7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 的定义得 ｓｉｎα＝ a 2 姨 a ＝ 2 姨 2 ； 当 ａ＜0 时 ， ｜ＯＰ｜＝- 2 姨 ａ ， 由三角函数的定义得 ｓｉｎα＝ a - 2 姨 a ＝- 2 姨 2 ， 故 Ａ 、 Ｂ 正 确 . 故选 ＡＢ. 14. -2＜ａ≤3 【解析】 ∵ｓｉｎα＞0 ， ｃｏｓα≤0 ， ∴α 位于第二 象限或 ｙ 轴正半轴上， ∴3ａ-9≤0 ， ａ＋2＞0 ， ∴-2＜ａ≤3. 15. 2 【解析】 ∵ｙ＝3ｘ ， ｓｉｎα＜0 ， ∴ 点 Ｐ （ ｍ ， ｎ ） 位于 ｙ＝ 3ｘ 在第三象限的图象上 ， 且 ｍ＜0 ， ｎ＜0 ， ｎ＝3ｍ. ∴ ｜ＯＰ ｜＝ ｍ 2 ＋ｎ 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｍ｜＝- 10 姨 ｍ＝ 10 姨 . ∴ｍ＝-1 ， ｎ＝-3 ， ∴ｍ-ｎ＝2. 16. 解 ： （ 1 ） 由 1 ｜ｓｉｎα ｜ ＝- 1 ｓｉｎα ， 可 知 ｓｉｎα ＜0 ， 由 ｌｇ （ ｃｏｓα ） 有意义可知 ｃｏｓα＞0 ， ∴α 是第三或第四象限角或终 边在 ｘ 轴的非负轴上的角， ∴ 角 α 是第四象限角 . （ 2 ） ∵｜ＯＭ｜＝1 ， ∴ 3 5 5 $ 2 ＋ｍ 2 ＝1 ， 解得 ｍ＝± 4 5 . 又 α 是第 四象限角， 故 ｍ＜0 ， 从而 ｍ＝- 4 5 . 由正弦函数的定义可知 ｓｉｎα＝ y r ＝ m ｜OM｜ ＝ - 4 5 1 ＝- 4 5 . 17. 解： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＜0 ， 且 ｔａｎα＞0 ， ∴ 角 α 是第三象限 角， 即 α π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） ∵π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ π 2 ＋ｋπ＜ α 2 ＜ 3π 4 ＋ ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第二象限； 当 ｋ 为奇数时， 角 α 2 的终边在第四象限 . ∴ 角 α 2 的终边在第 二或第四象限 . （ 3 ） 当角 α 2 的终边在第二象限时， ｓｉｎ α 2 ＞0 ， ｃｏｓ α 2 ＜0 ； 当角 α 2 的终边在第四象限时， ｓｉｎ α 2 ＜0 ， ｃｏｓ α 2 ＞0. 18. 解： 设角 α 的终边上任一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｋ｜. 当 ｋ＞0 时 ， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× - 3 10 姨 10 5 0 ＋3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0 ； 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 为第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ - 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 7.2.2 单位圆与三角函数线 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ π 4 ＜1＜ π 2 ， 如图所 示 ， 由三角函数线可得 ｓｉｎ1＞ 2 姨 2 ＞ｃｏｓ1 ， 故 ｓｉｎ1-ｃｏｓ1＞0. 变式训练 2 -1 ， 1 2 02 【解析 】 角 α 的 终边对应区域如图中阴影部分， 角 α 终边在从 ＯＡ 转向 ＯＢ 过程 中， 其余弦线 ＯＭ 越来越短， 然 后变成负值 ， 在 α＝π 时取最小 值 -1 ， 然后又增大 ， ∵ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ， ∴-1≤ｃｏｓα＜ 1 2 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） 作直线 ｙ＝ 3 姨 2 交单位圆于 Ａ ， Ｂ 两点 ， 连接 ＯＡ ， ＯＢ ， 则 ＯＡ 与 ＯＢ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 的终边的范围， 如图 1. 故满足条件的角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ π 3 ≤α≤2ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） 作直线 ｘ＝- 1 2 交单位圆于 Ｃ ， Ｄ 两点， 连接 ＯＣ 与 ＯＤ ， 则 ＯＣ 与 ＯＤ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 终边 的范围， 如图 2. 故满 足 条件 的 角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ 2π 3 ≤ & α≤2ｋπ＋ 4π 3 ， ｋ∈ ' Ｚ . 