5.1.1 数据的收集-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

参 考 答 案 令 x 2 >x 1 ≥35 ， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） = x 1 + 100 x 1 1 # - x 2 + 100 x 2 1 2 = （ x 1 -x 2 ）（ x 1 x 2 -100 ） x 1 x 2 . ∵x 2 >x 1 ≥35 ， ∴x 1 -x 2 <0 ， x 1 x 2 >100 ， 即 x 1 x 2 -100>0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . ∴ f （ x ） =x+ 100 x 在 ［ 35 ， +∞ ） 上为增函数 . ∴ 当 x=35 时， y 2 有最小值， 约为 3 229.7. 此时 3 229.7<3 789 ， ∴ 该食堂应该接受此优惠条件 . （注： 要证明函数 f （ x ）在 ［ 35 ， +∞ ） 上为增函数） 15. 解： （ 1 ） 由题意， 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ） . ∵f （ 0 ） =1 ， ∴c=1. 又 ∵f （ x+1 ） -f （ x ） =2x ， ∴a （ x+1 ） 2 +b （ x+1 ） +c-ax 2 -bx-c= 2x ， 即 2ax +a +b=2x ， 对 比 系 数 相 等 有 2a=2 ， a+b=0 0 ， 解 得 a=1 ， b=-1 0 ， ∴ f （ x ） =x 2 -x+1. （ 2 ） 由 f （ a ） =g （ b ）， 得 a 2 -a+1=2 b +3 ， 即 a 2 -a-2=2 b . ∵2 b >0 ， ∴a 2 -a-2>0. 解得 a<-1 或 a>2 ， ∴a 的取值范围是 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 2 ， +∞ ） . （ 3 ） 由题意知对任意 x 1 ， x 2 ∈ ［ t ， t+1 ］ 都有 ｜f （ x 1 ） - f （ x 2 ） ｜<4 成立， 故有［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min <4. 由 f （ x ） =x 2 -x+1 ， x∈ ［ t ， t+1 ］， 分情况进行讨论： ① 当 t≤- 1 2 时 ， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上为减函数 ， ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t ） -f （ t+1 ） <4 ， 解得 t>-2 ， ∴-2<t≤ - 1 2 ； ② 当 - 1 2 <t≤0 时， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min =f 1 2 1 2 ， 最大值是 f （ x ） max =f （ t ）， ∴ ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t ） -f 1 2 1 2 <4 ， 解得 - 3 2 <t< 5 2 ， ∴- 1 2 <t≤0 ； ③ 当 0<t≤ 1 2 时 ， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min =f 1 2 1 2 ， 最大值是 f （ x ） max =f （ t+1 ）， ∴ ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t+1 ） -f 1 2 1 2 <4 ， 解得 - 5 2 <t< 3 2 ， ∴0<t≤ 1 2 ； ④ 当 t> 1 2 时， f （ x ）在 ［ t ， t+1 ］ 上的最小值是 f （ x ） min = f （ t ）， 最大值是 f （ x ） max =f （ t+1 ）， ［ f （ x ）］ max - ［ f （ x ）］ min =f （ t+1 ） - f （ t ） <4 ， 解得 t<2 ， ∴ 1 2 <t<2. 综上所述， 满足题意的 t∈ （ -2 ， 2 ） . 5.1 统 计 5.1.1 数据的收集 学习手册 变式训练 1 ③ 【解析】 ① 中样本总体数目不确定， 不是简单随 机抽样； ② 中样本不是从总体中逐个抽取， 不是简单随 机抽样； ③ 中符合简单随机抽样的特点， 是简单随机 抽样 ． 变式训练 2 D 【解析】 根据随机数表， 排除超过 20 及重复的编 号， 选取出来的个体编号依次为 08 ， 02 ， 14 ， 07 ， 01 ， 故选出来的第 5 个个体编号为 01. 故选 D. 变式训练 3 解： 因为一般来说， 创新能力与职称有关， 所以应 该用分层抽样 . 设样本中具有高级职称的人数为 x ， 则 100 800 = x 160 ， x=20 ， 即要抽取具有高级职称的科研人员 20 人 . 