6.1.1 向量的概念-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章 平面向量初步 学 学 习 目 标 1. 理解平面向量的概念和向量的几何 表示 . 2. 掌握向量的模、 零向量、 单位向量、 平行向量、 相等向量、 共线向量等概念 . 3. 理解向量平行与直线平行的区别 . 要 点 精 析 要点 1 平面向量的有关概念 （ 1 ） 向量既有大小又有方向 . 我们用有 向线段直观地表示向量， 记作 A !" B ， A 为始 点， B 为终点 . （ 2 ） 始点和终点相同的向量称为零向 量， 记为 0 ， 零向量的方向是不确定的 . （ 3 ） 向量的大小称为模， A !" B 的模用 ｜A !" B ｜ 表示 . 模等于 1 的向量称为单位向量 . 例 1 甲由 A 地出发按西偏北 30° 方向 行走 100 3 姨 m 到达 B 地， 从 B 地按北偏 东 30° 方向行走 100 m 到达 C 地 . （ 1 ） 试作出向量 A !" B ， B !" C ， A !" C ； （ 2 ） 计算 ｜A !" C ｜ ； （ 3 ） 描述由 A 到 C 的位移 . 分析 位移是向量， 位移被方向和距 离唯一确定 . 解： （ 1 ） 如图 6-1-1 所示 . （ 2 ） 由题可知 ∠ABC=90° ， 在 △ABC 中， 可得 ｜A !" C ｜=200. （ 3 ） ∠A=30° ， ∴ 由 A 到 C 的位移是向北偏西 30° 方向 200m. 变式训练 1 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 n mile 到达基地 B ， 然后改变航线向东 偏北 60° 航行了 400 n mile 到达 C 岛， 最后 又改变航线向西航行了 200 n mile 到达 D 岛 ． （ 1 ） 试作出向量 A !" B ， B !" C ， C !" D ； （ 2 ） 求 ｜A !" D ｜． 要点 2 向量的相等与平行 一般地， 把大小相等且方向相同的向量 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念 C A B 图 6-1-1 67 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 称为相等的向量， 记作 a=b. 如果两个非零 向量的方向相同或者相反， 则称这两个向量 平行或者共线 . 0 与任意向量都平行 . 例 2 如图 6-1-2 所 示， a 是单位向量， 作出 两个与 b 共线且大小是 2 5 姨 的向量 . 分析 与 b 共线， 则所求向量的方向 与 b 相同或者相反， 大小是 b 的 2 倍 . 解： 如图 6-1-3 所示 . 例 3 （多选题） 下列四个命题中， 正 确的命题有 （ ） A. 若 A ， B ， C ， D 是不共线的四点 ， 则 “ A A# B =D AD C ” 是 “四边形 ABCD 为平行四 边形” 的充要条件 B. 若 ｜a｜=｜b｜ 且 a∥b ， 则 a=b 或 a+b=0 C. 两个向量相等， 则它们的始点相同， 终点相同 D. 若 a∥b ， b∥c ， 则 a∥c 分析 本题考查了向量的相关概念及 辨析 . 解析 ： 向量既有大小又有方向 . A AD B = D AD C ， ∴ 边 AB 和边 DC 平行且相等， 故 A 正 确； ∵a∥b ， ∴a ， b 方向相同或者相反 . 又 ∵｜a｜=｜b｜ ， ∴a ， b 为相同向量或者相反向量， 故 B 正确； 大小相等且方向相同的向量称为 相等的向量， 与位置无关， 故 C 不正确； 0 与任意向量都平行， 当 b=0 时， a ， c 不一定 平行， 故 D 不正确 . 故选 AB. 反思感悟 正确理解平行向量的概念， 向量平行和直线平行是有区别的， 直线平 行不包括重合的情况， 而向量平行是可以 重合的 ． 变式训练 2 （多选题） 下列叙述中错误的有 （ ） A． 若 a=b ， 则 3a>2b B． 已知非零向量 a 与 b 且 a∥b ， 则 a 与 b 的方向相同或相反 C． 若 a∥b ， b∥c ， 则 a∥c D． 对任一非零向量 a ， a ｜a｜ 是一个单位向量 数 学 文 化 例 如图 6-1-4 是 中国象棋的半个棋盘， “马走日” 是象棋中马 的走法 . 图中， 马可以 从 A 处跳到 A 1 处， 用向量 AA 1 AD 表示马走了 “一步” . 请在图中画出马在 B ， C 处走了 “一步” 的所有情况 . 分析 马走了 “一步” 大小是确定的， 有多个方向， C 处有八个方向 . 解： 如图 6-1-5 所示 . C A B A 1 A 2 图 6-1-4 a b 图 6-1-3 图 6-1-5 C A B A 1 A 2 a b 图 6-1-2 68 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 9. 3 4 【解析】 从长度为 2 ， 3 ， 4 ， 5 的四条线段中 任意取出 3 条共有 4 种不同的取法， 其中可构成三角形 的有 {2 ， 3 ， 4} ， {2 ， 4 ， 5} ， {3 ， 4 ， 5} 三种 . 故所求 概率 P= 3 4 . 10. 4 【解析】 由茎叶图可知， 成绩在区间 ［ 139 ， 151 ］ 内的总人数为 20 ， 再由系统抽样的性质可知抽取的人数 为 20× 7 35 =4 （人） . 11. 6 【解析】 x= 4+6+5+8+7+6 6 =6. 12. 5 6 【解析】 从 4 只球中一次随机摸出 2 只， 共 有 6 种摸法， 其中两只球颜色相同的只有 1 种， 不同的 共有 5 种， ∴ 其概率为 5 6 . 13. 