5.1.3 数据的直观表示-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 随着人民生活水平的提高， 对城市空 气质量的关注度也逐步增大， 下图是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测情况， 图中一、 二、 三、 四级是空气质量等级， 一级空气质 量最好， 一级和二级都是质量合格天气， 下 面四种说法正确的是 （ ） ①1 月至 8 月空气质量合格天数超过 20 天 的月份有 5 个； ② 第二季度与第一季度相比， 空气质量合格天数的比重下降了； ③8 月是空 气质量最好的一个月； ④6 月的空气质量最差 . A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 2. 为了了解运动健身减肥的效果， 某健 身房调查了 20 名肥胖者， 健身之前他们的 体重情况如三维饼图 1 所示， 经过四个月的 健身后， 他们的体重情况如三维饼图 2 所 示 . 对比健身前后， 关于这 20 名肥胖者， 下 面结论不正确的是 （ ） A. 他们健身后， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数不变 B. 他们健身后， 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 4 人 C. 他们健身后， 这 20 位健身者体重的 中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） D. 他们健身后， 原来体重在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者体重都至少减轻了 10 kg 3. 某校高三共有学生 1 000 人， 该校高三 学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方 图如图所示， 则该校高三学生在本次考试中 数学成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内的人数为 （ ） A. 30 人 B. 300 人 C. 10 人 D. 100 人 4. 某中学 2023 年的高考考生人数是 2020 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地 对比该校考生的升学情况， 统计了该校 2020 年和 2023 年的高考情况， 得到如图柱形图： 5.1.3 数据的直观表示 1 4 35 30 25 20 15 10 5 0 7 月 8 月 6 月 5 月 4 月 3 月 2 月 15 四级 三级 二级 一级 9 14 3 23 17 16 11 9 3 13 5 25 23 5 14 16 1 月 7 2 3 3 3 第 1 题图 ［ 100 kg ， 110 kg ） 30% ［ 90 kg ， 100 kg ） 40% ［ 80 kg ， 90 kg ） 30% ［ 100 kg ， 110 kg ） 50% ［ 90 kg ， 100 kg ） 40% ［ 110 kg ， 120 kg ） 10% 图 1 图 2 第 2 题图 100 110 120 13080 90 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0 频率 组距 分数 / 分 第 3 题图 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 一本达 线率 二本达 线率 艺体达 线率 不上 线率 32% 8% 28% 32% 2020 年高考数据统计 36 第五章 统计与概率 练 则下列结论正确的是 （ ） A. 与 2020 年相比， 2023 年一本达线人 数减少 B. 与 2020 年相比， 2023 年二本达线人 数增加了 1 2 C. 2020 年与 2023 年艺体达线人数相同 D. 与 2020 年相比， 2023 年不上线的人 数有所增加 5. 为了开发出更多适合消费者需求的房 屋， 以引导理性开发， 理性消费 . 某房地产 营销策划公司对 2 000 位客户的需求进行了 调查， 并利用专业的软件进行统计分析， 绘 制出如图所示的消费者对需求面积的统计分 布图 其中需求率 = 需求客户数 被调查客户总数 数 " ， 请你 观察并计算需求面积在 100~140 （含 140 ， 不含 100 ） m 2 的客户数是 . 6. 甲、 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次， 两人成绩的条形统计图如图所示， 则 下列描述中， 正确的是 （请写出所 有正确判断的序号） . ① 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平 均数； ② 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中 位数； ③ 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差； ④ 甲的成绩的极差小于乙的成绩的 极差 . 7. 