类似 地， 可以算得抽取具有中级职称的科研人员 40 人， 具 有初级职称的科研人员 30 人， 无职称的科研人员 10 人 . 随堂练习 1. C 【解析】 样本是抽取的 360 名学生的 100 米短 跑成绩， 不是抽取的 360 名学生 . 故选 C. 2. A 【解析】 由抽签法的定义可知， 抽签法的步骤为： 将总体中的个体编号； 把号码写在形状、 大小相同的号签上 （号签可以用 小球、 卡片、 纸条制作）； 将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀； 从容器中逐个不放回地抽取号签， 将取出号签所对 应的个体作为样本 . 即过程为 ②①④③. 故选 A. 3. A 【解析】 根据随机数的定义和随机数表的读法， 读取的前 4 件产品编号依次为 169 ， 556 ， 671 ， 105. 故 选 A. 4. C 【解析】 A 的总体容量较大， 宜采用系统抽样 第五章 统计与概率 51 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 方法； B 的总体容量较小， 用简单随机抽样法比较方 便； C 的总体容量较大， 且各类田地的产量差别很大， 宜采用分层抽样方法； D 与 B 类似 . 故选 C. 5. B 【解析】 根据题意， 每箱中印有 “品牌纪念币 一枚” 的瓶数占全部瓶数的三分之一， 即 12× 1 3 =4. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 普查工作量大， 有时受客观条件限制， 无法对所有个体进行调查， 有时调查具有破坏性， 不允 许普查； 抽样调查范围小， 节约时间、 人力、 物力和财 力， 但必须注意调查的对象具有代表性和广泛性； 综上 可知， 只有选项 C 的调查方式合适 . 故选 C. 2. C 【解析】 根据有关的概念并且结合题意可得该 题中对应的总体、 个体、 样本这三个概念考查对象都是 学生成绩， 而不是学生， 根据答案可得选项 A ， B ， D 表达的对象都是学生， 而不是成绩， ∴A ， B ， D 都错； C 项样本容量是 100 ， 正确 . 故选 C. 3. C 【解析】 从表中第 5 行第 6 列开始向右读取， 分别为 253 ， 313 ， 457 ， 860 （舍）， 736 （舍）， 253 （舍）， 007 ， 328 ， 623 ， 457 （舍）， 889 （舍）， 072 ， 368 ， 第 8 个为 368. 故选 C. 4. B 【解析】 ① 不是简单随机抽样 . 因为一儿童从玩 具箱的 20 件玩具中任意拿一件玩， 玩后放回再拿一件， 连续玩了 5 件， 不是 “逐个且不放回” 抽取的 . ② 不是 简单随机抽样 . 虽然 “一次性抽取” 和 “逐个抽取” 不 影响个体被抽到的可能性， 但简单随机抽样要求的是 “逐个抽取” . ③ 不是简单随机抽样 . 因为 5 名同学是从 中挑出来的， 是最优秀的， 每个个体被抽到的可能性不 同 ， 不符合简单随机抽样中 “等可能抽样 ” 的要求 . ④ 是简单随机抽样 . 因为总体中的个体数是有限的， 并 且是从总体中逐个进行抽取的， 等可能的抽样 . 综上， 只有 ④ 是简单随机抽样 . 故选 B. 5. B 【解析】 ① 由分层抽样的概念可知， 取东部地 区学生 100× 2 400 2 400+1 600+1 000 =48 （人）， 中部地区学 生 100× 1 600 2 400+1 600+1 000 =32 （人 ） ， 西部地区学生 100× 1 000 2 400+1 600+1 000 =20 （人 ）， 题中的说法正确 ； ② 新生的人数较多， 不适合用简单随机抽样的方法抽取 人数， 题中的说法错误； ③ 西部地区学生小刘被选中的 概率为 100 2 400+1 600+1 000 = 1 50 ， 题中的说法正确； ④ 中 部地区学生小张被选中的概率为 100 2 400+1 600+1 000 = 1 50 ， 题中的说法错误 . 综上可得， 正确的说法是 ①③. 故选 B. 6. A 【解析】 由图 1 得样本容量为 （ 3 500+2 000+ 4 500 ） ×4%=10 000×4%=400 ， 抽取的初中生人数为 4 500× 4%=180 （人）， 则初中生近视人数为 180×0.3=54 （人） . 故选 A. 7. 5.7% 【解析】 普通家庭中符合要求的有 99 000× 50 990 =5 000 （户）， 高收入家庭符合的有 1 000× 70 100 =700 （户）， 所求为 5 000+700 100 000 =5.7%. 8. 160 【解析】 280× 560 560+420 =160. 9. 解： （ 1 ） 适合用普查， 对一般家庭而言， 每次 买的鸡蛋不会很多， 逐个检查所需时间不多， 且一个鸡 蛋破损与否并不能说明其他鸡蛋的破损情况 . （ 2 ） 适合用抽样调查， 因为韭菜较细， 每根都检查 不太可能 . （ 3 ） 适合用普查， 因为每张钞票是不是假钞与其他 钞票没有关系 . （ 4 ） 适合用抽样调查， 因为每个学期会新学许多单 词和短语， 且学生较多， 要在 10 min 内检查完， 实在太 困难， 所以老师只能挑选其中的一部分学生来检查 . 