5.1.4 用样本估计总体-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 在抽查产品尺寸的过程中， 将其尺寸分成若干组， ［ a ， b ） 是其中的一组， 抽查出的个体在该组上的频率为 m ， 频率 分布直方图中该组的高为 h ， 则 |a-b|＝ （ ） A. hm B. m h C. h m D. h＋m 2. 如图是一次考试结果的统计 图， 根据该图可估计这次考 试的平均分数为 （ ） A. 46 B. 36 C. 56 D. 60 3. 某校从高一年级学生 中随机抽取部分学 生， 将他们的成绩分 成 6 组： ［ 40 ， 50 ）， ［ 50 ， 60 ）， ［ 60 ， 70 ）， ［ 70 ， 80 ）， ［ 80 ， 90 ）， ［ 90 ， 100 ］ 加 以 统 计， 得到如图所示的频率分布直方图 . 已知高一年级共有学 生 600 名， 据此估计， 高一年级期末数学成绩不少于 60 分 的学生人数为 （ ） 5.1.4 用样本估计总体 人数 成绩 / 分 20 40 60 80 100 10 8 6 4 2 0 第 2 题图 频率 组距 成绩 / 分 40 50 60 70 80 90 100 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 0 第 3 题图 29 A. 588 B. 480 C. 450 D. 120 4. （多选题） 为比较甲、 乙两地某月 14 时的气温状况， 随机选取该月中的 5 天 ， 将这 5 天中 14 时的气温数据 （单位： ℃ ） 制成如图所示的茎叶图 . 则以下结论正确的有 （ ） A. 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温 B. 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温 C. 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气 温的标准差 D. 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气 温的标准差 5. 对某小区 100 户居民的 月均用水量进行统计 ， 得到样本的频率分布直 方图如图所示， 则估计 此样本的众数、 中位数 分别为 （ ） A. 2.25 ， 2.5 B. 2.25 ， 2.02 C. 2 ， 2.5 D. 2.5 ， 2.25 甲 乙 9 8 6 2 8 9 1 1 3 0 1 2 第 4 题图 频率 组距 用水量 /t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.50 1 2 3 4 0.50 0.44 0.30 0.16 0.08 第 5 题图 30 参 考 答 案 * 14. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图得， 一刀宣纸有正 牌 100×0.1×4=40 （张）， 有副牌 100×0.05×4×2=40 （张）， 有废品 100×0.025×4×2=20 （张）， ∴ 该公司一刀宣纸的 利润的估计值为 40×15+40×8-20×20=520 （元）， ∴ 估计 该公司的年利润为 520 万元 . （ 2 ） 由频率分布直方图得， x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58× 0.025×4=50. 根据表中数据， 这种机器生产的一刀宣纸中有正牌 的张数估计为 100×0.682 7=68.27 （张）， 废品的张数估计为 100× （ 1-0.954 5 ） ＝4.55 （张）， 副牌的张数为 100× （ 0.954 5-0.682 7 ） =27.18 （张）， ∴ 一刀宣纸的利润为 68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14 （元）， ∴ 改进后该公司的年利润为 864.14-100= 764.14 （万元）， ∵764.14>520 ， ∴ 建议该公司购买这种 机器 . 