7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

参 考 答 案 象在第一象限每个周期内与 ｙ＝ 1 x 的图象都有两个交点， 在 区间 1 6 ， 13 6 6 " 上有两个交点， 在区间 13 6 ， 25 6 6 " 上有两个 交点， 从而在 0 ， 25 6 6 " 上有 ４ 个交点， ④ 正确 ． １３. 解： （ １ ） 由题意知 1 2 Ｔ＝ 仔 棕 = 7仔 12 - 仔 12 = 仔 2 ， 故 棕＝２ ， 又 ｆ 仔 12 6 " ＝ｓｉｎ 仔 6 + 6 " φ ＝－１ ， 仔 6 +φ=- 仔 2 +２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 即 φ＝－ 2仔 3 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， ∵|φ|＜仔 ， ∴φ＝－ 2 3 仔 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 . （ ２ ） ｘ∈ 仔 6 ， ， % 仔 ， 2x- 2 3 仔∈ - 仔 3 ， 4 3 ， % 仔 ， ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 3 ， 仔 2 ， % 上 单 调 递 增 ， 在 仔 2 ， 4 3 ， % 仔 上 单 调 递 减 ， ∴ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 ∈ - 3 姨 2 ， ， % 1 ， ∴ 函数的值域为 - 3 姨 2 ， ， % 1 . １４. 解： （ １ ） 由 ｆ （ ｘ ）的最小正周期为 仔 ， 知 2仔 棕 ＝仔 ， 即 棕＝２． 又 ｆ （ ｘ ）图象的一条对称轴 为直线 ｘ＝ 仔 6 ， ∴２× 仔 6 ＋φ＝ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ. 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， 即 φ＝ 仔 6 ． ∵ ｆ （ ｘ ）图象过点 （ ０ ， １ ）， 即 １＝Ａｓｉｎ 仔 6 ， 得 Ａ＝２. ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ ２ｓｉｎ 2x + 仔 6 6 " ， 故 ｆ 仔 24 6 " ＝ ２ｓｉｎ 仔 12 + 仔 6 6 " ＝２ｓｉｎ 仔 4 ＝ 2 姨 ． （ ２ ） 当 ｘ ∈ 0 ， 仔 2 ， % 时 ， ２ｘ ＋ 仔 6 ∈ 仔 6 ， 7仔 6 ， % ， ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " ∈ - 1 2 ， ， % 1 ， ∴| ｆ （ ｘ ） |∈ ［ ０ ， ２ ］， 作函数 |ｆ （ ｘ ） |＝ ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 在 0 ， 仔 2 ， % 上的图象， 如图所示， 数形结合 可知 ， 若方程 |ｆ （ ｘ ） |－ｍ＝０ 有两个不同的实数根 ， 则 ｍ∈ （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ， 即 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 为 （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ． 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） 散点图如图 ． （ ２ ） 从散点图可以看出 ， 每经过相同的时间间隔 Ｔ （ １５ ｓ ）， 血压就重复出现相同的数值， 因此， 血压是周期性 变化的 ． 变式训练 ２ 解： 设 ｘ ｍｉｎ 后盛水 ｙ Ｌ ， 由例 ２ 知每转一圈， 水车最 多盛水 １６×１０＝１６０ （ Ｌ ） ， ∴ｙ＝ x 5 · １６０＝３２ｘ ， 为使水车盛 ８００ Ｌ 的水， 则有 ３２ｘ≥８００ ， ∴ｘ≥２５ ， 即水车盛 ８００ Ｌ 的 水至少需要 ２５ ｍｉｎ． 变式训练 ３ 解： 由题知， 该摆球摆动一个来回需用时 ３.２ ｓ ， ∵1 ｍｉｎ＝６０ ｓ＝ （ １８×３.２＋２.４ ） ｓ ， 而 ２.４－１.６＝０.８ ｓ ， ∴ 经过 １ ｍｉｎ 后摆球在点 Ｏ 处 ． 随堂练习 １. Ａ ２. Ｃ ３. Ｃ ４. g 4仔 2 ５. 解： （ １ ） 将 ｔ＝０ 代入 ｓ＝４ｓｉｎ 2t+ 仔 3 6 " ， 得 ｓ＝４ｓｉｎ 仔 3 ＝ ２ 3 姨 ， ∴ 小球开始振动时的位移是 ２ 3 姨 ｃｍ． （ ２ ） 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别 是 ４ ｃｍ 和 －４ ｃｍ． （ ３ ） ∵ 振动的周期是 仔 ， ∴ 小球往复振动一次所用的 时间是 仔 ｓ． 