛盾, 故 C错误;对 于 D,由 于EF→＝HG→,由 选 项 B 可 得 EH∥AC,由于四边形EFGH 为平行四边形,故EF ∥HG,EF⊂平面ABD,GH⊄平面ABD,所以GH ∥平面ABD,GH⊂平面BCD,且平面ABD∩平面 BCD＝BD,故GH∥BD,由于BD→􀅰AC→＝０⇒BD⊥ AC,因此EH⊥HG,故四边形EFGH 为矩形,故 D 正确．故选 C． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —６　 ７．A　[试题解析]根据题目条件有b２＝a２－c２,e＝ca ． 由 x１ 和x２ 是方程ax２＋bx－c＝０的两个根,故由韦 达定理得x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝－ c a ,从而x２１＋x２２ ＝(x１ ＋x２)２ －２x１x２ ＝ b２ a２ ＋ ２ca ＝ b２＋２ac a２ ＝ a２－c２＋２ac a２ ＝１＋２ca － c２ a２ ＝１＋２e－e２＝２－(１－ e)２＜２．这 表 明 点 P(x１,x２)一 定 在 圆x２＋y２＝２ 内,A正确．故选 A． ８．C　[试题解析]由sinαsin( π３－α) ＝sinαsin[ π ２－ (α ＋π６ ) ] ＝sinαcos(α＋ π ６ ) ＝３cosαsin(α＋ π ６ ) ,所 以 tan α ＝ ３tan (α ＋ π６ ) ,则 tan α ＝ ３ × tanα＋tanπ６ １－tanαtanπ６ ＝３tanα＋ ３ １－ ３３tanα ,所以tan２α＋２ ３tanα ＋３＝０,则tanα＝－ ３,故tan(α＋ π６ ) ＝－ ３ ３ ,由 cos(２α＋ π３ ) ＝ cos２ (α＋π６ ) －sin ２ (α＋π６ ) cos２ (α＋π６ ) ＋sin ２ (α＋π６ ) ＝ １－tan２ (α＋π６ ) １＋tan２ (α＋π６ ) ＝１２． 故选 C． ９．BC　[试题解析]x２－９x－１０＜０,得－１＜x＜１０,所以 M＝{x|－１＜x＜１０},lg(x－１)＜１,０＜x－１＜１０, １＜x＜１１,所以 N＝{x|１＜x＜１１},所以Z(M)＝ １０,Z(N)＝９,M∪N＝{x|－１＜x＜１１},∁RM∩N ＝{x|１０≤x＜１１},其中只有BC正确．故选BC． １０．BC　[试题解析]由题可知小球运动的周期T＝２s,又 ω＞０,所以２πω＝２ ,解得ω＝π,当t＝０s时,Asinφ ＝A,又φ∈(０,π],所 以φ＝ π ２ ,故 A 错 误,B 正确; 对于 CD,则h＝Asin(πt＋ π２ ) ＝Acosπt,所以t ＝３．７５s与t＝１０s时的相对于平衡位置的高度 之比为Acos(π×３．７５) Acos(π×１０)＝ cos１５π４ cos１０π＝ cos( －π４ ) cos０ ＝ ２ ２ ,故 C正确,D错误．故选BC． １１．BCD　[试题解析] 如图１,当λ＝１２ 时,点 N 是D′C′的中点,易得 截面为正六边形．其棱长为 ( １２ ) ２ ＋ ( １２ ) ２ ＝ ２ ２ ,故截面面积为６× ３４× ( ２ ２ ) ２ ＝３ ３４ ,故 A 错误; 由对称性可知．当λ＝１２ 时．平面分两部分是全 等的,故体积相等,故B正确; 如图２．当λ 从 ０ 变 化 到 １ 时．截 面 从 四 边 形 MD′CP 变化至五边形 MPJC′Q(其中J 为BC 靠近B 点的三等分点,Q 为A′O′靠近A′点的三 等分点)． 