8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. tan15°+ 1 tan15° 等于 （ ） A. 2 B. 2 3 姨 C. 4 D. 4 3 姨 3 2. cos兹=- 1 5 ， 5π 2 <兹 <3π ， 则 sin 兹 2 = （ ） A. 10 姨 5 B. - 10 姨 5 C. 15 姨 5 D. - 15 姨 5 3. 设 5π<兹<6π ， cos 兹 2 =a ， 则 sin 兹 4 的值等于 （ ） A. - 1+a 姨 2 B. 1-a 姨 2 C. 1+a 2 姨 D. - 1-a 2 姨 4. 设 π<α<3π ， cosα=m ， cos α 2 =n ， cos α 4 =p ， 则下列各式中 正确的是 . （填序号） 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 1 课时 半角公式 41 ①n=- 1+m 2 姨 ； ②n= 1+m 2 姨 ； ③p= 1+n 2 姨 ； ④p=- 1+n 2 姨 . 5. 已知 sin α 2 -cos α 2 =- 5 姨 5 ， 450°<α<540° ， 求 sinα 及 tan α 2 的值 . 42 日期： 班级： 姓名： 1. sin75°-sin15° 的值为 （ ） A. １ 2 B. 2 姨 2 C. ３ 姨 2 D. - １ 2 2. cos15°sin105°= （ ） A. 3 姨 4 + １ 2 B. 3 姨 4 - １ 2 C. ３ 姨 2 +1 D. 3 姨 2 -1 3. 已知 α-β= π 3 且 cosα-cosβ= 1 3 ， 则 cos （ α+β ） = （ ） A. １ 3 B. 2 3 C. 7 9 D. 8 9 4. 函数 y= sin2x+sin 2x+ π 3 3 # cos2x+cos 2x+ π 3 3 3 的最小正周期是 . 5. （多选题） 下列各式中， 值为 3 姨 2 的是 （ ） 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 2 课时 积化和差、 和差化积公式 43 A. 2sin15°cos15° B. cos 2 15°-sin 2 15° C. 1-2sin 2 15° D. sin 2 15°+cos 2 15° 6. 化简下列各式： （ 1 ） cosA+cos （ 120°+B ） +cos （ 120°-B ） sinB+sin （ 120°+A ） -sin （ 120°-A ） ； （ 2 ） sinA+2sin3A+sin5A sin3A+2sin5A+sin7A . 44 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2ｓｉｎ8０°-ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 2ｓｉｎ （ 5０°+30° ） －ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０°+cos50°－ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 . 故选 Ｃ． １３. ＣＤ 【解析】 ∵ｓｉｎ （ π－θ ） ＝ 2 3 |θ |< π 2 2 # ， ∴ｓｉｎθ＝ 2 3 ， ｃｏｓθ＝ 5 姨 3 ， 从而 ｓｉｎ２θ＝２× 2 3 × 5 姨 3 = 4 5 姨 9 ， ｃｏｓ２θ＝１－ ２ｓｉｎ ２ θ＝ 1 9 ， 故选 ＣＤ． １４. ３ 【解析】 1-cosθ+sinθ 1+cosθ+sinθ = 2sin 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 2cos 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 = 2sin θ 2 sin θ 2 +cos θ 2 2 2 2cos θ 2 cos θ 2 +sin θ 2 2 2 =ｔａｎ θ 2 =3. １５. 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ 1 2 ｃｏｓ２ｘ－ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎ２ｘ ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ 1 2 ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ 2x- π 6 2 . （ ２ ） ｆ （ α ） ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 = 1 7 ， ２α 是第一象限角 ， 即 ２ｋπ＜２α＜ π 2 ＋２ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴２ｋπ－ π 6 ＜２α－ π 6 ＜ π 3 ＋２ｋπ ， ∴cos 2α- π 6 2 = 4 3 姨 7 ， ∴ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 + π 6 6 ( ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 ｃｏｓ π 6 ＋cos 2α- π 6 2 sin π 6 = 1 7 × 3 姨 2 + 4 3 姨 7 × 1 2 = 5 3 姨 14 . １６. 