练习手册 效果评价 １. Ｃ 【解析】 由题意， 知周期 Ｔ＝ 2仔 2仔 ＝１ ｓ ， 从最右边到 最左边的时间是半个周期， 为 1 2 ｓ. 故选 Ｃ． ２. Ｃ 【解析】 ∵ｙ＝５００ｓｉｎ （ 棕ｘ＋φ ） ＋９ ５００ （ 棕＞０ ）， ∴ 当 ｘ＝ １ 时， ５００ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＋９ ５００＝１０ ０００ ； 当 ｘ＝２ 时， ５００ｓｉｎ （ ２棕＋ φ ） ＋９ ５００＝９ ５００ ， 即 ｓｉｎ （ ２棕＋φ ） ＝０ ， ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＝１ １ ， ∴ ２棕＋φ＝ｍ仔 ， ｍ∈Ｚ ， 棕＋φ＝ 仔 2 +２ｎ仔 ， ｎ∈Ｚ １ . 易得 ３棕＋φ＝－ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ. 又当 ｘ＝３ 时， ｙ＝５００ｓｉｎ （ ３棕＋φ ） ＋９ ５００ ， ∴ｙ＝９ ０００. 故选 Ｃ． ３. Ａ 【解析】 方法一： 由已知条件， 用排除可知 . 令 ｘ＝ ３ 可排除 Ｄ ， 令 ｘ＝７ 可排除 Ｂ ， 由 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ 可排除 Ｃ． 方法二： 由题意， 可得 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ ， ｂ＝７. 周期 Ｔ＝ 2仔 棕 ＝ ２× （ ７－３ ） ＝８ ， 则 棕＝ 仔 ４ ， ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x+ 6 " φ ＋７. ∵ 当 ｘ＝３ 时， ｙ ＝９ ， ∴２ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＋7 ＝９ ， 即 ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＝１. ∵ |φ |＜ 仔 2 ， ∴φ＝－ 仔 4 . ∴ ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x- 仔 4 6 " ＋７ （ １≤ｘ≤１２ ， ｘ∈Ｎ ＋ ） . 故选 Ａ． ４. Ｃ 【解析】 由 ２ｋ仔－ 仔 4 ≤ t 2 ≤２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 知函 数 Ｆ （ ｔ ）的单调递增区间为 ［ ４ｋ仔－仔 ， ４ｋ仔＋仔 ］， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ＝ １ 时， ｔ∈ ［ ３仔 ， ５仔 ］ . ∵ ［ １０ ， １５ ］ 哿 ［ ３仔 ， ５仔 ］， 故选 Ｃ． ５. 仔 6 【解析】 根据图象， 知 1 6 ， 6 " 0 ， 11 12 ， 6 " 0 两点的 距离刚好是 3 4 个周期 ， ∴ 3 4 Ｔ＝ 11 12 - 1 6 = 3 4 . ∴Ｔ＝１ ， 则 棕＝ 第 １４ 题答图 变式训练 １ 答图 f （ x ） = ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 47 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2仔 r ＝２仔. ∵ 当 ｔ＝ 1 6 时， 函数取得最大值， ∴２仔× 1 6 ＋φ＝ 仔 2 ＋ ２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， ∴φ＝ 仔 6 ． 提升练习 ６. 解 ： （ １ ） 由已知可设 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓωｔ （ ω＞０ ， ｔ≥ ０ ）， 由已知周期为 １２ ｍｉｎ ， 可知 ω＝ 2仔 12 ， 即 ω＝ 仔 6 . ∴ｙ＝ ４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ （ ｔ≥０ ） ． （ ２ ） 令 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝６０.５ ， 得 ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝－ 1 2 ， ∴ 仔 6 ｔ＝ 2 3 仔 或 仔 6 ｔ＝ 4 3 仔 ， 解得 ｔ＝４ 或 ｔ＝８ ， 故第四次距离地面 ６０.５ ｍ 时， 用时为 １２＋８＝２０ （ ｍｉｎ ） ． ７. 