5.1.4 用样本估计总体 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 根据频率分布直方图得 （ 0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016 ） ×10=1 ， 解得 a=0.020. （ 2 ） 由众数的概念可知， 众数是出现次数最多的数， ∴ 众数为 70+80 2 =75. ∵0.004×10+0.006×10+0.020×10=0.3 ， ∴ 前三个小矩形的面积的和为 0.3 ， 而第四个小矩形的 面积为 0.030×10=0.3 ， 0.3+0.3=0.6>0.5 ， ∴ 中位数应位于 ［ 70 ， 80 ） 内， 中位数 =70+ 0.5-0.3 0.3 ×10= 230 3 ≈76.7. 平均数为 45× （ 0.004×10 ） +55× （ 0.006×10 ） +65× （ 0.020× 10 ） +75 × （ 0.030 ×10 ） +85 × （ 0.024 ×10 ） +95 × （ 0.016 ×10 ） = 76.2. （ 3 ） 前 5 个小组的频率之和是 （ 0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024 ） ×10=0.84 ， ∴ 第 90 百分位数在第五小组 ［ 90 ， 100 ］ 内， 为 90+ 0.90-0.84 1-0.84 ×10= 375 4 =93.75. 变式训练 2 解： 把专业人士打分样本记为 x 1 ， x 2 ， …， x 8 ， 其平 均数记为 x ， 方差记为 s 2 x ； 把观众代表打分样本记为 y 1 ， y 2 ， …， y 12 ， 其平均数为 y ， 方差记为 s 2 y ； 把总体数据的 平均数记为 z ， 方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z= 8 20 ×47.4+ 12 20 ×56.2=52.68 （分）， 总样本方差为： s 2 = 1 20 8 i=1 移 （ x i -z ） 2 + 12 j=1 移 （ y j -z ） ） $ 2 = 1 20 {8 ［ s 2 x + （ x-z ） 2 ］ +12 ［ s 2 y + （ y-z ） 2 ］ } = 1 20 ×{８× ［ 3.7 2 + （ 47.4-52.68 ） 2 ］ +12× ［ 11.8 2 + （ 56.2-52.68 ） 2 ］ } =107.6 ， 总样本标准差 s≈10.37. ∴ 这名选手得分的平均数为 52.68 分， 标准差约为 10.37. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题中数据可得， 频率分布表如下： （ 2 ） 频率分布直方图如图： （ 3 ） 该月水电费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的 百分比为 0.13+0.07=0.2=20%. 随堂练习 1. B 【解析 】 根据频率分布直方图中每组的高为 频率 组距 ， 可知 m |a-b| =h ， ∴|a-b|= m h . 故选 B. 2. A 【解析】 根据题中统计图， 可知有 4 人成绩在 ［ 0 ， 20 ） 之间， 其考试分数之和为 4×10=40 ； 有 8 人成 绩在 ［ 20 ， 40 ） 之间， 其考试分数之和为 8×30=240 ； 有 10 人成绩在 ［ 40 ， 60 ） 之间 ， 其考试分数之和为 10× 50=500 ； 有 6 人成绩在 ［ 60 ， 80 ） 之间， 其考试分数之 和为 6×70=420 ； 有 2 人成绩在 ［ 80 ， 100 ） 之间， 其考 试分数之和为 2×90=180. 由此可知， 考生总人数为 4+8+ 10+6+2=30 ， 考试总成绩为 40+240+500+420+180=1 380 ， 平均数为 1 380 30 =46. 故选 A. 3. B 【解析】 在频率分布直方图中， 长方形的面积 表示其频率 . 根据所给数据， 估计该校高一年级期末数 分组 频数 频率 ［ 320 ， 380 ） 6 0.20 ［ 380 ， 440 ） 18 0.60 ［ 440 ， 500 ） 4 0.13 ［ 500 ， 560 ］ 2 0.07 合计 30 1.00 频率 组距 月水电费用 / 元 320 380 440 500 560 0.01 0.003 3 0.002 2 0.001 2 变式训练 3 答图 57 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学成绩不少于 60 分的频率为 1- （ 0.005+0.015 ） ×10=0.8 ， ∴ 对应的学生人数为 600×0.8=480. 