今年 5 月海淀区教育网开通了网上教 学， 某校高一年级 （ 8 ） 班班主任为了了解学 生上网学习时间， 对本班 40 名学生某天上网 学习时间进行了调查， 将数据 （取整数） 整 理后， 绘制出如图所示频率分布直方图 . 已 知从左到右各个小组的频率分别是 0.15 ， 0.25 ， 0.35 ， 0.20 ， 0.05 ， 则根据直方图所提供的信 息， 这一天上网学习时间在 100～119 min 之 间的学生人数是 人 . 如果只用这 40 名学生这一天上网学习时间作为样本去推断 该校高一年级全体学生该天的上网学习时间， 这样推断是否合理 （填 “合理” 或 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 一本达 线率 二本达 线率 艺体达 线率 不上 线率 40% 8% 28% 24% 2023 年高考数据统计 第 4 题图 第 5 题图 频数 环数 3 4 5 6 7 8 9 2 1 0 频数 环数 3 4 5 6 7 8 9 3 2 1 0 甲 乙 第 6 题图 需求率 面积 /m 2 6 0 ~ 8 0 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 8 0 ~ 1 0 0 1 0 0 ~ 1 2 0 1 2 0 ~ 1 4 0 1 4 0 ~ 1 6 0 1 6 0 ~ 1 8 0 其 他 2.7% 7.2% 12.2% 49.5% 19.9% 8.1% 0.4% 37 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 “不合理”） . 8. 通常满分为 100 分的试卷， 60 分为 及格线 ， 若某次满分为 100 分的测试卷 ， 100 人参加测试， 将这 100 人的卷面分数按 照 ［ 24 ， 36 ）， ［ 36 ， 48 ）， …， ［ 84 ， 96 ］ 分 组后绘制的频率分布直方图如图所示 . 由于 及格人数较少， 某位老师准备将每位学生的 卷面分采用 “开方乘以 10 取整” 的方式进 行换算以提高及格率 （实数 a 的取整等于不 超过 a 的最大整数 ）， 如某位学生卷面 49 分， 则换算成 70 分作为他的最终考试成绩， 则按照这种方式， 这次测试的及格率将变为 . 9. 某次数学考试后 ， 抽取了 20 名同 学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图 如下： （ 1 ） 求频率分布直方图中 a 的值； （ 2 ） 求 20 位同学成绩的平均分； （ 3 ） 估计样本数据的第一四分位数和第 80 百分位数 （保留三位有效数字） ． 提 升 练 习 10． （多选题） 某学校为了调查学生在 一周内生活方面的支出情况， 抽出了一个容 量为 n 的样本， 其频率分布直方图如图所 示， 其中支出在 ［ ５0 ， ６0 ） 元的学生有 60 人， 则下列说法正确的有 （ ） 第 7 题图 频率 组距 卷面分 / 分 24 36 48 60 72 84 96 0.025 0.015 0.005 0 第 8 题图 频率 组距 成绩 50 60 70 80 90 100 7a 6a 3a 2a O 第 9 题图 频率 组距 20 30 40 50 60 元 0.036 0.024 0.01 0 第 10 题图 频率 组距 时间 /min 59.9 79.9 99.9 119.9 139.9 159.9 0 38 第五章 统计与概率 练 A． 样本中支出在 ［ 50 ， 60 ） 元的频率 为 0.03 B． 样本中支出不少于 40 元的人数为 132 C． n 的值为 200 D． 若该校有 2 000 名学生， 则定有 600 人支出在 ［ 50 ， 60 ） 元 11． （多选题） 甲、 乙两人的各科成绩如 茎叶图所示， 则下列说法正确的有 （ ） A． 甲、 乙两人的各科成绩的平均分相同 B． 甲成绩的中位数是 83 ， 乙成绩的中 位数是 85 C． 甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D． 甲成绩的众数是 89 ， 乙成绩的众数 是 87 12． 在育民中学举行的电脑知识竞赛中， 将九年级两个班参赛的学生成绩 （得分均为 整数） 进行整理后分成五组， 绘制成如图所 示的频率分布直方图 ． 已知图中从左到右的 第一、 第三、 第四、 第五小组的频率分别是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， 第二小组的频数是 40. （ 1 ） 求第二小组的频率， 并补全这个频 率分布直方图； （ 2 ） 求这两个班参赛的学生人数是 多少； （ 3 ） 这两个班参赛学生的成绩的中位数 应落在第几小组内？ 13. （多选题） 给出如图所示的三幅图： 甲 乙 8 6 4 6 4 7 7 4 6 3 9 4 8 5 7 2 3 9 8 8 5 3 第 11 题图 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 分数 O 第 12 题图 人口 / 亿 年份 1957 1974 1987 1999 2025 2050 100 80 60 40 20 世界人口变化情况统计图 欧洲 非洲 亚洲 北美洲 南美洲及 大洋洲 2050 年世界人口分布预测图 欧洲 非洲 北美洲 亚洲南美洲 及 大洋洲 60 50 40 30 20 10 0 人口 / 亿 第 13 题图 2050 年世界人口预测图 39 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 则下列说法中， 正确的有 （ ） A． 