解： （ １ ） 令 ｔ＝０ ， 得 ｈ＝３ｓｉｎ 仔 4 ＝ 3 2 姨 2 ， ∴ 开始振 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 3 2 姨 2 ｃｍ 处 ． （ ２ ） 由题意知， 当 ｈ＝３ 时， ｔ 的最小值为 仔 8 ， 即小球 第一次上升到最高点的时间为 仔 8 ｓ． 当 ｈ＝－３ 时， ｔ 的最小值为 5仔 8 ， 即小球第一次下降到 最低点的时间为 5仔 8 ｓ． （ ３ ） Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔 ， 即经过约 仔 ｓ 小球往返振动一次 ． （ ４ ） ｆ＝ 1 T ＝ 1 仔 ， 即每秒内小球往返振动 1 仔 次 ． ８. 解 ： （ １ ） 由已知数据 ， 描出曲线如图 ． 易知函数 ｙ＝ｆ （ ｔ ）的周期 Ｔ＝ １２ ， 振幅 Ａ＝３ ， ｂ＝１０ ， 则 ω＝ 2仔 T ＝ 仔 6 ， ｙ＝３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋ １０ （ ０≤ｔ≤２４ ） ． （ ２ ） 由题意 ， 该船进出港 时， 水深应不小于 ５＋６.５＝１１.５ （ ｍ ）， 由 ｙ≥１１.５ ， 得 ３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋１０≥１１.５ ， 即 ｓｉｎ 仔 6 ｔ≥ 1 2 . ① ∵０≤ｔ≤２４ ， ∴０≤ 仔 6 ｔ≤4仔. ② 由 ①② ， 得 仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 5仔 6 或 13仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 17仔 6 . 化简得 １≤ｔ≤５ 或 １３≤ｔ≤１７． ∴ 该船最早能在凌晨 １ 时进港 5 时出港， 或在 13 时进 港 １７ 时出港， 故在港内最多可停留 4 ｈ． 第 ８ 题答图 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学习手册 变式训练 １ （ １ ） Ｄ （ ２ ） 2 2 姨 3 【解析】 （ １ ） 设两个单位向量 分别为 ｅ １ ， ｅ ２ ， 则 ｅ １ · ｅ ２ ＝ｃｏｓ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝－１ ， 由于 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ∈ ［ ０ ， 仔 ］， ∴ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝仔. 故选 Ｄ. （ ２ ） ∵ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ| ， 则 ３|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝|ｂ| ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 1 3 . 又 ∵ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＋ｃｏｓ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝１ ， 得 ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 8 9 . ∵０≤ 〈 ａ ， ｂ 〉 ≤仔 ， ∴ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 2 2 姨 3 ． 变式训练 ２ ①②⑥ 【解析】 由于 ａ ２ ≥０ ， ｂ ２ ≥０ ， ∴ 若 ａ ２ ＋ｂ ２ ＝０ ， 则 ａ＝ｂ＝０ ， ∴① 正确； 若 ａ＋ｂ＝０ ， 则 ａ＝－ｂ ， 又 ａ ， ｂ ， ｃ 是三个非零向量 ， ∴ａ · ｃ＝－ｂ · ｃ ， ∴|ａ · ｃ|＝|ｂ · ｃ| ， ∴② 正确； ａ ， ｂ 共线 圳ａ · ｂ＝±|ａ||ｂ| ， ∴③ 不正确； 对于 ④ ， 应有 |ａ||ｂ|≥ａ · ｂ ， ∴④ 不正确； 对于 ⑤ ， 应该是 ａ · ａ · ａ＝|ａ| ２ ａ ， ∴⑤ 不正确； ａ ２ ＋ｂ ２ ≥２|ａ||ｂ|≥２ａ · ｂ ， ∴⑥ 正确； 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ０° 时， 也有 ａ · ｂ＞０ ， ∴⑦ 不正确； |ｂ|ｃｏｓθ 表示向量 ｂ 在向量 ａ 方向上的正投影的数量 ， 而非投影长， ∴⑧ 不正确 . 综上可知 ①②⑥ 正确 ． 