变式训练 4 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 【解 析 】 由图可知 ｃｏｓ 6π 5 ＜0 ， ｔａｎ 2π 5 ＞0 ， ｓｉｎ 2π 5 ＞0 ， ∵｜N +, M ｜＜｜Ａ +, T ｜ ， 故 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 . 变式训练 5 证明： 当角 α 的终边在 ｘ （ ｙ ） 变式训练 2 答图 变式训练 1 答图 图 2 图 1 变式训练 3 答图 变式训练 4 答图 A y x B O M 26 参 考 答 案 轴上时 ， 正弦线 （余弦线 ） 变成一 个点， 而余弦线 （正弦线） 的长等于 ｒ （ ｒ＝1 ）， 此时 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜＝1. 当角 α 的终边落在某一个象限内 时， 如图所示， 利用三角形两边之和 大于第三边有 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜＝ＭＰ＋ＯＭ＞1. 综上有 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜≥1. 变式训练 6 C 【解析】 由题意知， 四段弧是单位圆上的第一、 二、 三象限的弧， 在Ａ " Ｂ上， tanα>sinα ， 不满足； 在C " D上， tanα> sinα ， 不满足； 在E " F上， sinα>0 ， cosα<0 ， tanα<0 ， 且 cosα> tanα ， 满足； 在G " H上， tanα>0 ， sinα<0 ， cosα<0 ， 不满足 . 故选 C. 随堂练习 1. Ｂ 2. Ｃ 3. Ｄ 4. -1 ， 2 姨 2 " 2 5. ①② 6. 解： （ 1 ） 作直线 ｙ＝ 2 3 交单位圆于 Ｐ ， Ｑ 两点 ， 则 ＯＰ 与 ＯＱ 为角 α 的终边， 如图 1. （ 2 ） 作直线 ｘ＝- 3 5 交单位圆于 Ｍ ， Ｎ 两点， 则 ＯＭ 与 ＯＮ 为角 α 的终边， 如图 2. 练习手册 效果评价 1. Ｄ 【解析】 由题意可知， ｓｉｎα＝±1 ， 故角 α 的终边在 ｙ 轴上 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析】 如图可知， ＯＭ＞ ＭＰ＞0. 故选 Ｄ. 3. Ｂ 【解析】 根据三角函数线 定义可知 ， π 6 与 5π 6 的正弦线相 等， π 3 与 4π 3 的正切线相等， π 4 与 5π 4 的余弦线相反 . 故选 Ｂ. 4. Ｃ 【解析 】 如图 ， 作 α＝-1 的正弦线 ， 余弦线， 正切线可知 ： b=｜O %& M｜>0 ， a=-｜M %& P｜<0 ， c=-｜A %& T｜<0 ， 且 -｜M %& P｜>-｜A %& T｜ ， ∴ｂ＞ａ＞ｃ ， 即 ｃ＜ａ＜ｂ. 故选 Ｃ. 5. Ｄ 【解析】 如图， 在单位圆 Ｏ 中分别作出角 5 7 π ， 2 7 π ， 2 7 π 的正弦线Ｍ 1 Ｐ 1 %& 、 余弦线ＯＭ 2 %& 、 正切 线Ａ %& Ｔ . 由 5 7 π＝π- 2 7 π 知 ， Ｍ 1 Ｐ 1 ＝ Ｍ 2 Ｐ 2 ， 又 π 4 ＜ 2 7 π＜ π 2 ， 易知 ＡＴ＞ Ｍ 2 Ｐ 2 ＞ＯＭ 2 ， ∴ｃｏｓ 2π 7 ＜ｓｉｎ 5π 7 ＜ｔａｎ 2π 7 ， 故 ｂ＜ａ＜ｃ. 故选 Ｄ. 6. Ａ 【解析】 如图所示， 在单位 圆中分别作出 α 的正弦线M %& P 、 余弦 线Ｏ %& Ｍ 、 正切线Ａ %& Ｔ ， 很容易地观察出 ＯＭ＜ＭＰ＜ＡＴ ， 即 ｃｏｓα＜ｓｉｎα＜ｔａｎα. 故 选 Ａ. 7. 1 【解析 】 角 α 的终边在 ｙ 轴 上， 其正弦线的长度为 1. 8. ［ 2ｋπ ， 2ｋπ ＋π ］ （ ｋ∈Ｚ ） 【解析 】 ｓｉｎθ≥0 ， 如图利用三角函 数线可得 2ｋπ≤θ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ. 9. ＜ 【解析 】 0＜1＜ π 3 ＜ π 2 ， 结 合单位圆中的三角函数线知 ｓｉｎ1＜ ｓｉｎ π 3 . 10. 解： （ 1 ） 图 1 中阴影部分就是满足条件的角 θ 的 范围， 即 2ｋπ＋ π 3 ≤θ≤2ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈Ｚ. （ 2 ） 图 2 中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围， 即 2ｋπ- 2 3 π≤θ＜2ｋπ- π 6 或 2ｋπ＋ π 6 ＜θ≤2ｋπ＋ 3 2 π ， ｋ∈Ｚ. 提升练习 11. Ｄ 【解析】 ∵ 5 6 π＜3＜π ， 作出 单位圆如图所示 . 设 ＭＰ ， ＯＭ 分别为 ａ ， ｂ. ｓｉｎ3＝ａ＞0 ， ｃｏｓ3＝ｂ＜0 ， ∴ｓｉｎ3- ｃｏｓ3＞0. ∵｜ＭＰ｜＜｜ＯＭ｜ 即 ｜ａ｜＜｜ｂ｜ ， ∴ｓｉｎ3＋ ｃｏｓ3＝ａ＋ｂ＜0. 故点 Ｐ （ ｓｉｎ3-ｃｏｓ3 ， ｓｉｎ3＋ ｃｏｓ3 ） 在第四象限 . 故选 Ｄ. 12. Ａ 【解析】 如图， 画出三 角函数线 ｓｉｎｘ＝ＭＰ ， ｃｏｓｘ＝ＯＭ ， 由 于 ｓｉｎ - 3π 4 " 2 ＝ｃｏｓ - 3π 4 " 2 ， ｓｉｎ π 4 ＝ ｃｏｓ π 4 ， 为使 ｓｉｎｘ≤ｃｏｓｘ 成立， 则 由图可得 - 3π 4 ≤ｘ≤ π 4 . 