故选 B. 4. AD 【解析】 ∵x 甲 = 26+28+29+31+31 5 =29 ， x 乙 = 28+29+30+31+32 5 =30 ， ∴x 甲 <x 乙 . 又 s 2 甲 = 9+1+0+4+4 5 = 18 5 ， s 2 乙 = 4+1+0+1+4 5 =2 ， ∴s 甲 > s 乙 . 故由样本估计总体可知 A ， D 正确 . 故选 AD. 5. B 【解析】 众数是指样本中出现频率最高的数 ， 在频率分布直方图中通常取该组区间的中点， ∴ 众数为 2+2.5 2 =2.25. 中位数是频率为 0.5 的分界点， 由频率分布 直方图， 可知前 4 组的频率和为 （ 0.08+0.16+0.30+0.44 ） ×0.5=0.49 ， 因此中位数出现在第 5 组 ， 设中位数为 x ， 则 （ x-2 ） ×0.5=0. 01 ， 解得 x=2.02 ， 故选 B. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 这 3 000 个 数 据 的 平 均 数 为 78.1×800+85×1 300+91.9×900 3 000 =85.23. 用样本平均数估计 总体平均数， 可知这 4 万个数据的平均数约为 85.23. 故 选 B. 2. C 【解析 】 由频率分布直方图得 ， 自学时间在 ［ 0.5 ， 2 ） 的频率为 （ 0.16+0.2+0.34 ） ×0.5=0.35 ， 自学时 间在 ［ 2 ， 2.5 ） 的频率为 0.52×0.5=0.26 ， ∴ 自学时间的 中位数为 2+ 0.5-0.35 0.26 ×0.5≈2.29 ， 众数为 2+2.5 2 =2.25. 故 选 C. 3. C 【解析 】 由频率分布直方图得 （ 0.005+0.010+ 0.010+0.015+a+0.025+0.005 ） ×10=1 ， 解得 a=0.030 ， 故 A 错误； 样本数据低于 130 分的频率为 1- （ 0.025+0.005 ） × 10=0.7 ， 故 B 错误； ［ 80 ， 120 ）的频率为 （ 0.005+0.010+ 0.010+0.015 ） ×10=0.4 ， ［ 120 ， 130 ） 的频率为 0.030×10= 0.3 ， ∴ 总体的中位数 （保留 1 位小数 ） 估计为 120+ 0.5-0.4 0.3 ×10≈123.3 （分 ） ， 故 C 正 确 ； 样 本 分 布 在 ［ 90 ， 100 ）的频数一定与样本分布在 ［ 100 ， 110 ）的频数 相等， 总体分布在 ［ 90 ， 100 ）的频数不一定与总体分布 在［ 100 ， 110 ）的频数相等， 故 D 错误 . 故选 C. 4. A 【解析】 利用特殊法解决 . 假设 n=2 ， 这 2 名学 生的得分分别为 150 ， 150 ， 则这 2 名学生中得分至少为 1 分的人数为 b 1 =2 ， 这 2 名学生中得分至少为 2 分的人 数为 b 2 =2 ， 这 2 名学生中得分至少为 3 分的人数为 b 3 = 2 ， …， 这 2 名学生中得分至少为 150 分的人数为 b 150 = 2 ， 即这 2 名学生中得分至少为 k （ 1≤k≤150 ） 分的人 数 b k 分别为 2 ， 2 ， …， 2 ， 2. 一共有 150 个 “ 2 ”， 从而 得 k 分的同学会被记 k 次， 所有 b k 的和恰好是所有人得 分的总和， 即 b 1 +b 2 + … +b k-1 +b k =a 1 +a 2 ， 从而 b 1 +b 2 + … +b 150 n = 2+2+2+ … +2 2 = 2×150 2 =150. b 1 +b 2 + … +b 150 150 = 2+2+2+ … +2 150 = 2×150 150 =2. 故选 A. 5. D 【解析】 由茎叶图得乙运动员得分的中位数是 17 ， 平均值为 9+14+15+17+18+19+20 7 =16. 根据甲得分的 折 线 图 确 定 被 墨 迹 污 损 的 两 个 数 字 取 值 范 围 为 ［ 13 ， 15 ］， ∴ 甲运动员得分的极差是 28-9=19 ， 甲运动 员得分有 4 8 = 1 2 的叶集中在茎 1 上， 甲运动员得分数据 比乙分散， ∴ 甲发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性 差， 甲运动员得分平均值 x 甲 > 9+12+13+13+13+20+26+28 8 >16 ， ∴D 错误 . 故选 D. 6. B 【解析】 根据茎叶图中数据的分布可得， A 班 学生的分数多集中在 ［ 70 ， 90 ］ 之间， B 班学生的分数 集中在 ［ 50 ， 80 ］ 之间， ∴x A >x B . 