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝２ｃｏｓｘ 1 2 sinx+ 3 姨 2 cos 2 2 x - 3 姨 · 1-cos2x 2 + 1 2 sin2x ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 · 1+cos2x 2 - 3 姨 · 1-cos2x 2 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ， 因此该 函数的最小正周期为 π. 令 ２ｋπ－ π 2 ≤２ｘ＋ π 3 ≤２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 则 － 5 12 π＋ｋπ≤ｘ≤ 1 12 π＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）的单 调递增区间为 － 5 12 π＋ｋπ ， 1 12 π＋ｋ 6 ｋ π ， ｋ∈Ｚ． （ ２ ） 由题意得 ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ＝１ ， ∴2x+ π 3 ＝２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ Ｚ ， ｘ＝ｋπ＋ π 12 ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］， 当 ｋ＝０ 时， ｘ＝ π 12 ； 当 ｋ＝１ 时， ｘ＝ 13 12 π ； …； 当 ｋ＝６４２ 时， ｘ＝６４２π＋ π 12 ≈２ ０１６． 当 ｋ＝６４３ 时， ｘ＞２ ０１９. ∴ 方程 ｆ （ ｘ ） ＝２ 在 ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］ 上解的个数为 ６４３． 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 1 课时 半角公式 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） ｓｉｎ π 24 ｃｏｓ π 24 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 12 ＝ 1 2 1-cos π 6 2 姨 = 1 2 1- 3 姨 2 2 姨 = 2- 3 姨姨 4 = 6 姨 - 2 姨 8 . （ ２ ） ①∵π＜θ＜2π ， ∴ π 2 ＜ θ 2 ＜π. 又 ∵ｃｏｓ θ 2 ＝ａ ， ∴ｓｉｎ θ 2 = 1-cos 2 θ 2 姨 = 1-a 2 姨 ， ∴ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ θ 2 ｃｏｓ θ 2 ＝2a 1-a 2 姨 . ②ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ ２ θ 2 －１＝２ａ ２ －１． ③ｓｉｎ ２ θ 4 ＝ 1-cos θ 2 2 = 1-a 2 . 变式训练 ２ 解： ∵π＜α＜ 3π 2 ， ∴ π 2 ＜ α 2 ＜ 3π 4 ， 利用半角公式可得， １＋ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ＝－ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ， １-ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｓin α 2 = 2 姨 sin α 2 . ∴ 原式 ＝ １＋ｓｉｎα - 2 姨 ｃｏｓ α 2 +ｓin α 2 2 2 + １-ｓｉｎα 2 姨 ｓin α 2 -cos α 2 2 2 = cos α 2 +sin α 2 2 2 2 - 2 姨 cos α 2 +sin α 2 2 2 + sin α 2 -cos α 2 2 2 2 2 姨 sin α 2 -cos α 2 2 2 =- 2 姨 cos α 2 . 变式训练 ３ 证明： 由 sin α 2 =± 1-cosα 2 姨 ， 知 sin α 4 ＝± 1-cos α 2 2 姨 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 ＝ 1-cos α 2 2 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 -1= 1-cos α 2 2 -1=- cos α 2 +1 2 ， 原 等式得证 ． 变式训练 ４ 解： 由根与系数的关系可知 ｔａｎα＋ｔａｎβ＝－４a ， ｔａｎαｔａｎβ＝３ａ＋１ １ ， 且 ａ＞１ ， ∴ ｔａｎα＋ｔａｎβ 1-ｔａｎαｔａｎβ = 4 3 ， ∴ｔａｎ （ α＋β ） ＝ 4 3 . 又 ∵－ π 2 ＜α＜０ ， － π 2 ＜β＜ ０ ， ∴－π＜α＋β＜０ ， ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－ 4 5 ， ｃｏｓ （ α＋β ） ＝－ 3 5 ， ∴ｔａｎ α＋β 2 ＝ １－ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－２． 