结合B项可知,被截面所分两部分体积之差的 绝对值先减小至０,再逐渐增大,故 C正确;|V１ －V２|取最大值时对应为λ＝０,或λ＝１时情形． 当λ＝０时,不妨记V１ 为截面 MD′CP 左上角的 部分几何体,则V１＝VP－AMD′D ＋VP－DD′C ＝ １ ３× (１－１４ ) × １ ２＋ １ ３× １ ２×１＝ ７ ２４ ,则V２＝１－ ７ ２４＝ １７ ２４ ,此时|V１－V２|＝ １７ ２４－ ７ ２４＝ ５ １２ ;当λ＝１ 时,不妨记V１ 为截面 MPJC′Q 左上角的部分 几何体,则V１＝VP－DAMQD′＋VP－DCC′D′ ＋VQ－PCJ ＋VQ－JC′C＝ １ ３× (１－ １ １２) × １ ２＋ １ ３×１×１＋ １ ３× １ ６×１＋ １ ３ × １ ３ ×１＝ ４７ ７２ ,则V２＝１－ ４７ ７２ ＝２５７２ ,此时|V１－V２|＝ ４７ ７２－ ２５ ７２＝ １１ ３６．∴|V１－ V２|的最大值为 ５ １２ ,故 D正确．故选BCD． １２．[试题解析]由ω＝－１－ ３i２ 可得ω２＝ ( －１－ ３i２ ) ２ ＝ １＋２ ３i＋３i２ ４ ＝ －１＋ ３i ２ ,可得ω３＝ω２ω＝－１＋ ３i２ × －１－ ３i ２ ＝ １－３i２ ４ ＝１ ,因 此 ω２０２４ ＝ (ω３)６７４ω２ ＝ω２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —７　 ＝－１＋ ３i２ ． [参考答案]－１＋ ３i ２ １３．[试题解析]以F１F２ 的中点O 为原点,F１F２ 为x 轴, 建立平面直角 坐 标 系,不 妨 设 F１(－c,０),F２(c,０), N(x０,y０)(x０ ＞０,y０ ＞０)．由 tan∠NF１F２ ＝ １ ４ , ∠NF２F１＝４５°,则有 y０ x０＋c ＝１４ , y０＝c－x０, { 解得x０＝３５c,y０＝ ２ ５c ,又S△NF１F２＝ １ ２|F１F２|y０＝ ２ ５c ２＝１０,解得c＝５, |O１F２|＝８,则有 O１(－３,０),故 抛 物 线 方 程 为y２＝ ３２(x＋３)． [参考答案]y２＝３２(x＋３) １４．[试题解析]对于①:若a１＝１,c＜０,则a２＝ca２１＋a１＝c ＋１,当c＝－１３ 时,a２＝ ２ ３ ,与a２＜ １ ３ 矛盾,①错误; 对于②:若c＝－１,则an＋１＝－a２n＋an＞０,所以０＜an ＜１, 又a２＝－a２１＋a１,若－a２１＋a１＜ １ ３ ,该不等式恒成立, 即０＜a２＜ １ ３ ,由an＋１＝－a２n＋an⇒ １ an＋１ ＝ １an(１－an) ⇒ １an＋１ ＝１an ＋ １１－an ⇒ １an＋１ － １an ＝ １１－an ,由于０＜an ＜１,所以 １１－an ＞１,所以 １an＋１ －１an ＞１,所以n≥３时, １ an － １an－１ ＞１, １ an－１ － １an－２ ＞１, 􀆺 １ a３ －１a２ ＞１, ì î í ï ï ï ï ï ï 累加得１ an －１a２ ＞n－２, 所以１ an ＞n－２＋１a２ ＞n－２＋３＝n＋１,所以an＜ １ n＋１ (n≥３), 综合得an＜ １ n＋１ (n≥２),②正确; 对于③:若c＝１,an＞n(n≥２),an＋１＝a２n＋an, 假设a１≤１,则a２＝a２１＋a１≤２,与a２＞２矛盾,故a１＞ １,③正确; 对于④:当a１＝１时,若c＝２,则an＋１＝２a２n＋an,此时 a２＝２a２１＋a１＝３＞２,根据二次函数y＝２x２＋x可得其 在(０,＋∞)上单调递增,并增加得越来越快,但是函数 y＝x在(０,＋∞)上单调递增,但增加速度恒定,故在 a２＞２的情况下,an＞n必成立,即存在实数c,使得an ＞n(n≥２),④正确,故答案为②③④． [参考答案]②③④ 选择填空提速练４ １．