相对两个班级的成绩分 布来说， A 班学生的分数更加集中， B 班学生的分数更 加离散， ∴s 2 A <s 2 B . 故选 B. 7. 3 t 【解析 】 ［ 0 ， 0.5 ） 的频数为 0.08×0.5×100 =4 ， ［ 0.5 ， 1 ） 的频数为 0.16×0.5×100=8 ， ［ 1 ， 1.5 ） 的 频数为 0.3×0.5×100=15, ［ 1.5 ， 2 ） 的频数为 0.44×0.5× 100 =22 ， ［ 2 ， 2.5 ） 的 频 数 为 0.5 ×0.5 ×100 =25 ， ［ 2.5 ， 3 ） 的频数为 0.28×0.5×100=14 ， ［ 3 ， 3.5 ） 的频数 为 0.12×0.5×100=6 ， ［ 3.5 ， 4 ） 的频数为 0.08×0.5×100= 4 ， ［ 4 ， 4.5 ） 的频数为 0.04×0.5×100=2 ， 4+8+15+22+ 25+14=88 ， ∴ 前 6 组占 88% ， a 为 3 t. 8. 0.982 5 【解析】 总车次： 10+20+10=40 ， 则所有 车次的平均正点率为 10×0.97+20×0.99+10×0.98 40 =0.982 5. 9. 解： （ 1 ） 由样本数据可知， 在昼批次的 20 个样 本中有 2 个不合格品， 有 18 个合格品， 合格品的比率 为 18 20 =0.9 ， 因此昼批次合格品概率估计值为 0.9. 在夜批 次的 20 个样本中有 4 个不合格品， 有 16 个合格品， 合 格品的比率为 16 20 =0.8 ， 因此夜批次合格品概率估计值为 0.8. （ 2 ） 昼批次合格品的概率为 0.9 ， 不合格品的概率 为 0.1 ， ∴1 000 件产品中合格品的均值为 900 件， 不合 格品的均值为 100 件 ， ∴ 利润为 900×10-100×5=8 500 （元）； 夜批次合格品的概率为 0.8 ， 不合格品的概率为 0.2 ， ∴1 000 件产品中合格品的均值为 800 件， 不合格 品的均值为 200 件 ， ∴ 利润为 800×10-200×5=7 000 58 参 考 答 案 （元） . ∴ 这台车床一天的总利润的平均值为 8 500+7 000= 15 500 （元） . 10. 解： （ 1 ） 根据频率和为 1 ， 得 2× （ 0.02+0.095+ 0.11+0.125+x+0.05+0.025 ） =1 ， 解得 x=0.075 ； 由图可知， 最高矩形的数据组为 ［ 6 ， 8 ）， ∴ 众数为 1 2 × （ 6+8 ） =7. （ 2 ） ［ 0 ， 6 ） 内的频率之和为 （ 0.02+0.095+0.11 ） ×2=0.45 ； 设中位数为 y ， 则 0.45+ （ y-6 ） ×0.125=0.5 ， 解 得 y=6.4 ， ∴ 中位数为 6.4 ； 平均数为 2× （ １×0.02+3× 0.095+5×0.11+7×0.125+9×0.075+11×0.05+13×0.025 ） =6.56. （ 3 ） 月平均用电量为 ［ 10 ， 12 ） 的用户在四组用户 中所占的比例为 0.05 0.125+0.075+0.05+0.025 = 2 11 ， ∴ 月平均 用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户中应抽取 11× 2 11 =2 （户） . （ 4 ） 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户中应抽取 11× 1 11 =1 （户）， 月平均用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户设为 A ， B ， 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户设为 C ， 从 ［ 10 ， 12 ）， ［ 12 ， 14 ） 这两组中随机抽取 2 户共有 AB ， AC ， BC 三种情况， 其中， 抽取的 2 户不是来自同一个 组的有 AC ， BC 两种情况， ∴ 抽取的 2 户不是来自同一 个组的概率为 2 3 . 