变式训练 ５ 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝－ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ ＝２ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 . ∴ ｆ （ ｘ ）的最小正周期 Ｔ＝ 2π 2 ＝π． （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 ， 64 参 考 答 案 由于 ｘ∈ 0 ， 仔 2 " # ， ∴2x- 仔 4 ∈ - 仔 4 ， 3仔 4 " 4 ， 则 ｓｉｎ 2x- 仔 4 4 & ∈ - 2 姨 2 ， " 4 1 ， ∴ ｆ （ ｘ ）在 0 ， 仔 2 " 4 上的最大值为 ２ 2 姨 ， 最小值为 －２． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｄ ３. Ｄ ４. ① ５. 解： sin α 2 -cos α 2 4 & 2 =1-ｓｉｎα＝ 1 5 ， ∴ｓｉｎα＝ 4 5 ， ∴ｓｉｎ α 2 · cos α 2 ＝ sinα 2 = 2 5 ， ∴ ｓｉｎ α 2 cos α 2 ｓｉｎ 2 α 2 +cos 2 α 2 = taｎ α 2 taｎ 2 α 2 +1 = 2 5 ， 解得 ｔａｎ α 2 ＝２ 或 ｔａｎ α 2 ＝ 1 2 . ∵４５０°＜α＜５４０° ， ∴２２５°＜ α 2 ＜２７０° ， ∴ｔａｎ α 2 ＞１ ， ∴ｔａｎ α 2 ＝２. 综上可知 ｓｉｎα＝ 4 5 ， ｔａｎ α 2 ＝２． 练习手册 效果评价 １. Ａ 【解析】 ∵α∈ 3仔 2 ， 2 4 & 仔 ， ∴ α 2 ∈ 3仔 4 ， 4 & 仔 ， ｓｉｎ α 2 ＝ １－ｃｏｓα 2 姨 ＝ 10 姨 5 . 故选 Ａ． ２. Ａ 【解析 】 ∵α 是第二象限角， 且 ｓｉｎ α 2 ＜ｃｏｓ α 2 ， ∴ α 2 为第三象限角 ， ∴ｃｏｓ α 2 ＜０. ∵ｔａｎα＝－ 4 3 ， ∴ｃｏｓα＝－ 3 5 ， ∴ｃｏｓ α 2 ＝－ １+ｃｏｓα 2 姨 =- 5 姨 5 . 故选 Ａ． ３. ＢＤ 【解析】 ∵ ｆ （ ｘ ） ＝ cｏｓ２ｘ－１ sin2x = -２sin ２ ｘ 2sinxcosx =－ｔａｎｘ ， ∴ ｆ （ ｘ ） 的图象不是轴对称图形， 关于点 仔 2 ， 4 & 0 对称， 最小正周 期为 仔 ， 在 0 ， 仔 2 4 & 内单调递减 . 故选 ＢＤ． ４. Ｂ 【解析】 方法一： ∵１８０°＜θ＜２７０° ， ∴９０°＜ θ 2 ＜１３５° ， ∴ｔａｎ θ 2 ＜０ ， ∴ｔａｎ θ 2 ＝－ １-ｃｏｓθ １+ｃｏｓθ 姨 =- １- - 3 5 4 & 1+ - 3 5 4 & 姨 =-2. 方法二： ∵１８０°＜θ＜２７０° ， ∴ｓｉｎθ＜０ ， ∴ｓｉｎθ＝- 1-cos 2 θ 姨 = － 1- 9 25 姨 =- 4 5 ， ∴ｔａｎ θ 2 = sinθ １+ｃｏｓθ = - 4 5 1+ - 3 5 4 & =-2. 故选 Ｂ． ５. Ｂ 【解析 】 ｃｏｓθ＝ cos 2 θ 2 -siｎ 2 θ 2 cos 2 θ 2 +siｎ 2 θ 2 = 1-taｎ 2 θ 2 1+taｎ 2 θ 2 = 1-3 2 1+3 2 = － 4 5 . 故选 Ｂ. 6. A 【解析】 ∵α 是第三象限角， ｃｏｓα＝- 4 5 ， ∴sinα=- 3 5 . ∴ 1+tan α 2 1-tan α 2 = 1+ sin α 2 cos α 2 1- sin α 2 cos α 2 = cos α 2 +sin α 2 cos α 2 -sin α 2 = 1+sinα cosα = 1- 3 5 - 4 5 =- 1 2 . 故选 A. 7. - 1-a 2 姨 【解析 】 由 sin 2 θ ４ = 1-cos θ 2 2 ， ∵θ∈ （ 5仔 ， 6仔 ）， ∴ θ ４ ∈ 5仔 4 ， 3仔 2 4 & ， ∴sin θ ４ =- 1-cos θ 2 2 姨 =- 1-a 2 姨 . 8. - 1 9 【解析】 sin 2 B+C 2 +cos2A= 1-cos （ B+C ） 2 +2cos 2 A- 1= 1+cosA 2 +2cos 2 A-1=- 1 9 . 9. - 4 3 【解析】 ∵α 是第三象限角， ∴ ２ｋ仔＋仔＜α＜２ｋ仔＋ 3仔 2 ， ∴ ｋ仔＋ 仔 2 ＜ α 2 ＜ｋ仔＋ 3仔 4 ， ∴ｔａｎ α 2 ＜－１ ， ｓｉｎα＝ 2tan α 2 1+tan 2 α 2 =- 24 25 ， 整理得 １２ｔａｎ ２ α 2 ＋２５ｔａｎ α 2 ＋１２＝０ ， ∴ｔａｎ α 2 =- 4 3 或 － 3 4 （舍） ． 10. 解： （ 1 ） 由 tanx= 2tan x 2 1-tan 2 x 2 = 2× 1 2 1- 1 2 4 & 2 = 4 3 且 x 为 锐角， ∴cosx= 1 1+tan 2 x 姨 = 3 5 . ∵cosx=2cos 2 x 2 -1= 3 5 ， 解得 cos x 2 = 2 5 姨 5 ， 而 tan x 2 = sin x 2 cos x 2 = 1 2 ， ∴sin x 2 = 1 2 cosx= 5 姨 5 . （ 2 ） 由题知 ０＜ｙ－ｘ＜仔 ， 由 ｃｏｓ （ ｙ－ｘ ） ＝ 5 13 得到 ｙ－ｘ 为锐 角， ∴ｓｉｎ （ ｙ－ｘ ） ＝ 1- 5 13 4 & 2 姨 ＝ 12 13 ， 则 ｔａｎ （ ｙ－ｘ ） ＝ tany-tanx 1+tanytanx ＝ 12 5 . 由 ｔａｎｘ＝ 4 3 ， ∴ｔａｎｙ＝－ 56 33 . ｃｏｓｘ＝ 3 5 ， ∵ｙ 为钝角， ∴ｃｏｓｙ＝ － 1 1+tan 2 y 姨 =- 33 65 . 