C　[试题解析]如图,画出 Venn图,并将条件中的集合 标在图中, 如图,集合 M∩N＝{１,２,５}∩{４,５}＝{５}．故选 C． ２．A　[试题解析]显然(１＋ai)(a－i)＝２a＋(a２－１)i,依 题意,２a＋(a２－１)i是正实数,因此 ２a＞０, a２－１＝０,{ 所 以a＝１．故选 A． ３．B　[试题解析]设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为 它们的高均为 ３,且侧面积相等,所以２πr× ３＝πr (３)２＋r２,得r２＝９,所以圆锥的体积V＝１３πr ２× ３＝３ ３π,故选B． ４．C　[试题解析]由题意得g(x)＝４sin[ －３(x－ π３ ) ＋ π ６ ] －２＝４sin(３x－ π ６ ) －２．因为x∈ [ － π １２ ,θ] , 所以３x－π６∈ [ － ５π １２ ,３θ－π６ ] ．因为g(x)max＝０, 即sin(３x－ π６ ) max＝ １ ２ 所以３θ－ π６ ＝ π ６ ,θ＝ π９． 故选 C． ５．C　[试题解析]设等差数列{an}的公差为d,由a１０＝７, S１０＝４０, a１＋９d＝７, １０a１＋４５d＝４０,{ 解得 a１＝１, d＝２３ ,{ 所以an＝ １＋(n－１)×２３＝ ２n＋１ ３ ． 要使an 为整数,则２n＋１ 是３的倍数,又１≤n≤１００,n∈N∗ ,所以可令n＝３k －２(１≤k≤３４,k∈N∗ )．记{an}的前１００项中的整 数项构成的数列为{bk},则bk＝ ２(３k－２)＋１ ３ ＝２k－ １(１≤k≤３４,k∈N∗ ),所以{bk}的前３４项的和 T３４ ＝３４× (１＋６７) ２ ＝１１５６． 故选 C． ６．D　[试题解析]f′(x)＝ex－e２－x,令f′(x)＝０,得x＝ １,当x＜１时,f′(x)＜０,当x＞１时,f′(x)＞０,所 以函数f(x)在(－∞,１)上单调递减,在(１,＋∞)上 单调递增,故 A错误; 由选项 A知,函数f(x)在(－∞,１)上单调递减,在 (１,＋∞)上单调递增,且f(１)＝２e＞０,所以函数 f(x)在 R上没有零点,故B错误; 由选项 A知,函数f(x)在(－∞,１)上单调递减,在 (１,＋∞)上单调递增,所以f(x)min＝f(１)＝２e,即 函数f(x)的最小值为２e,故C错误;f(２－x)＝e２－x ＋ex＝f(x),所以函数f(x)图象关于直线x＝１对 称,故 D正确．故选 D． ７．C　[试题解析]由椭圆定义得|BF１|＋|BF２|＝２a,又 |BF１|＝ ５a ３ ,故|BF２|＝ a ３ ,因为|OA|２＝a２－b２＝ c２,故|OF１|＝|OF２|＝|OA|,故 ∠OF１A ＝ ∠OAF１,∠OF２A＝∠OAF２,又∠OF１A＋∠OAF１ ＋∠OF２A＋∠OAF２＝１８０°,故 ∠OAF１＋∠OAF２ ＝９０°,即AF１⊥AF２,设|AF２|＝m,则|AF１|＝２a－ m,|AB|＝|AF２|＋|BF２|＝m＋ a ３ ,由勾股定理得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —８　 |AB|２＋|AF１|２＝|F１B|２,即 (m＋a３ ) ２ ＋(２a－ m)２＝ (５a３ ) ２ ,解得 m＝ ２３a 或m＝a,当 m＝ ２３a 时,|AF２|＝ ２ ３a ,则|AF１|＝２a－m＝ ４ ３a ,由勾股 定理 得|AF２|２＋|AF１|２＝|F１F２|２,即 ４a２ ９ ＋ １６a２ ９ ＝４c２,解得e＝ca ＝ ５ ３ ,此时A,B 两点不在坐标轴 上,满足要求,当m＝a时,|AF２|＝a,则|AF１|＝a,此 时A在y轴上,不合要求,舍去,综上,离心率为 ５３． 