提升练习 11. ABC 【解析】 由柱形图可知， 2010 — 2018 年的 CPI 均大于 100 ， 说明其中每一年的居民消费价格都大 于前一年的居民消费价格， ∴2010 — 2018 年居民消费价 格总体呈增长趋势是正确的， 故 A 正确； 由柱形图可知， 2010 年的居民消费价格的增长率为 3.02% ， 2011 年的居民消费价格的增长率为 5.62% ， 都 超过了 3% ， 故 B 正确； 2009 年的 CPI 的值小于 100 ， 说明当年的居民消费 价格低于 2008 年的居民消费价格， ∴2009 年的居民消 费价格出现负增长是正确的， 故 C 正确； 由柱形图可知， 2011 年的居民消费价格的增长率最 高 ， 从 2010 — 2018 年每年的居民消费价格都在增长 ， ∴2018 年的居民消费价格才是最高的， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. BC 【解析 】 车速在 ［ 70 ， 75 ） 的频率为 1- （ 0.01+0.02+0.06+0.05+0.02 ） ×5=0.2 ， 故 A 错误； ∵ （ 0.01+0.02 ） ×5×n=45 ， ∴n=300 ， ∴ 车速超过 80 km/h 的车辆数为 （ 0.05+0.02 ） ×5×300=105 ， 故 B 正确； ∵ ［ 75 ， 80 ） 这一组数据的频率最大， ∴ 估计众数 为 77.5 ， 故 C 正确； ∵ （ 0.01+0.02+0.04 ） ×5=0.35<0.5 ， （ 0.01+0.02+0.04+ 0.06 ） ×5=0.65>0.5 ， ∴ 中位数在区间 ［ 75 ， 80 ） 内， ∴ 该 样本的中位数为 75+ 0.15 0.3 ×5=77.5 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 13. 4 【解析】 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 = （ x 1 -x ） 2 + （ x 2 -x ） 2 + … + （ x n -x ） 2 n = （x 2 1 -2x 1 x+x 2 ） + （x 2 2 -2x 2 x+x 2 ） + … + （x 2 n -2x n x+x 2 ） n = （x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 n ） -2x （x 1 +x 1 + … +x n ） +nx 2 n = 1 n n i=1 移 x 2 i - 2x · nx n +x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -1.6 2 =1.44 ， ∴ 1 n n i=1 移 x 2 i =1.6 2 +1.44=4. 14. ②③ 【解析】 不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故 ① 错误； 因为甲、 乙两校男生成绩的优秀率均大于女生成绩 的优秀率， 故甲、 乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、 乙两校所有女生成绩的优秀率， 故 ② 正确； 因为不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故不能确定 甲校学生成绩的优秀率与甲、 乙两校所有学生成绩的优 秀率的大小关系， 故 ③ 正确 . 15. 解： （ 1 ） 由题意得 （ a+0.04+0.085+0.11+0.125+ b+a+0.01+0.01 ） ×2=1 ， 即 b+2a=0.12. 又 ∵b=2a ， ∴a=0.03 ， b=0.06. （ 2 ） ∵ 前三组的频率之和为 0.31 ， 前四组的频率之 和为 0.53 ， ∴ 中位数 x∈ ［ 6 ， 8 ）， ∴ （ x-6 ） ×0.11+0.31=0.5 ， 即 x= 0.19 0.11 +6≈7.7 ， 即中位数的估计值为 7.7. （ 3 ） 这周课外阅读时间为 ［ 0 ， 6 ） ， ［ 6 ， 10 ） ， ［ 10 ， 14 ）， ［ １４ ， 18 ］ 的频率分别为 0.31 ， 0.47 ， 0.18 ， 0.04. ∴ 各组的人数分别为 31 ， 47 ， 18 ， 4. 一共奖励这 100 名学生笔记本的数量为 47+18×2+4× 3=95. 5.2 概 率 5.2.1 样本空间与事件 学习手册 变式训练 1 解： 由题意知 ① 中事件可能发生， 也可能不发生， 所以是随机事件； ② 中事件一定会发生， 是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是 1 ， 两次朝上面的数字之 和最小是 2 ， 不可能小于 2 ， 所以 ③ 中事件不可能发生， 是不可能事件 . 59