提升练习 11. B 【解析】 由 sin 2 θ+cos 2 θ=1 ， 得 m-3 m+5 4 & 2 + 4-2m m+5 4 & 2 = 1 ， 解得 ｍ＝０ 或 ８． 当 ｍ＝０ 时 ， ｓｉｎθ＜０ ， 不符合 仔 2 ＜θ＜仔 ， ∴ｍ＝０ 舍去， 故 ｍ＝８ ， ｓｉｎθ＝ 5 13 ， ｃｏｓθ＝－ 12 13 ， ｔａｎ θ 2 = 1-cosθ sinθ = 1+ 12 13 5 13 =5. 故选 Ｂ. 65 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 12. BC 【解析 】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ２ｘ＋１ ， 故 Ｔ＝ 2π 2 ＝π ， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝ １＋１＝２. ｆ （ ｘ ）的对称轴为 ２ｘ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ｘ＝ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 故选 ＢＣ. 13. tan x 2 【解析】 原式 = ２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ ２ｃｏｓ ２ ２ｘ · ｃｏｓ２ｘ 1+ｃｏｓ２ｘ · cosx 1+cosx = sin2x 1+cos2x · cosx 1+cosx = ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ 2cos 2 x · cosx 1+cosx = sinx 1+cosx =tan x 2 . 14. 0 ， π 6 " # ∪ 5π 6 ， ， & π 【 解 析 】 由 题 意 知 ， Δ ＝ （ ８ｓｉｎα ） ２ -４×８×ｃｏｓ２α≤０ ， 即 ２ｓｉｎ ２ α-ｃｏｓ２α≤０ ， ∴４ｓｉｎ ２ α≤１ ， ∴- 1 2 ≤ｓｉｎα≤ 1 2 . ∵０≤α≤π ， ∴０≤α≤ π 6 或 5π 6 ≤α≤π. 15. 解 ： 设 ∠ＡＯＢ＝α ， △ＯＡＢ 的 周 长 为 ｌ ， 则 ＡＢ ＝ Ｒｓｉｎα ， ＯＢ ＝Ｒｃｏｓα ， ∴ｌ ＝ＯＡ ＋ＡＢ ＋ＯＢ ＝Ｒ ＋Ｒｓｉｎα ＋Ｒｃｏｓα ＝ Ｒ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） ＋Ｒ＝ 2 姨 Ｒｓｉｎ α＋ π 4 4 , ＋Ｒ. ∵０＜α＜ π 2 ， ∴ π 4 ＜ α＋ π 4 ＜ 3π 4 ， ∴ｌ 的最大值为 2 姨 Ｒ＋Ｒ＝ （ 2 姨 ＋１ ） Ｒ. 此 时 ， α＋ π 4 ＝ π 2 ， 即 α＝ π 4 ， 即当 α＝ π 4 时 ， △ＯＡＢ 的周长 最大 . 16. 解 ： （ 1 ） ∵cos π 6 + 4 , α cos π 3 - 4 , α =cos π 6 + 4 , α · sin π 6 + 4 , α = 1 2 sin 2α+ π 3 4 , =- 1 4 ， ∴sin 2α+ π 3 4 , =- 1 2 . ∵α∈ π 3 ， π 2 4 , ， ∴2α+ π 3 ∈ π ， 4π 3 4 , ， ∴cos 2α+ π 3 4 , =- 3 姨 2 ， ∴sin2α=sin 2α+ π 3 4 , - π 3 " & =sin 2α+ π 3 4 , cos π 3 -cos 2α+ π 3 4 , · sin π 3 = 1 2 . （ 2 ） ∵α∈ π 3 ， π 2 4 , ， ∴２α∈ 2π 3 ， 4 , π . 又由 （ １ ） 知 ｓｉｎ２α＝ 1 2 ， ∴ｃｏｓ２α＝- 3 姨 2 . ∴ｔａｎα- 1 tanα = sinα cosα - cosα sinα = sin 2 α-cos 2 α sinαcosα = -2cos2α sin2α =-2× - 3 姨 2 1 2 =2 3 姨 . 第 2 课时 积化和差、 和差化积公式 学习手册 变式训练 1 B 【解析 】 原式 = 1 2 sin π 3 + π 6 +α+ 4 , 茁 +sin π ６ +α- 4 , 茁 " & = 1 2 cos （ α+茁 ） + 1 2 sin π 6 +α- 4 , 茁 . 故选 B. 变式训练 2 解 ： （ 1 ） 原式 =cosx-cos π 3 =-2sin x+ π 3 2 · sin x- π 3 2 = -2sin x 2 + π 6 4 , sin x 2 - π 6 4 , . （ 2 ） 原式 =2 1 2 + sin 4 , x =2 sin π 6 + sin 4 , x =4sin x+ π 6 2 · cos x- π 6 2 =4sin x 2 + π 12 4 , cos x 2 - π 12 4 , . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） sin54° -sin18° =2cos ５４°+１８° 2 sin ５４°-１８° 2 = 2cos36° sin18° =2 × ２ｓｉｎ１８°ｃｏｓ１８°ｃｏｓ３６° 2cos18° = ２ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６° ２ｃｏｓ１８° = ｓｉｎ７２° ２ｃｏｓ１８° = ｃｏｓ１８° ２ｃｏｓ１８° = 1 2 . （ 2 ） ｃｏｓ１４６°＋ｃｏｓ９４°＋２ｃｏｓ４７°ｃｏｓ７３°＝２ｃｏｓ１２０°ｃｏｓ２６°＋２× 1 2 （ ｃｏｓ１２０° ＋ｃｏｓ２６° ） ＝２ × - 1 2 4 , ×ｃｏｓ２６° ＋ - 1 2 4 , ＋ｃｏｓ２６° ＝ -ｃｏｓ２６°＋ - 1 2 4 , ＋ｃｏｓ２６°＝- 1 2 . 