故选 Ａ. 13. ＡＢＣ 【解析 】 如图所示 ， 图 1 图 2 第 6 题答图 变式训练 5 答图 第 5 题答图 第 8 题答图 第 6 题答图 第 2 题答图 第 4 题答图 图 1 图 2 第 10 题答图 第 11 题答图 第 12 题答图 27 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 角 α 的正弦线为M !" P， 余弦线为O !" M， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ＭＰ＋ＯＭ ， ∴0＜α＜ π 2 ， 此 时角 α 在第一象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＞｜ＯＰ｜＝1 ， 故 Ａ 正确； 若 π 2 ＜ α＜π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜ ， 此时 角 α 的终边在第二象限， -1＜-｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｂ 正确； 若 3π 2 ＜α＜2π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 此 时角 α 的终边在第四象限， -1＜｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｃ 正确 ； 若 π＜α＜ 3π 2 ， 则角 α 的终边在第三象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝-｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 又 -｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜-1 ， 因此 ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＜-1 ， 故 Ｄ 不正确 . 故选 ＡＢＣ. 14. 0 ， π 3 3 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π 【解析】 利用三角函数线得 α 的 终边落在如图所示 ∠ＡＯＢ 区域 内 ， ∴α 的取值范围是 0 ， π 3 2 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π . 15. nπ- π 3 ， nπ+ π 3 2 $ （ ｎ∈ Ｚ ） 【解析】 ∵3-4ｓｉｎ 2 ｘ＞0 ， ∴ｓｉｎ 2 ｘ＜ 3 4 ， ∴- 3 姨 2 ＜ｓｉｎｘ＜ 3 姨 2 . 如图所示， ∴ｘ∈ 2kπ- π 3 ， 2kπ+ π 3 $ ∪ 2kπ+ 2π 3 ， kπ+ 4π 3 $ （ ｋ∈ Ｚ ）， 即 x∈ nπ- π 3 2 ， nπ+ π 3 $ （ ｎ∈Ｚ ） . 16. 解 ： 由题意 ， 自变量 ｘ 应满足不等式组 1-2ｃｏｓｘ≥0 ， ｓｉｎｘ- 2 姨 2 ＞ ＞ 0 即 sinｘ> 2 姨 2 ， cosｘ≤ 1 2 2 / / / / . / / / / 0 ， 则不等式组的 解的集合如图 （阴影部分） 所示， ∴ ｘ 2ｋπ＋ π 3 ≤ｘ ＞ ＜2ｋπ＋ 3π 4 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学习手册 变式训练 1 解： ∵ｃｏｓα＝- 8 17 ＜0 ， ∴α 是第二或第三象限的角 . 如果 α 是第二象限角， 那么 ｓｉｎα＝ 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝ 1- - 8 17 2 $ 2 姨 ＝ 15 17 ， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 15 17 - 8 17 ＝- 15 8 . 如果 α 是第三象限角 ， 同理可得 ｓｉｎα＝- 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 15 17 ， ｔａｎα＝ 15 8 . 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵3ｓｉｎα-2ｃｏｓα＝0 ， ∴ｔａｎα＝ 2 3 ， ｃｏｓα≠0. ｃｏｓα-ｓｉｎα ｃｏｓα+sinα ＋ cosα+ｓｉｎα cosα-sinα ＝ 1-tanα 1+tanα + 1+tanα 1-tanα = 1- 2 3 1+ 2 3 + 1+ 2 3 1- 2 3 = 26 5 . （ 2 ） ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α＝ ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α ＝ ｔａｎ 2 α-2ｔａｎα＋4 ｔａｎ 2 α＋1 ＝ 4 9 - 4 3 +4 4 9 +1 = 28 13 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 2 