从折线图能看出世界人口的变化 情况 B． 2050 年非洲人口将达到大约 15 亿 C． 2050 年亚洲人口比其他各洲人口的 总和还要多 D． 从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲 人口增长速度最慢 * 14． 中国独有的文书工具， 即笔、 墨、 纸、 砚， 有 “文房四宝” 之名， 起源于南北 朝时期 ． 其中宣纸是 “文房四宝” 的一种， 宣纸 “始于唐代， 产于泾县”， 因唐代泾县 隶属宣州管辖， 故因地得名宣纸 ． 宣纸按质 量等级分为： 正牌 （优等品）、 副牌 （合格 品）、 废品三等 ． 某公司生产的宣纸为纯手工 制作， 年产宣纸 10 000 刀 （ 1 刀 =100 张）， 该公司按照某种质量指标 x 给宣纸确定等级 如下表所示： 在该公司所生产的宣纸中随机选取一刀 进行检验， 得到频率分布直方图如图所示 . 已知每张正牌宣纸的利润为 15 元， 副牌宣 纸的利润为 8 元， 废品的利润为 -20 元 ． （ 1 ） 试估计该公司的年利润； （ 2 ） 市场上有一种售价为 100 万元的机 器可以改进宣纸的生产工艺， 但这种机器的 使用寿命为一年， 只能提高宣纸的质量， 不 能增加宣纸的年产量 . 据调查这种机器生产 的宣纸的质量指标 x 如下表所示： 其中 x 为质量指标 x 的平均值， 但是由 于人们对传统手工工艺的认可， 改进后的正 牌和副牌宣纸的利润都将下降 3 元 / 张， 请 问该公司是否应该购买这种机器 . 请你为该 公司提出合理化建议， 并说明理由 ． （同一 组的数据用该组区间的中点值作代表） x 的范围 （ 44 ， 48 ］ ∪ （ 52 ， 56 ］ （ 48 ， 52 ］ ［ 0 ， 44 ］ ∪ （ 56 ， 60 ］ 质量等级 副牌 正牌 废品 频率 组距 40 44 48 52 56 60 质量指标 x 0.1 0.05 0.025 0 第 14 题图 x 的范围 （ x-2 ， x+2 ） （ x-6 ， x+6 ） 频率 0.682 7 0.954 5 40 参 考 答 案 ∴ 全班同学成绩的方差是 s 2 = 1 45 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -45×78 2 ］ = 1 45 × ［（ 121 545+ 155 700 ） -273 780 ］ =77. （ 3 ） 能 . 若后 30 名中有人不及格， 设该同学为 b 30 ， 则 b 30 ≤59 ， 该同学比平均分低至少 13 分， 那么其他同 学比平均分高出的分数至少有 13 分， ∴ （ b 1 -72 ） 2 + … + （ b 30 -72 ） 2 ≥13+169=182 ， 而 （ b 1 -72 ） 2 + （ b 2 -72 ） 2 + … + （ b 30 - 72 ） 2 =180 ， 182>180 ， 矛盾， ∴ 必定全部及格 . 5.1.3 数据的直观表示 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95+104 2 = 99.5 ， 故 A 错误； 这 12 天中， 空气质量为 “优良” 的 有 95 ， 85 ， 77 ， 67 ， 72 ， 92 共 6 天， 故 B 错误； 从 4 日到 9 日， 空气质量越来越好， 故 C 正确； 这 12 天的 AQI 的平均值为 110 ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 3 【解析】 由茎叶图知， 甲、 乙两组共 24 名同学中， 成绩不及格的有 12 人， 分层抽样的抽取比例为 6 24 = 1 4 ， ∴ 不及格的分数应抽取 1 4 ×１２=3 （个） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 样本容量是 100. （ 2 ） ①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示 . （ 3 ） 设旅客平均购票用时为 t min ， 则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 100 ≤t< 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 100 ， 即 15≤t<20 ， ∴ 旅客购票用时的平均数可能落在第 四组 . 随堂练习 1. B 【解析】 由题意知去掉一个最高分和一个最低 分以后， 两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲 和乙的平均分为 a 1 = 1+4+5×3 5 +80=84 ， a 2 = 7+6+4×3 5 +80= 85 ， 故有 a 2 >a 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意 ， 初中部女教师人数为 110× 70%=77 （人）， 高中部女教师人数为 150×40%=60 （人）， 总共有 77+60=137 （人） . 