提升练习 10. B 【解析】 设 A ， C 产品数量分别为 x 件、 y 件， 则由题意可得 x+y+1 300=3 000 ， （ x-y ） × 130 1 300 =10 0 # # # " # # # $ ， 解得 x=900 ， y=800 0 . 故选 B. 11. CD 【解析】 ① 从某厂生产的 3 000 件产品中抽 取 600 件进行质量检验， 不满足分层抽样的方法； ② 总体由差异明显且互不重叠的几部分组成， 若要 从中抽取 12 人的成绩了解有关情况， 适合采用分层抽 样的方法； ③ 运动会服务人员为参加 400 m 决赛的 6 名同学安 排跑道， 具有随机性， 适合用简单随机抽样的方法 . 故 选 CD. 12. 192 【解析】 由题意可得 n 200+1 200+1 000 = 80 1 000 ， 解得 n=192. 13. 120 【解析】 设样本中女生人数为 m ， 则有 m+ （ m-6 ） =30 ， 解得 m=18. 设该院女学生的人数为 x ， 由分 层抽样的特性知， 18 x = 30 200 ， 解得 x=120 ， ∴ 该院女学生 的人数为 120. 14. 解： 采用分层抽样的方法， 其原因在于疾病与 地理位置和水土均有关系， 不同乡镇的发病情况差异明 显， 具体过程如下： ① 将 3 万人分为 5 层， 其中一个乡镇为一层； 52 参 考 答 案 ② 按照样本容量的比例， 随机抽取各乡镇应抽取的 样本： 300× 3 15 =60 （人 ）， 300× 2 15 =40 （人 ）， 300× 5 15 = 100 （人）， 300× 2 15 =40 （人）， 300× 3 15 =60 （人）； ③ 将 300 人组到一起就得到一个样本 . 5.1.2 数据的数字特征 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 输入的数据比实际数据小 90 ， 90 30 =3 ， ∴ 求出的平均数比实际的平均数小 3 ， 即求出的平均数减 去实际的平均数等于 -3. 故选 B. 变式训练 2 4 5 【解析】 平均每人植树 20×3+15×4+10×5+5×6 20+15+10+5 = 4 （棵）， ∵50×75%=37.5 ， ∴ 这 50 名学生每人植树数的 75% 分位数是 5. 变式训练 3 解： x 甲 = 1 6 × （ 99+100+98+100+100+103 ） =100 ， x 乙 = 1 6 × （ 99+100+102+99+100+100 ） =100. s 2 甲 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 98-100 ） 2 + （ 100- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 103-100 ） 2 ］ = 7 3 ， s 2 乙 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 102-100 ） 2 + （ 99- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 ］ =1. 变式训练 4 ①②③ 【解析 】 根据众数 、 平均数 、 中位数概念 得， 5 年后， 众数、 平均数、 中位数相应增加 5 ， 而标 准差不变 . ∴ 这七人年龄的众数变为 40 ， 平均数变为 49 ， 中 位数变为 60 ， 标准差不变， 为 19. 即正确的有 ①②③. 随堂练习 1. C 【解析】 判断能否进入决赛， 只要判断是不是 前 8 名即可， 所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是 不是有 8 位高于他， 也就是把其他 15 位同学的成绩排 列后看第 8 位的成绩即可， 其成绩高于这个成绩就能进 入决赛， 低于这个成绩就不能进入决赛， 这个第 8 位同 学的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数 . 故选 C. 2. D 【解析】 这组数据中 82 出现的次数最多， 故众数 为 82. 平均数为 58+67+73+74+76+82+82+87+90+92+93+98 12 = 81. ∵12×75%=9 ， ∴ 这组数据的 75% 分位数为 90+92 2 =91. 故选 D. 3. AB 【解析】 甲同学名次数据的平均数为 2 ， 说明 名次之和为 6 ， 又中位数为 2 ， 得出三次考试名次均不 超过 3 ， 断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为 2 ， 说明名次之和为 6 ， 又方差小于 1 ， 得出三次考试名 次均不超过 3 ， 断定乙是尖子生； 丙同学名次数据的中 位数为 2 ， 众数为 2 ， 说明其三次考试中至少有两次名 次为 2 ， 而另一次考试的名次可能超过 3 ， 也可能不超 过 3 ， 故丙可能是尖子生， 也可能不是尖子生； 丁同学 名次数据的众数为 2 ， 方差大于 1 ， 说明其某两次名次 为 2 ， 设另一次名次为 x ， 经验证， 当 x=1 ， 2 ， 3 时， 方 差均小于 1 ， 故 x>3 ， 断定丁一定不是尖子生 . 