变式训练 4 证明： ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π ， ∴Ｃ＝π- （ Ａ＋Ｂ ）， C 2 ＝ π 2 - A+B 2 . 因 此 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋２ｓｉｎ A+B 2 ｃｏｓ A+B 2 ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋ｃｏｓ A+B 2 4 , ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ２ｃｏｓ A 2 ｃｏｓ B 2 ＝２ｃｏｓ Ｃ 2 · ２ｃｏｓ A 2 · ｃｏｓ B 2 ＝４ｃｏｓ A 2 · ｃｏｓ B 2 ｃｏｓ Ｃ 2 . 变式训练 5 解： ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０° ， 且 Ａ＋Ｃ＝２Ｂ ， ∴Ｂ＝６０° ， Ａ＋Ｃ＝１２０°. ∴ 原式可化为 ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝-２ 2 姨 ｃｏｓＡｃｏｓＣ. ∴２ｃｏｓ A+C 2 · ｃｏｓ A-C 2 ＝- 2 姨 ［ ｃｏｓ （ Ａ＋Ｃ ） ＋ｃｏｓ （ Ａ-Ｃ ）］ . 由 Ａ＋Ｃ＝１２０° ， 代入上式得 ｃｏｓ A-C 2 ＝ 2 姨 2 - 2 姨 ｃｏｓ （ Ａ- Ｃ ） ＝ 2 姨 2 -２ 2 姨 ｃｏｓ ２ A-C 2 ＋ 2 姨 ， 即 ２ 2 姨 ｃｏｓ ２ A-C 2 ＋ ｃｏｓ A-C 2 - 3 2 姨 2 ＝０ ， ∴ 2 2 姨 cos A-C 2 + 4 , 3 cos A-C 2 - 2 姨 2 4 , = 0. ∵２ 2 姨 ｃｏｓ A-C 2 ＋３≠0 ， ∴ｃｏｓ A-C 2 = 2 姨 2 . 随堂练习 1. B ２. Ａ ３. Ｃ ４. π 2 ５. ＢＣ ６. 解 ： （ 1 ） 原式 = ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ１２０°ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＋２ｃｏｓ１２０°ｓｉｎＡ = ｃｏｓＡ-ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ-ｓｉｎＡ = 2sin A+B 2 sin B-A 2 2cos A+B 2 sin B-A 2 =tan A+B 2 . （ 2 ） 原式 = （ ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ５Ａ ） ＋２ｓｉｎ３Ａ （ ｓｉｎ３Ａ＋ｓｉｎ７Ａ ） ＋２ｓｉｎ５Ａ = ２ｓｉｎ３Ａｃｏｓ２Ａ＋２ｓｉｎ３Ａ ２ｓｉｎ５Ａｃｏｓ２Ａ＋２ｓｉｎ５Ａ = ２ｓｉｎ３Ａ （ ｃｏｓ２Ａ＋１ ） ２ｓｉｎ５Ａ （ ｃｏｓ２Ａ＋１ ） = sin3A sin5A . 练习手册 效果评价 1. A 【 解 析 】 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ ２ ωｘ ＋ 3 姨 ｓｉｎωｘｓｉｎ ωx+ π 2 4 , ＝ 66 参 考 答 案 ｓｉｎ ２ ωｘ ＋ 3 姨 ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ωｘ - 1 2 ｃｏｓ２ωｘ ＋ 1 2 ＝ ｓｉｎ 2ωx- 仔 6 " # ＋ 1 2 ， ∵Ｔ ＝ ２仔 2ω ＝ 仔 ω ＝仔 ， ∴ω ＝１ ， 即 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 2x- 仔 6 " 6 ＋ 1 2 . 当 ｘ∈ 0 ， 2仔 3 3 ' 时， ２ｘ- 仔 6 ∈ - 仔 6 ， 7仔 6 3 6 ， ∴ｓｉｎ 2x- 仔 6 " 6 ∈ - 1 2 ， 3 6 1 ， ∴ ｆ （ ｘ ）的值域为 0 ， 3 2 3 6 ， 故选 Ａ. 2. A 【解析】 原式 ＝２ｓｉｎ３０°ｃｏｓ１０°-ｓｉｎ８０°＝ｃｏｓ１０°-ｓｉｎ８０° ＝ｓｉｎ８０°-ｓｉｎ８０°＝０. 故选 Ａ. 3. A 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ x 2 ｓｉｎ 琢- x 2 " 6 ＝- ［ ｃｏｓ琢-ｃｏｓ （ ｘ-琢 ）］ ＝ｃｏｓ （ ｘ-琢 ） -ｃｏｓ琢. 当 ｃｏｓ （ ｘ-琢 ） ＝１ 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最大值 １- ｃｏｓ琢＝２ｓｉｎ ２ 琢 2 . 故选 Ａ. 4. B 【解 析 】 ｃｏｓ ２ ｘ -ｓｉｎ ２ ｙ ＝ １＋ｃｏｓ２ｘ 2 - １-ｃｏｓ２ｙ 2 ＝ 1 2 · （ ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｙ ） ＝ｃｏｓ （ ｘ＋ｙ ） ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） . 