故选 C. 3. C 【解析】 由频率分布直方图得， 第一组、 第二 组的频率为 5×0.02+5×0.04=0.3 ， 第三组的频率为 5× 0.08=0.4 ， ∴ 中位数落在第三组并设为 x ， 则有 （ x-20 ） × 0.08=0.2 ， 解得 x=22.5. 故选 C. 4. n m x 【解析】 由图可得 n=5 ， m=5.5 ， x>5.5 ， ∴n<m<x. 5. A 【解析 】 成绩落在小于 17 s 的频率为 0.34+ 0.36+0.18+0.02=0.90 ， ∴x=0.9 ； 成绩落在大于等于 15 s 且小于 17 s 的频率为 0.34+0.36=0.70 ， ∴ 对应的人数为 50×0.70=35. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 在 ① 中， 1 月至 8 月空气质量合格天数 超过 20 天的月份有 1 月、 2 月、 6 月、 7 月、 8 月， 共 5 个， 故 ① 正确； 在 ② 中， 第一季度合格天数的比重为 22+26+19 31+29+31 ≈0.736 3 ； 第 二 季 度 合 格 天 数 的 比 重 为 19+13+25 30+31+30 ≈0.626 4 ， ∴ 第二季度与第一季度相比， 空气 合格天数的比重下降了， ∴② 是正确的； 在 ③ 中， 8 月空 气质量合格天数达到 30 天， 是空气质量最好的一个月， ∴③ 是正确的； 在 ④ 中， 5 月空气质量合格天数只有 13 天， 5 月的空气质量最差， ∴④ 是错误的 . 故选 A. 2. D 【解析 】 易得他们健身前后 ， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占比均为 40% ， 故 A 正确； 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 50％- ３０％＝２0％ ， 即 ２0×20%=4 （人）， 故 B 正确； 因为健身后 体重在区间 ［ 80 kg ， 90 kg ） 内的人数占 30% ， ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占 40% ， 故中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） ， 故 C 正 确 ； 易 举 出 反 例 ， 若 原 体 重 在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者重量为 110 kg ， 减肥后为 109 kg 依然满足， 故 D 错误 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意可知， 成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内 的人数为 1 000×10× （ 0.020+0.010 ） =300 （人） . 故选 B. 4. D 【解析】 设 2020 年该校参加高考的人数为 S ， 则 2023 年该校参加高考的人数为 1.5S. 2020 年一本达线 人数为 0.28S ， 2023 年一本达线人数为 0.24×1.5S=0.36S ， 可见一本达线人数增加了， 故 A 错误； 2020 年二本达线 人数为 0.32S ， 2023 年二本达线人数为 0.4×1.5S=0.6S ， 变式训练 3 答图 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 O 55 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 显然 2023 年二本达线人数不是增加了 0.5 倍， 故 B 错 误； 2020 年和 2023 年， 艺体达线率没变， 但是人数是 不相同的 ， 故 C 错误 ； 2020 年不上线人数为 0.32S ， 2023 年不上线人数为 0.28×1.5S=0.42S ， 不达线人数有所 增加， 故 D 正确 . 故选 D. 5. 1 234 【解析】 由需求率柱形图， 可求得需求面积 在 100~140 的需求率为 49.5%+12.2%=61.7%. ∴ 所求客 户数 n=2 000×61.7%=1 234. 6. ③ 【解 析 】 由 柱 形 图 易 知 甲 的 平 均 数 x 甲 = 4+5+6+7+8 5 =6 ， 中位数为 ６ ， 方差 s 2 甲 = （ -2 ） 2 + （ -1 ） 2 +0 2 +1 2 +2 2 5 =2 ， 极差为 8-4=4 ； 乙的平均数 x 乙 = 3×5+6+9 5 = 30 5 =6 ， 中位数为 5 ， 方差 s 2 乙 = 3× （ 6-5 ） 2 + （ 6-6 ） 2 + （ 6-9 ） 2 5 = 3+0+9 5 >2 ， 极差为 9-5=4 ， 故 x 甲 =x 乙 ， 甲、 乙成绩的中位数不 相等且 s 2 乙 >s 2 甲 ， 甲、 乙成绩的极差相等 . 7. 