故选 AB. 4. 众数 平均数 中位数 【解析】 对甲分析： 8 出 现的次数最多， 故运用了众数； 对乙分析： 8 既不是众数， 也不是中位数， 求平均 数可得， 平均数 = 1 8 × （ 4+6+6+6+8+9+12+13 ） =8 ， 故运用 了平均数； 对丙分析： 共 8 个数据， 最中间的是 7 和 9 ， 故其 中位数是 8 ， 即运用了中位数 . 5. 解： x 甲 = 1 8 × （ 78+79+81+82+84+88+93+95 ） =85 ， x 乙 = 1 8 × （ 75+80+80+83+85+90+92+95 ） =85. s 2 甲 = 1 8 × ［（ 78-85 ） 2 + （ 79-85 ） 2 + （ 81-85 ） 2 + （ 82-85 ） 2 + （ 84-85 ） 2 + （ 88-85 ） 2 + （ 93-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =35.5 ， s 2 乙 = 1 8 × ［（ 75-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 83-85 ） 2 + （ 85-85 ） 2 + （ 90-85 ） 2 + （ 92-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =41. ∵x 甲 =x 乙 ， s 2 甲 <s 2 乙 ， ∴ 甲的成绩较稳定 . 综上可知， 甲的成绩较好 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 3x 1 +2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的平均数是 3x+2 ， 由 于 数据 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的方 差 为 s 2 ， ∴3x 1 + 2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的方差为 9s 2 . 故选 C. 2. D 【解析 】 由小到大排列的结果 ： 6 ， 7 ， 15 ， 36 ， 39 ， 40 ， 41 ， 42 ， 43 ， 47 ， 49 ， 一共 11 项 . 第一四 分位数即第 25 百分位数， 由 11×25%=2.75 ， 得第一四分 位数是第 3 项数据 15. 故选 D. 3. C 【解析 】 由题意得该组数据的中位数为 1 2 （ x +2 ） =1+ x 2 ， 众数为 2 ， ∴1+ x 2 =2× 3 2 =3 ， ∴x=4. ∴ 该组数 据的平均数为 x= 1 6 × （ 1+2+2+4+5+10 ） =4 ， ∴ 该组数据的 53 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 下列调查采用的调查方式合适的是 （ ） A. 为了了解炮弹的杀伤力， 采用普查 的方式 B. 为了了解全国中学生的睡眠状况 ， 采用普查的方式 C. 为了了解人们保护水资源的意识 ， 采用抽样调查的方式 D. 2016 年 10 月 17 日 7 时 30 分， 载人 飞船 “神舟十一号” 在酒泉卫星发射中心由 “长征二号” FY11 运载火箭成功发射， 发射 前要对其零部件进行检查， 采用抽样调查的 方式 2. 为调查参加考试的 1 000 名学生的成 绩情况， 从中抽查了 100 名学生的成绩， 就 这个问题来说， 下列说法正确的是 （ ） A. 1 000 名学生是总体 B. 每个学生是个体 C. 样本容量是 100 D. 抽取的 100 名学生是样本 3. 某工厂利用随机数表对生产的 700 个 零件进行抽样测试， 先将 700 个零件进行编 号， 001 ， 002 ， …， 699 ， 700 ， 从中抽取 70 个样本， 下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行， 若从表中第 5 行第 6 列开始向右依次 读取 3 个数据， 则得到的第 8 个样本编号 是 （ ） 3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642 8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804 3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345 A. 623 B. 457 C. 368 D. 072 4. 下列 5 个抽样中， 简单随机抽样的个 数是 （ ） ① 一儿童从玩具箱的 20 件玩具中任意 拿一件玩， 玩后放回再拿一件， 连续玩了 5 件； ② 仓库中有 1 万支奥运火炬， 从中一次 性抽取 100 支火炬进行质量检查； ③ 某班从 50 名同学中， 选出 5 名数学成绩最优秀的同 学代表本班参加数学竞赛； ④ 一彩民选号， 从装有 36 个大小、 形状都相同的号签的盒 子中无放回地抽出 6 个号签 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 某高校大一新生中， 来自东部地区的 学生有 2 400 人、 中部地区的学生有 1 600 人、 西部地区的学生有 1 000 人 . 