故选 Ｂ. 5. A 【解析 】 ∵ｃｏｓｘｃｏｓｙ＋ｓｉｎｘｓｉｎｙ＝ 1 2 ， ∴ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） ＝ 1 2 . ∵ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｙ＝ 2 3 ， ∴２ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ） ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） ＝ 2 3 ， ∴２ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ）· 1 2 ＝ 2 3 ， ∴ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ） ＝ 2 3 ， 故选 Ａ. 6. 2sin ５琢 2 sin 琢 2 【解析 】 ｃｏｓ２琢-ｃｏｓ３琢＝-２ｓｉｎ ２琢＋３琢 2 · ｓｉｎ ２琢-３琢 2 ＝-２ｓｉｎ ５琢 2 ｓｉｎ - 琢 2 " 6 ＝２ｓｉｎ 5琢 2 ｓｉｎ 琢 2 . 7. 1 2 cos （ 琢+茁 ） + 1 2 sin （ 琢-茁 ） 【解析】 原式 = 1 2 sin 仔 2 +琢+ " 6 茁 + sin （ 琢-茁 ） ＝ 1 2 cos （ 琢+茁 ） + 1 2 sin （ 琢-茁 ） . 8. 3 姨 3 【 解 析 】 原 式 = 2sin 35°+２５° 2 cos ３５°-２５° 2 2cos ３５°+２５° 2 cos ３５°-２５° 2 = cos5° 3 姨 cos5° = 3 姨 3 . 9. 解： （ １ ） ∵ｍ＋ｎ＝ ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ ， 1 2 " 6 ， ｍ＝ （ ｓｉｎｘ ， -１ ）， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ ） ｓｉｎｘ- 1 2 ＝ｓｉｎ ２ ｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ- 1 2 ＝ 1 2 ｓｉｎ２ｘ- 1 2 ｃｏｓ２ｘ ， 即 ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉn 2x- 仔 4 " 6 . 当 ｘ∈ 0 ， 仔 2 3 6 时 ， ２ｘ- 仔 4 ∈ - 仔 4 ， 3仔 4 3 6 ， ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ∈ - 2 姨 2 ， 3 6 1 ， ∴ 当 ｘ∈ 0 ， 仔 2 3 6 时， 函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的值域是 - 1 2 ， 2 姨 2 3 6 . （ ２ ） ｜ａ＋１｜＋｜ａ｜ 在 ａ∈Ｒ 时的最小值为 １ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ≤ 2 姨 4 ， 即 ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ≤ 1 2 . 由正弦 函 数图象易得不等式的解集为 ｘ∈ k仔- 11仔 ２４ ， k仔+ ５仔 ２４ 3 6 ， ｋ∈Ｚ. 10. 解 ： 由题意 ， 得 ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ 1 2 ［ ｓｉｎ （ Ａ＋Ｃ ） -ｓｉｎ （ Ａ- Ｃ ）］ ＝ 1 2 ［ ｓｉｎ （ 仔-Ｂ ） -ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ）］ ＝ 1 4 - 1 2 ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） . ∵Ｂ＝３０° ， ∴-１５０° ＜Ａ-Ｃ＜１５０° ， ∴-１≤ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） ≤１ ， ∴- 1 4 ≤ 1 4 - 1 2 ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） ≤ 3 4 ， ∴ｃｏｓＡｓｉｎＣ 的取值范围是 - 1 4 ， 3 4 3 6 . 提升练习 11. ABD 【解 析 】 由 题 意 知 ｓｉｎＡｃｏｓＡ ＝ｓｉｎＢｃｏｓＢ ， 即 ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎ２Ｂ ， 因此 ｓｉｎ２Ａ-ｓｉｎ２Ｂ＝０. 由和差化积公式可得 ２ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ） ｓｉｎ （ Ａ-Ｂ ） ＝０ ， 于是 ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ） ＝０ 或 ｓｉｎ （ Ａ-Ｂ ） ＝０ ， 即 Ａ＋Ｂ＝ 仔 2 或 Ａ＝Ｂ. 故选 ＡＢＤ. 12. A 【解析 】 ｃｏｓ琢＋ｃｏｓ茁＝２ｃｏｓ 琢+茁 2 ｃｏｓ 琢-茁 2 ＝２ｃｏｓ 仔 3 · ｃｏｓ 琢+茁 2 ＝ｃｏｓ 琢+茁 2 ＝ 1 3 ， ∴ｃｏｓ （ 琢＋茁 ） ＝２ｃｏｓ ２ 琢+茁 2 -１＝２× 1 9 -１＝ - 7 9 . 故选 Ａ. 13. 3 4 【解析】 由题意知， y= 1 2 cos （ 2x+仔 ） +cos - 仔 3 " 63 6 = 1 2 -cos2x+cos 仔 3 " 6 = 1 4 - 1 2 cos2x. ∵-1≤cos2x≤1 ， ∴y max = 3 4 . 