14 不合理 【解析】 由直方图可知： 这一天上网 学习时间在 100~119 min 之间的学生人数的频率为 0.35 ， 则人数为 40×0.35=14 （人）； “ 40 名学生” 这个样本相 对于 “该校高一年级全体学生” 这个总体数据太小， 不 具有代表性， ∴ 如果只用这 40 名学生这一天上网学习时 间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天上网学习 时间， 这样的推断是不合理的 . 8. 0.82 【解析】 先考虑进行换算前 36 分以上 （含 36 分） 的学生的频率， 该频率为 1-0.015×12=0.82 ， 换算 后， 原来 36 分以上 （含 36 分） 的学生都算及格， 故这 次测试的及格率将变为 0.82. 9. 解： （ 1 ） 依图可得 （ 2a+3a+7a+6a+2a ） ×10=1 ， 解 得 a=0.005. （ 2 ） 根据题意得 （ 55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95× 2a ） ×10=76.5. （ 3 ） 由图可知， ［ 50 ， 60 ）， ［ 60 ， 70 ）， ［ 70 ， 80 ）， ［ 80 ， 90 ）， ［ 90 ， 100 ］ 对应频率分别为 0.1 ， 0.15 ， 0.35 ， 0.3 ， 0.1 ， 前两组频率之和恰为 0.25 ， 故第一四分位数为 70.0. 前三组频率之和为 0.6 ， 前四组频率之和为 0.9 ， ∴ 第 80 百分位数在第四组 . 设第 80 百分位数为 x ， 则 0.6+ （ x-80 ） ×10×0.03=0.8 ， 解得 x≈86.7. 提升练习 10. BC 【解析】 样本中支出在 ［ 50 ， 60 ） 元的频率 为 1- （ 0.01+0.024+0.036 ） ×10=0.3 ， 故 A 错误； 样本中支出不少于 40 元的人数为 0.036 0.03 ×60+60=132 ， 故 B 正确； n= 60 0.3 =200 ， 故 C 正确； 若该校有 2 000 名学生， 则可能有 0.3×2 000=600 人 支出在 ［ 50 ， 60 ） 元， 故 D 错误 . 故选 BC. 11. ABC 【解析】 甲成绩的平均数 x 甲 = 1 9 × （ 68+74+ 77+83+83+89+84+92+93 ） = 743 9 ， 乙成绩的平均数 x 乙 = 1 9 × （ 64+66+74+76+85+87+98+ 98+95 ） = 743 9 ， 故 A 正确； 由茎叶图知甲成绩的中位数 是 83 ， 乙成绩的中位数是 85 ， 故 B 正确； 由茎叶图知 甲的数据相对集中， 乙的数据相对分散， 故甲的各科成 绩比乙的各科成绩稳定， 故 C 正确； 甲成绩的众数是 83 ， 乙成绩的众数是 98 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. 解： （ 1 ） ∵ 各小组的频率之和为 1.00 ， 第一、 三、 四、 五小组的频率分别是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， ∴ 第二小组的频率为 1.00- （ 0.30+0.15+0.10+0.05 ） = 0.40 ， ∴ 落在 59.5~69.5 的第二小组的小长方形的高 = 频率 组距 = 0.40 10 =0.04 ， 则补全的频率分布直方图如图所示 . （ 2 ） 设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人， ∵ 第 二小组的频数为 40 人， 频率为 0.40 ， ∴ 40 x =0.40 ， 解得 x=100 ， ∴ 这两个班参赛的学生人数为 100 人 . （ 3 ） ∵0.3×100=30 ， 0.4×100=40 ， 0.15×100=15 ， 0.10 ×100=10 ， 0.05×100=5 ， 即第一、 二、 三、 四、 五小组的 频数分别为 30 ， 40 ， 15 ， 10 ， 5 ， ∴ 九年级两个班参赛 学生的成绩的中位数应落在第二小组内 . 13. AC 【解析】 从折线图能看出世界人口的变化情 况， 故 A 正确； 从柱形图中可得到， 2050 年非洲人口 大约将达到 17 亿， 故 B 错误； 从扇形图中能够明显地 得到结论： 2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要 多， 故 C 正确； 由题中三幅图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢 ， 故 D 错误 ． 故选 AC. 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 分数 0 第 12 题答图 56 参 考 答 案 * 14. 解： （ 1 ） 由频率分布直方图得， 一刀宣纸有正 牌 100×0.1×4=40 （张）， 有副牌 100×0.05×4×2=40 （张）， 有废品 100×0.025×4×2=20 （张）， ∴ 该公司一刀宣纸的 利润的估计值为 40×15+40×8-20×20=520 （元）， ∴ 估计 该公司的年利润为 520 万元 . （ 2 ） 由频率分布直方图得， x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58× 0.025×4=50. 