故选 C． ８．B　[试题解析]因为当x＜３时,f(x)＝x,所以f(１)＝ １,f(２)＝２,对于f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),令x＝ ３,得f(３)＞f(２)＋f(１)＝２＋１＝３,令x＝４,得 f(４)＞f(３)＋f(２)＞３＋２＝５;依次类推,得f(５)＞ f(４)＋f(３)＞５＋３＝８;f(６)＞f(５)＋f(４)＞８＋５ ＝１３;f(７)＞f(６)＋f(５)＞１３＋８＝２１;f(８)＞f(７) ＋f(６)＞２１＋１３＝３４;f(９)＞f(８)＋f(７)＞３４＋２１ ＝５５;f(１０)＞f(９)＋f(８)＞５５＋３４＝８９;f(１１)＞ f(１０)＋f(９)＞８９＋５５＝１４４;f(１２)＞f(１１)＋ f(１０)＞１４４＋８９＝２３３;f(１３)＞f(１２)＋f(１１)＞ ２３３＋１４４＝３７７;f(１４)＞f(１３)＋f(１２)＞３７７＋２３３ ＝６１０;f(１５)＞f(１４)＋f(１３)＞６１０＋３７７＝９８７; 􀆺．显然f(１６)＞１０００,所以f(２０)＞１０００．故选B． ９．AB　[试题解析]由|a􀅰b|＝|a|􀅰|b|􀅰|cos‹a,b›|＝ |a|􀅰|b|得cos‹a,b›＝±１,解得‹a,b›＝０或‹a, b›＝π,即向量a与b方向相同或相反,所以a∥b, 故 A正确;由|a＋b|＝|a－b|得|a＋b|２＝|a－b |２,则a２＋２a􀅰b＋b２＝a２－２a􀅰b＋b２,整理得a 􀅰b＝０,又已知a,b是两个非零向量,故a⊥b,故 B正确;(a􀅰b)􀅰c表示与c共线的向量,而a􀅰(b 􀅰c)表示与a共线的向量,所以(a􀅰b)􀅰c＝a􀅰(b 􀅰c)不一定成立,故 C错误; a􀅰b＝|a||b|cosθ＝a􀅰c＝|a||c|cosβ,|b|cosθ ＝|c|cosβ⇒/b＝c,故 D错误．故选 AB． １０．ACD　[试题解析]因为a⊥α,b⊥β,α与β 所成锐二面 角为θ,所以a与b所成角为θ,故 A 正确;若a ∥α,b∥β,此时不能确定a与b 所成角,如直线 a∥b时,此时a与b 所成角为０,故 B错误;如 图,设平面α,β的交线为直线l,当a∥l时,a与 β所成角为０,当a与l不平行时,设a∩l＝C, 在直线a上取点A,过点 A 作AB⊥β于点B, 作OA⊥l于点O,连接OB,因为 AB⊥β,OB,l ⊂β,所以AB⊥l,又OA⊥l,AB∩OA＝A,所以 l⊥平面OAB,又OB⊂平面OAB,所以OB⊥l, 则∠AOB 即为α与β 所成锐二面角的平面角, 则∠AOB＝θ,因为AB⊥β,所以∠ACB 即为a 与β所成角,则tan∠ACB＝ AB BC≤ AB OB＝tanθ , 当且仅当a⊥l时,取等号,所以a与β所成角最 大值为θ,故 C正确; 因为b⊥β,α与β所成锐二面角为θ,所以b与α 所成角为 π ２－θ ,故 D正确．故选 ACD． １１．