从中选取 100 人作样本调研饮食习惯， 为保证调研结 果相对准确， 下列判断正确的有 （ ） 5.1 统 计 5.1.1 数据的收集 第五章 统计与概率 30 第五章 统计与概率 练 ① 用分层抽样的方法分别抽取东部地区 学生 48 人、 中部地区学生 32 人、 西部地区 学生 20 人； ② 用简单随机抽样的方法从新 生中选出 100 人； ③ 西部地区学生小刘被选 中的概率为 1 50 ； ④ 中部地区学生小张被选中 的概率为 1 5 000 . A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 6. 已知某地区中小学生人数和近视情况 分别如图 1 和图 2 所示， 为了了解该地区中 小学生的近视形成原因， 按学段用分层抽样 的方法抽取该地区 4% 的学生进行调查， 则 样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为 （ ） A. 400 ， 54 B. 200 ， 40 C. 180 ， 54 D. 400 ， 40 7. 某地有居民 100 000 户， 其中普通家 庭 99 000 户， 高收入家庭 1 000 户 . 从普通 家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户， 从 高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行调查， 发现共有 120 户家庭拥有 3 套 或 3 套以上住房， 其中普通家庭 50 户， 高 收入家庭 70 户 . 依据这些数据并结合所掌握 的统计知识， 你认为该地拥有 3 套或 3 套以 上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 8. 某个年级有男生 560 人 ， 女生 420 人， 用分层抽样的方法从该年级全体学生中 抽取一个容量为 280 的样本， 则此样本中男 生人数为 . 9. 指出下列问题适合用普查还是抽样 调查： （ 1 ） 去菜市场买了鸡蛋， 想知道鸡蛋是 否有破损； （ 2 ） 去菜市场买了韭菜， 想知道韭菜是 否新鲜； （ 3 ） 银行在收进储户现金的时候想知道 有没有假钞； （ 4 ） 学期临近结束时， 英语老师想在课 堂上花 10 min 的时间了解全班 54 名学生记 忆单词和短语的情况 . 小学生 3 500 名 初中生 4 500 名 高中生 2 000 名 小学 初中 高中 近视率 50% 30% 10% 学段 0% 图 2 图 1 第 6 题图 31 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 提 升 练 习 10． 某企业三月中旬生产 A ， B ， C 三种 产品共 3 000 件， 根据分层抽样的结果， 企 业统计员制作了如下的统计表格 ． 由于不小 心， 表格中 A ， C 产品的有关数据已被污染 看不清楚， 统计员记得 A 产品的样本容量 比 C 产品的样本容量多 10 件， 根据以上信 息， 可得 C 产品的数量是 （ ） A． 900 件 B． 800 件 C． 90 件 D． 80 件 11． （多选题） 对下面三个事件最适宜 采用的抽样方法判断正确的有 （ ） ① 从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验； ② 一次数学竞赛中， 某班有 10 人的成 绩在 110 分以上， 40 人的成绩在 90~100 分， 10 人的成绩低于 90 分， 现在从中抽取 12 人 的成绩了解有关情况； ③ 运动会服务人员为参加 400 m 决赛的 6 名同学安排跑道 . A． ①② 适宜采用分层抽样 B． ②③ 适宜采用分层抽样 C． ② 适宜采用分层抽样 D． ③ 适宜采用简单随机抽样 12． 某校有教师 200 人 ， 男学生 1 200 人， 女学生 1 000 人， 现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本 . 已 知从女学生中抽取的人数为 80 人， 则 n 的 值为 . 13． 某学院对该院 200 名男、 女学生的 学习状况进行调查， 现采用按性别分层抽样 的方法抽取一个容量为 30 的样本， 已知样 本中男学生比女学生少 6 人， 则该院女学生 的人数为 . 14． 一个地区共有 5 个乡镇， 人口总数 为 3 万人， 其中人口比例为 3 ∶ 2 ∶ 5 ∶ 2 ∶ 3. 从 3 万人中抽取一个 300 人的样本， 分析某种 疾病的发病率 . 已知这种疾病与不同的地理 位置及水土有关， 问应采取什么样的方法进 行抽样， 并写出具体过程 . 产品类别 A B C 产品数量 / 件 1 300 样本容量 / 件 130 32