14. 3 姨 【解 析 】 1 sin40° + cos80° sin80° = ２ｃｏｓ４０° ２ｓｉｎ４０°ｃｏｓ４０° + cos80° sin80° = ｃｏｓ４０°＋ （ ｃｏｓ４０°＋ｃｏｓ８０° ） ｓｉｎ８０° = ｃｏｓ４０°＋２ｃｏｓ６０°ｃｏｓ２０° ｓｉｎ８０° = ｃｏｓ４０°＋ｃｏｓ２０° ｃｏｓ１０° = 2ｃｏｓ3０°ｃｏｓ1０° ｃｏｓ１０° =2cos30°= 3 姨 . 15. 解： （ 1 ） f （ x ） = sin 5x 2 -sin x 2 2sin x 2 = 2cos 3x 2 sinx 2sin x 2 =2cos 3x 2 · cos x 2 =cos2x+cosx=2cos 2 x+cosx-1. （ 2 ） ∵f （ x ） =2 cosx+ 1 4 " 6 2 - 9 8 且 -1<cosx<1 ， ∴ 当 cosx= - 1 4 时， f （ x ）取最小值 - 9 8 . 16. 证明： 左边 ＝ｓｉｎ （ Ｂ＋Ｃ ） ＋２ｓｉｎ B-C 2 ｃｏｓ B+C 2 ＝２ｓｉｎ B+C 2 · ｃｏｓ B+C 2 ＋２ｓｉｎ B-C 2 ｃｏｓ B+C 2 ＝２ｃｏｓ B+C 2 ｓｉｎ B+C 2 ＋ｓｉｎ B-C 2 " 6 ＝ ４ｓｉｎ A 2 ｓｉｎ B 2 ｃｏｓ C 2 ＝ 右边， ∴ 原等式成立 . 17. 解 ： 由三角函数的性质可得 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ωx 2 ｃｏｓ ωx 2 - ２ 3 姨 ｃｏｓ ２ ωx 2 ＋ 3 姨 ＝ｓｉｎωｘ-２ 3 姨 · 1+cosωx 2 ＋ 3 姨 ＝ｓｉｎωｘ- 3 姨 ｃｏｓωｘ＝２ｓｉｎ ωｘ- 仔 3 " 6 ， 其图象向左平移 仔 3ω 个单位所得 函数的解析式为 ｇ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ω ｘ＋ 仔 3ω " 6 - 仔 3 3 6 ＝２ｓｉｎωｘ. 函数的 单调递增区间满足 ２ｋ仔- 仔 2 ≤ωｘ≤２ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ） ， 即 2k仔- 仔 2 ω ≤ｘ≤ 2k仔+ 仔 2 ω （ ｋ∈Ｚ ）， 令 ｋ＝０ 可得函数的一个 单调递增区间为 - 仔 2ω ， 仔 2ω 3 6 . ∵ｙ＝ｇ （ ｘ ）在 0 ， 仔 4 3 6 上为增 67 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 函数， 则 π 2棕 ≥ π 4 ， 则 棕 的最大值为 ２. 阶段性练习卷 （七） 1. B 【解析】 角 α 的终边经过点 Ｐ （ ３ ， -４ ）， ∴ 由任意 角的三角函数的定义得 ｔａｎα＝- 4 3 . ∴ｔａｎ α+ π 4 4 # ＝ 1+ - 4 3 4 3 1- - 4 3 3 3 ＝- 1 7 . 故选 Ｂ. 2. A 【解析 】 由题可知 ｃｏｓα＝ 5 姨 3 ， ∴ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ ２ α- １＝２× 5 姨 3 3 3 2 -１＝ 1 9 . 故选 Ａ. 3. C 【解析 】 由余弦的二倍角公式 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ ２ α-１＝ - 1 9 . 故选 Ｃ. 4. A 【解析】 ｓｉｎ５６°ｃｏｓ２６°-ｃｏｓ５６°ｓｉｎ２６°＝ｓｉｎ （ ５６°-２６° ） ＝ ｓｉｎ３０°＝ 1 2 ， 故选 Ａ. 5. D 【解析 】 由 １＋ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＝３ ， 得 １＋ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＝ ２ｃｏｓ ２ α ２ｓｉｎαｃｏｓα ＝ ｃｏｓα ｓｉｎα ＝３ ， ∴ｔａｎα＝ sinα cosα ＝ 1 3 . 故选 Ｄ. 6. B 【解析 】 ｔａｎ１０°＋ｔａｎ２０° １-ｔａｎ１０°ｔａｎ２０° ＝ｔａｎ （ １０°＋２０° ） ＝ｔａｎ３０°＝ 3 姨 3 ， 故选 Ｂ. 7. ABD 【解析】 ｃｏｓ ２ １５°-ｓｉｎ ２ １５°＝ｃｏｓ （ １５°＋１５° ） ＝ｃｏｓ３０°＝ 3 姨 2 ， 故 Ａ 正确； ｓｉｎ π 8 ｃｏｓ π 8 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 4 ＝ 2 姨 4 ， 故 Ｂ 正 确 ； 1 2 ｓｉｎ４０° ＋ 3 姨 2 ｃｏｓ４０° ＝ｃｏｓ６０° ｓｉｎ４０° ＋ｓｉｎ６０° ｃｏｓ４０° ＝ ｓｉｎ （ 6０°＋4０° ） ＝ｓｉｎ１００°＝ｓｉｎ８０° ， 故 Ｃ 错误 ； ｔａｎ１５°＝ｔａｎ （ ４５°- ３０° ） ＝ ｔａｎ４５°-ｔａｎ３０° １＋ｔａｎ４５°ｔａｎ３０° ＝ 1- 3 姨 3 1+ 3 姨 3 ＝２- 3 姨 ， 故 Ｄ 正确 . 故选 ＡＢＤ. 8. ABD 【解析】 ｓｉｎ （ α＋β ） ｃｏｓβ-ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎβ＝０ ， ∴ｓｉｎα＝ ０ ， ∴ｓｉｎ （ α＋２β ） ＋ｓｉｎ （ α-２β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓ２β＋ｃｏｓαｓｉｎ２β＋ｓｉｎαｃｏｓ２β- ｃｏｓαｓｉｎ２β＝０ ， 故选 ＡＢＤ. 9. 