BCD　[试题解析]设Q(x,２ ５－２x),则d(O,Q)＝|x|＋ ２|５－x|≥|x|＋|５－x|≥|x＋ ５－x|＝ ５(当 且仅当x＝ ５时 取“＝”),故 A 错 误;设 P(x, y),则x２＋y２＝１,则d(O,P)＝|x|＋|y|≤ ２(x２＋y２)＝ ２,故 B 正 确;设 P(cosθ, sinθ),Q(x,２ ５－２x),则d(P,Q)＝|cosθ－x| ＋|sinθ－２ ５＋２x|＝|cosθ－x|＋２ sinθ２ － ５ ＋x ≥|cosθ－x|＋ sinθ２ － ５＋x ≥ cosθ－x ＋sinθ２ － ５＋x ＝ ５－ (cosθ＋ sinθ ２ ) ＝ ５－ ５ ２ (cosθ􀅰 ２ ５ ５ ＋sinθ 􀅰 ５ ５ ) ≥ ５ ２ (当 且 仅 当 sinθ＝ ５５ ,cosθ＝２ ５５ 时取“＝”),故 C正确;设 R( －t ２ ４ ,t) ,Q(x,２ ５－２x),则d(R,Q)＝ － t２ ４－x ＋|t－２ ５＋２x|＝ － t２ ４－x ＋２ t ２ － ５＋x ≥ －t ２ ４ －x ＋ t ２ － ５＋x ≥ －t ２ ４－x＋ t ２－ ５＋x ＝ － t２ ４ ＋ t ２－ ５ ＝t ２ ４－ t ２＋ ５≥ ５－ １ ４ (当且仅当t＝１时取 “＝”),故 D正确．故选BCD． １２．[试题解析]根据题意可知:若从０,２,４,６中任意选１ 个不为０的数字有C１３＝３种选法,从１,３,５中任意选２ 个数字有 C２３＝３种选法,由选出的３个数字组成三位 数有３! 种组法,共３×３×３! ＝５４种方法,其中偶数 有C１３×A２３＝１８个;若从０,２,４,６中选０,再从１,３,５中 任意选２个数字有 C２３＝３种选法,由选出的３个数字 组成三位数有 C１２×２! ＝４种组法,共１×３×４＝１２种 方法,其中偶数有 A２３＝６个;所以该数为偶数的概率为 P＝１８＋６５４＋１２＝ ４ １１． [参考答案]４ １１ １３．[试题解析]由余弦定理得c􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＋a＝０ ,即 ３a２＋c２－b２＝０,∴c２＝b２－３a２＝１６－６＝１０,解得c＝ － １０(舍)或c＝ １０; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —９　 在△ABC 中,由 余 弦 定 理 得 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ １６＋１０－２ ２×４× １０ ＝３ １０１０ ,∴sinA＝ １－cos２A＝ １０１０ ,在 △ADC中,由正弦定理得:CD＝ bsin∠CDA 􀅰sinA＝ ４ ２ ２ × １０１０ ＝ ４ ５ ５ ． [参考答案] １０　４ ５５ １４．[试题解析]函 数f(x)＝xa－logbx 的 定 义 域 为(０, ＋∞),当０＜b＜１时,可得f(x)在(０,＋∞)上单调递 增,f(b)＝ba－１＜b０－１＝０,不合题意;当b＞１时, f′(x)＝axa－１－ １xlnb＝ a x (x a－ １alnb) ,令f′(x０)＝ ０,解得x０＝ ( １alnb) １ a ,当x∈(０,x０)时,f′(x)＜０, f(x)单调递减,当x∈(x０,＋∞)时,f′(x)＞０,f(x)单 调递增,所以当x＝x０ 时,f(x)有极 小 值,也 是 最 小 值,又 因 为 f (１)≥ １ 且 f (１)＝ １,所 以 f(x)min＝f(x０)＝１, x０＝１,{ 则x０＝ ( １ alnb) １ a ＝１,得alnb＝ １,所 以 ab＝ blnb ,设 g(b)＝ blnb (b＞１),g′(b)＝ lnb－１ (lnb)２ ,令g′(b)＝０,得b＝e,当b∈(１,e),g′(b)＜０, 当b∈(e,＋∞),g′(b)＞０,所以g(b)在区间(１,e)上单 调递减,(e,＋∞)上单调递增,所以g(b)min＝g(e)＝e, 即ab的最小值为e． [参考答案]e 选择填空提速练５ １．