根据表中数据， 这种机器生产的一刀宣纸中有正牌 的张数估计为 100×0.682 7=68.27 （张）， 废品的张数估计为 100× （ 1-0.954 5 ） ＝4.55 （张）， 副牌的张数为 100× （ 0.954 5-0.682 7 ） =27.18 （张）， ∴ 一刀宣纸的利润为 68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14 （元）， ∴ 改进后该公司的年利润为 864.14-100= 764.14 （万元）， ∵764.14>520 ， ∴ 建议该公司购买这种 机器 . 5.1.4 用样本估计总体 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 根据频率分布直方图得 （ 0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016 ） ×10=1 ， 解得 a=0.020. （ 2 ） 由众数的概念可知， 众数是出现次数最多的数， ∴ 众数为 70+80 2 =75. ∵0.004×10+0.006×10+0.020×10=0.3 ， ∴ 前三个小矩形的面积的和为 0.3 ， 而第四个小矩形的 面积为 0.030×10=0.3 ， 0.3+0.3=0.6>0.5 ， ∴ 中位数应位于 ［ 70 ， 80 ） 内， 中位数 =70+ 0.5-0.3 0.3 ×10= 230 3 ≈76.7. 平均数为 45× （ 0.004×10 ） +55× （ 0.006×10 ） +65× （ 0.020× 10 ） +75 × （ 0.030 ×10 ） +85 × （ 0.024 ×10 ） +95 × （ 0.016 ×10 ） = 76.2. （ 3 ） 前 5 个小组的频率之和是 （ 0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024 ） ×10=0.84 ， ∴ 第 90 百分位数在第五小组 ［ 90 ， 100 ］ 内， 为 90+ 0.90-0.84 1-0.84 ×10= 375 4 =93.75. 变式训练 2 解： 把专业人士打分样本记为 x 1 ， x 2 ， …， x 8 ， 其平 均数记为 x ， 方差记为 s 2 x ； 把观众代表打分样本记为 y 1 ， y 2 ， …， y 12 ， 其平均数为 y ， 方差记为 s 2 y ； 把总体数据的 平均数记为 z ， 方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z= 8 20 ×47.4+ 12 20 ×56.2=52.68 （分）， 总样本方差为： s 2 = 1 20 8 i=1 移 （ x i -z ） 2 + 12 j=1 移 （ y j -z ） ） $ 2 = 1 20 {8 ［ s 2 x + （ x-z ） 2 ］ +12 ［ s 2 y + （ y-z ） 2 ］ } = 1 20 ×{８× ［ 3.7 2 + （ 47.4-52.68 ） 2 ］ +12× ［ 11.8 2 + （ 56.2-52.68 ） 2 ］ } =107.6 ， 总样本标准差 s≈10.37. ∴ 这名选手得分的平均数为 52.68 分， 标准差约为 10.37. 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题中数据可得， 频率分布表如下： （ 2 ） 频率分布直方图如图： （ 3 ） 该月水电费用在 ［ 440 ， 560 ］ 内的家庭所占的 百分比为 0.13+0.07=0.2=20%. 随堂练习 1. B 【解析 】 根据频率分布直方图中每组的高为 频率 组距 ， 可知 m |a-b| =h ， ∴|a-b|= m h . 故选 B. 2. A 【解析】 根据题中统计图， 可知有 4 人成绩在 ［ 0 ， 20 ） 之间， 其考试分数之和为 4×10=40 ； 有 8 人成 绩在 ［ 20 ， 40 ） 之间， 其考试分数之和为 8×30=240 ； 有 10 人成绩在 ［ 40 ， 60 ） 之间 ， 其考试分数之和为 10× 50=500 ； 有 6 人成绩在 ［ 60 ， 80 ） 之间， 其考试分数之 和为 6×70=420 ； 有 2 人成绩在 ［ 80 ， 100 ） 之间， 其考 试分数之和为 2×90=180. 由此可知， 考生总人数为 4+8+ 10+6+2=30 ， 考试总成绩为 40+240+500+420+180=1 380 ， 平均数为 1 380 30 =46. 故选 A. 3. B 【解析】 在频率分布直方图中， 长方形的面积 表示其频率 . 根据所给数据， 估计该校高一年级期末数 分组 频数 频率 ［ 320 ， 380 ） 6 0.20 ［ 380 ， 440 ） 18 0.60 ［ 440 ， 500 ） 4 0.13 ［ 500 ， 560 ］ 2 0.07 合计 30 1.00 频率 组距 月水电费用 / 元 320 380 440 500 560 0.01 0.003 3 0.002 2 0.001 2 变式训练 3 答图 57