α＋2ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α＝ 1 9 . ∴2ｓｉｎαｃｏｓα＝- 8 9 . ∴ （ ｓｉｎα-ｃｏｓα ） 2 ＝1-2ｓｉｎαｃｏｓα＝1＋ 8 9 ＝ 17 9 . ∴ｓｉｎα-ｃｏｓα＝± 17 姨 3 . （ 2 ） ∵ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ ｓｉｎ 2 α-ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α ） ＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ 1-ｓｉｎαｃｏｓα ）， 又 由 （ 1 ） 知 ， ｓｉｎαｃｏｓα ＝- 4 9 ， 且 ｓｉｎα ＋ｃｏｓα ＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ 1 3 × 1+ 4 9 2 $ ＝ 1 3 × 13 9 = 13 27 . 变式训练 4 证明： ∵ 右边 ＝ ｔａｎ 2 α-ｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α-ｔａｎ 2 αｃｏｓ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α （ 1-ｃｏｓ 2 α ） （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 αｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎαｓｉｎα ｔａｎα-ｓｉｎα ＝ 左边， ∴ 原等式成立 . 变式训练 5 解 ： ∵ｓｉｎα ， ｃｏｓα 为方程 4ｘ 2 -4ｍｘ＋2ｍ-1＝0 的两个实 根， ∴ｍ 2 -2ｍ＋1≥0 且 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ ， ｓｉｎαｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ， 代入 （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝1＋2ｓｉｎα · ｃｏｓα ， 得 ｍ＝ 1± 3 姨 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ＜0 ， 即 ｍ＜ 1 2 ， ∴ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ＝ 1- 3 姨 2 ， ∴ｓｉｎα＝- 3 姨 2 ， ｃｏｓα＝ 1 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴α＝- π 3 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. Ｄ 4. ｃｏｓ4-ｓｉｎ4 5. 4 5 4 6. 解： 由 ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 4 3 ， 得 ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα. ① 又 ∵ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ② 由 ①② 得 16 9 ｃｏｓ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ∴ｃｏｓ 2 α＝ 9 25 . 又 ∵α 是第三象限的角， ∴ｃｏｓα＝- 3 5 . ∴ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα＝- 4 5 . 第 13 题答图 第 14 题答图 第 15 题答图 第 16 题答图 28 日期： 班级： 姓名： 1. 已知 M !" P ， O !" M ， A !" T 分别是 60° 角的正弦线、 余弦线和正切 线， 则一定有 （ ） A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<OM<MP D. OM<AT<MP 2. 已知角 α 的正弦线和余弦线是方向相反、 长度相等的有向 线段， 则 α 的终边在 （ ） A. 第一象限角平分线上 B. 第四象限角平分线上 C. 第二、 第四象限角平分线上 D. 第一、 第三象限角平分线上 3. 若 - 3π 4 <α<- π 2 ， 则 sinα ， cosα ， tanα 的大小关系是 （ ） A. sinα<tanα<cosα B. tanα<sinα<cosα C. cosα<sinα<tanα D. sinα<cosα<tanα 4. 若 兹∈ 3π 4 ， 3π 2 2 % ， 则 sin兹 的取值范围是 . 5. 有三个结论： ① π 6 与 5π 6 的正弦线相等； 7.2.2 单位圆与三角函数线 7 ② π 3 与 4π 3 的正切线相等； ③ π 4 与 5π 4 的余弦线相等 . 其中正确的是 . （填序号） 6. 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边 . （ 1 ） sinα= 2 3 ； （ 2 ） cosα=- 3 5 . 8