变式训练 ３ （ １ ） Ｄ （ ２ ） ６ 【解析 】 （ １ ） 如 图， 取 ＡＢ 的中点 Ｈ ， 连接 ＣＨ ， 则向 量A () C 在A () B 方向上的投影的 数量为 ＡＨ＝|A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ ， ∴A () B·A () C ＝|A () B | · |A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝|A () B ||A () H |＝２. 故选 Ｄ． （ ２ ） ∵ 向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的 数量是 ２ ， |ｂ|＝３ ， 则 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ |ａ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉） |ｂ|＝ ２×３＝６． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｂ ３. Ｄ ４. １２０° ５. 解： （ １ ） ａ∥ｂ ， 若 ａ 与 ｂ 同向， 则 θ＝０° ， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| · ｃｏｓ０°＝４×５＝２０ ； 若 ａ 与 ｂ 反向， 则 θ＝１８０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ ||ｂ |ｃｏｓ１８０°＝４×５× （ －１ ） ＝－２０． （ ２ ） 当 ａ⊥ｂ 时， θ＝９０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ９０°＝０． （ ３ ） 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ３０° 时， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ３０°＝４×５× 3 姨 2 ＝１０ 3 姨 ． 练习手册 效果评价 １. B 【解析】 ∵∠ABC=30° ， ∴ 〈A () B ， B () C 〉=180°-30°= 150°. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴ 向量A () B·B () C =|A () B | · |B () C |cos150°=3× 4× - 3 姨 2 2 . =-6 3 姨 . 故选 B. 变式训练 ３ 答图 t/h y/m 48 日期： 班级： 姓名： 1. 电流 I （单位： A ） 随时间 t （单位： s ） 变化的关系是 I= 3sin100πt ， t∈ ［ 0 ， +∞ ）， 则电流 I 变化的周期是 （ ） A. 1 50 B. 50 C. 1 100 D. 100 2. 在两个弹簧上各有一个质量分别为 M 1 和 M 2 的小球做上下 自由振动 . 已知它们在时间 t （单位： s ） 离开平衡位置的位 移 s 1 （单位： cm ） 和 s 2 （单位： cm ） 分别由 s 1 =5sin 2t+ π 6 " # ， s 2 =10cos2t 确定， 则当 t= 2π 3 s 时， s 1 与 s 2 的大小关系是 （ ） A. s 1 >s 2 B. s 1 <s 2 C. s 1 =s 2 D. 不能确定 3. 已知电流强度 I （单位： A ） 与时间 t （单位： s ） 的关系为 I=Asin （ 棕x+φ ） A>0 ， 棕>0 ， |φ|< π 2 " 2 ， 其在一个周期 内的图象如图所示， 则该函数的解析 式为 （ ） A. I=300sin 50πt+ π 3 3 2 B. I=300sin 50πt- π 3 " 2 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 第 3 题图 t/s I/A 25 C. I=300sin 100πt+ π 3 3 " D. I=300sin 100πt- π 3 3 " 4. 一根长 l cm 的线， 一端固定， 另一端悬挂一个小球， 小球 摆动时离开平衡位置的位移 s （单位： cm ） 与时间 t （单 位： s ） 的函数关系式为 s=3cos g l 姨 + π 3 3 " ， 其中 g 是重力 加速度， 当小球摆动的周期是 1 s 时， 线长 l= cm. ５. 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时， 小球离开平衡位置 的位移 s （ cm ） 随时间 t （ s ） 的变化规律为 s=4sin 2t+ π 3 3 " ， t∈ ［ 0 ， +∞ ） . 用五点法作出这个函数的简图如图， 回答下 列问题 . （ 1 ） 小球在开始振动 （ t=0 ） 时的位移是 多少？ （ 2 ） 小球上升到最高点和下降到最低点 时的位移分别是多少？ （ 3 ） 经过多长时间小球往复振动一次？ 第 5 题图 t/s s/cm 26