1 4 【解析】 sin15°cos15°= 1 2 sin30°= 1 4 . 10. 1 2 【解析】 ｃｏｓ２４°ｃｏｓ３６°-ｃｏｓ６６°ｓｉｎ３６°＝ｓｉｎ６６°ｃｏｓ３６°- ｃｏｓ６６°ｓｉｎ３６°＝ｓｉｎ （ ６６°-３６° ） ＝ｓｉｎ３０°＝ 1 2 . 11. -1 【解析】 由于 ｔａｎα ， ｔａｎβ 是方程 ｘ ２ -６ｘ＋７＝０ 的两 个根， ∴ｔａｎα＋ｔａｎβ＝６ ， ｔａｎα · ｔａｎβ＝７ ， ∴ｔａｎ （ α＋β ） ＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ １-ｔａｎα · ｔａｎβ ＝ 6 -6 ＝-１. 12. 1 2 【解析】 ｓｉｎ （ α＋３０° ） ＋ｃｏｓ （ α＋６０° ） ２ｃｏｓα ＝ ｓｉｎαｃｏｓ３０°＋ｃｏｓαｓｉｎ３０°＋ｃｏｓαｃｏｓ６０°-ｓｉｎαｓｉｎ６０° ２ｃｏｓα ＝ 3 姨 2 ｓｉｎα＋ 1 2 ｃｏｓα＋ 1 2 ｃｏｓα- 3 姨 2 ｓｉｎα ２ｃｏｓα ＝ 1 2 . 13. 解 ： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 ｃｏｓ ｘ- π 12 3 3 ， ∴ ｆ - π 6 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ - π 6 - π 12 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ - π 4 3 3 = 2 姨 cos π 4 =1. （ ２ ） ∵ｃｏｓθ＝ 3 5 ， θ∈ 3π 2 ， 2 3 3 π ， 则 ｓｉｎθ＝- 4 5 . ∴ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ ２ θ-１＝２× 3 5 3 3 ２ -１＝- 7 25 ， ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２× - 4 5 3 3 × 3 5 =- 24 25 . ｆ 2θ+ π 3 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ 2θ+ π 4 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ２θｃｏｓ π 4 -ｓｉｎ２θｓｉｎ π 4 3 3 ＝ 2 姨 × - 7 25 × 2 姨 2 - - 24 25 3 3 × 2 姨 2 2 ) ＝ 17 25 . 14. 解 ： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｃｏｓ ２ ｘ-ｓｉｎ ２ ｘ ） （ ｃｏｓ ２ ｘ＋ｓｉｎ ２ ｘ ） -ｓｉｎ２ｘ＝ ｃｏｓ２ｘ-ｓｉｎ２ｘ＝- 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 . 由 - 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ＝- 2 姨 2 ， 即 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ＝ 1 2 ， ∴２ｘ- π 4 ＝２ｋπ＋ π 6 ， ｋ∈Ｚ 或 ２ｘ- π 4 ＝ ２ｋπ＋ 5π 6 ， ｋ∈Ｚ. 解得 ｘ＝ｋπ＋ 5π 24 ， ｋ∈Ｚ 或 ｘ＝ｋπ＋ 13π 24 ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ 是某三角形的一个内角， ∴ｘ∈ （ ０ ， π ）， ∴ｘ＝ 5π 24 或 ｘ＝ 13π 24 . （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝- 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ∵ｘ∈ 0 ， π 2 2 2 ， ∴2ｘ- π 4 ∈ - π 4 ， 3π 4 4 2 ， ∴- 2 姨 ≤ｆ （ ｘ ） ≤１ ， ∴ 当且仅当 ２ｘ- π 4 ＝ π 2 ， 即 ｘ＝ 3π 8 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最小 值 - 2 姨 ， 即 ｆ （ ｘ ）的最小值为 - 2 姨 ， 此时 ｘ 的取值集合为 3π 8 8 . . 阶段性练习卷 （八） 1. A 【解析 】 ∵cos α+ π 3 3 3 =1-2sin 2 α 2 + π 6 3 3 = 3 5 ， 又 ∵α∈ - π 3 ， π 6 3 3 ， α + π 3 ∈ 0 ， π 2 3 3 ， ∴sin α+ π 3 3 3 = 4 5 . ∵sinα=sin α+ π 3 - π 3 3 3 =sin α+ π 3 3 3 cos π 3 -cos α+ π 3 3 3 sin π 3 = 4-3 3 姨 10 . 故选 A. 2. A 【解析】 由题知 ｔａｎθ＝-２ ， ｓｉｎ２θ ｃｏｓ ２ θ＋１ = ２ｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎ ２ θ＋２ｃｏｓ ２ θ = ２ｔａｎθ ｔａｎ ２ θ＋２ =- 2 3 . 故选 Ａ. 3. C 【解析 】 由于 ０＜α＜ π 2 ， ０＜β＜ π 2 ， ∴０＜α＋β＜π ， ∴ｃｏｓα ＝ １-ｓｉｎ ２ α 姨 ＝ 4 5 ， ｓｉｎ （ α ＋β ） ＝ １-ｃｏｓ ２ （ α＋β ） 姨 ＝ 5 13 ， 68