C　[试题解析]由于cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３２＋５２－７２ ３０ ＝ ９＋２５－４９ ３０ ＜０ ,故 A 为钝角,进而三角形为钝角三 角形,故选 C． ２．B　[试题解析]抛 物 线 C:x２＝y 的 准 线 方 程 为y＝ －１４ ,又点 M 在抛物线上且纵坐标为１,所以点 M 到C 的焦点的距离为１－ ( －１４ ) ＝ ５ ４． 故选B． ３．D　[试题解析]如图,连接EF,GH, 因为GH 是△A１B１C１ 的中位线,所以GH∥B１C１, 因 为 B１E ∥C１F,且 B１E ＝C１F,所 以 四 边 形 B１EFC１ 是平行四 边 形,所 以 EF∥B１C１,所 以 EF ∥GH,所以E,F,G,H 四点共面,故 AB正确; 如图,延长EG,FH 相交于点P, 因为 P∈EG,EG⊂ 平 面 ABB１A１,所 以 P∈ 平 面 ABB１A１,因为P∈FH,FH⊂平面ACC１A１,所以P ∈平面ACC１A１,因为平面ABB１A１∩平面ACC１A１ ＝AA１,所以 P∈AA１,所 以 EG,FH,AA１ 三 线 共 点,故 C正确; 因为 EB１＝FC１,当 GB１ ≠HC１ 时,tan∠EGB１ ≠ tan∠FHC１,又 ０＜ ∠EGB１ ＜ π ２ ,０＜ ∠FHC１ ＜ π ２ ,则∠EGB１≠∠FHC１,故 D错误．故选 D． ４．B　[试题解析]求导函数可得,y′＝２x－２,∵切点P 的 横坐标的取值范围是 [１,３２ ] ,∴２x－２∈[０,１],设 切线的倾斜角为α,则tanα∈[０,１],∵α∈[０,π), ∴α∈ [０,π４ ] ．故选B． ５．D　[试题解析]设事件D１,D２,D３ 分别为“此人来自甲、 乙、丙三个地区”,事件F１,F２,F３ 分别为“此人患了 流感,且分别来自甲、乙、丙地区”,事件G 为“此人 患了流感”．由 题 可 知,P(F１)＝ ５x １０００ ,P(F２)＝ ３y １０００＝ ３x＋３ １０００ ,P(F３)＝ ２z １０００＝ ２x＋４ １０００ ,P(G)＝ P(F１)＋P(F２)＋P(F３)＝ １０x＋７ １０００ ,由条件概率公 式可 得 P(D１|G)＝ P(D１G) P(G) ＝ P(F１) P(G)＝ ５x １０x＋７ , P(D２|G)＝ P(D２G) P(G) ＝ P(F２) P(G)＝ ３x＋３ １０x＋７ ,P(D３|G) ＝ P(D３G) P(G) ＝ P(F３) P(G) ＝ ２x＋４ １０x＋７ ,由 题 意 可 得 P(D１|G)≥P(D２|G), P(D１|G)≥P(D３|G),{ 即 ５x≥３x＋３, ５x≥２x＋４,{ 解 得 x≥ ３ ２． 故选 D． ６．B　[试题解析]设P 点坐标为(a,b),则由已知条件OP→ ＝xOA→＋yOB→可得 a＝x , b＝３y,{ 整理得 x＝a, y＝b３．{ 又因为|x|＋|y|＝１,所以P 点坐标对应轨迹方程 为|３a|＋|b|＝３． a≥０,且b≥０时,方程为３a＋b＝３;a≥０,且b＜０ 时,方程为b＝３a－３; a＜０,且b≥０时,方程为b＝３a＋３;a＜０,且b＜０ 时,方程为３a＋b＝－３． P 点对应的轨迹如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