解： （ 1 ） 甲有 7 种取法 ， 康复时间不少于 14 天的有 3 种取法， ∴ 概率 P= 3 7 . （ 2 ） 如果 a=25 ， 从 A ， B 两组中随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙， 共有 49 种 取法 ， 甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下 ： （ 13 ， 12 ） ， （ 14 ， 12 ） ， （ 14 ， 13 ） ， （ 15 ， 12 ） ， （ 15 ， 13 ） ， （ 15 ， 14 ） ， （ 16 ， 12 ） ， （ 16 ， 13 ） ， （ 16 ， 15 ）， （ 16 ， 14 ）， 共有 10 种取法， ∴ 概率 P= 10 49 . （ 3 ） 把 B 组数据调整为 a ， 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ， 17 或 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ， 17 ， a ， ∵A ， B 两组病人康复 时间的方差相等， 即波动相同， ∴ 当 a=11 或 a=18 时， 与 A 组数据方差相等 . 14. 解 ： 设甲校的两名男教师分别用 A ， B 表示 ， 女教师用 C 表示， 乙校的男教师用 D 表示， 两名女教 师分别用 E ， F 表示 . （ 1 ） 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有 可能结果有 （ A ， D ）， （ A ， E ）， （ A ， F ）， （ B ， D ）， （ B ， E ）， （ B ， F ）， （ C ， D ）， （ C ， E ）， （ C ， F ）， 共 9 种 . 从中选出的 2 名教师性别相同的结果有 （ A ， D ）， （ B ， D ）， （ C ， E ）， （ C ， F ）， 共 4 种 . ∴ 选出的 2 名教 师性别相同的概率为 P= 4 9 . （ 2 ） 从报名的 6 名教师中任选 2 名的所有可能结果 有 （ A ， B ）， （ A ， C ）， （ A ， D ）， （ A ， E ）， （ A ， F ）， （ B ， C ）， （ B ， D ）， （ B ， E ）， （ B ， F ）， （ C ， D ）， （ C ， E ）， （ C ， F ）， （ D ， E ）， （ D ， F ）， （ E ， F ）， 共 15 种 . 选出的 2 名教师来自同一学校的结果有 （ A ， B ）， （ A ， C ）， （ B ， C ）， （ D ， E ）， （ D ， F ）， （ E ， F ）， 共 6 种， ∴ 选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P= 6 15 = 2 5 . 15. 解： （ 1 ） 从袋中随机取出两个球， 其所有可能 的结果有 {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {1 ， 4} ， {2 ， 3} ， {2 ， 4} ， {3 ， 4} ， 共 6 个 . 取出的球的编号之和不大于 4 的事件有 {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， 共 2 个， ∴ 所求事件的概率为 P= 2 6 = 1 3 . （ 2 ） 先从袋中随机取一个球， 该球的编号为 m ， 将 球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号 为 n ， 其所有可能的结果有 {1 ， 1} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {1 ， 4} ， {2 ， 1} ， {2 ， 2} ， {2 ， 3} ， {2 ， 4} ， {3 ， 1} ， {3 ， 2} ， {3 ， 3} ， {3 ， 4} ， {4 ， 1} ， {4 ， 2} ， {4 ， 3} ， {4 ， 4} ， 共 16 个 . 满足 n≥m+2 的事件有 {1 ， 3} ， {1 ， 4} ， {2 ， 4} ， 共 3 个， ∴ 满足 n≥m+2 的事件的概率为 P 1 = 3 16 ， ∴ 满足 n<m+2 的事件的概率为 P=1-P 1 =1- 3 16 = 13 16 . 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念 学习手册 变式训练 1 解 ： （ 1 ） 建立如图所示的直 角坐标系 ， 向量A "# B ， B "B C ， C "B D 即 为所求 . （ 2 ） 根据题意， 向量A "B B 与C "B D 方向相反， 故向量A "B B ∥ C "B D ， 又 ∵ | A "B B |=| C "B D | ， ∴ 在四边形 ABCD 中， AB∥CD ， AB=CD ， 故四边 形 ABCD 为平行四边形， ∴ A "B D = B "B C ， 则 | A "B D |=| B "B C |=400 （ n mile ） . 变式训练 2 AC 【解析】 ∵ 向量不能比较大小， 故 A 错误； ∵a 与 b 是非零向量， 若 a∥b ， 则 a 与 b 的方向相 同或相反， 故 B 正确； 当 b=0 时， 若 a∥b ， b∥c ， 则 a 与 c 是任意向量， C A B D 60° 东 北 变式训练 1 答图 76 参 考 答 案 故 C 错误； 对任一非零向量 a ， a |a| 表示与 a 方向相同且模长为 1 的向量， ∴ a |a| 是 a 的一个单位向量， 故 D 正确 . 故选 AC. 随堂练习 1. B 【解析】 只有 ④ 中物理学中的加速度既有大小 又有方向， 故 ①②③ 错误， ④ 正确 . 故选 B. 2. C 【解析】 单位向量的模都等于 1 个单位长度， 故 C 正确 . 3. ACE 【解析】 由定义知 A 正确； 由于零向量的方 向是任意的， 故两个零向量的方向是否相同不确定， 故 B 错误； 显然 C ， E 正确， D 错误， 故选 ACE. 4. ④⑥ 【解析】 由向量的相关概念可知④⑥ 正确 . 5. 解 ： 由四边形 ABCD 是平行四边形 ， 四边形 ABDE 是矩形， 知D D" C ， E D" D 与A D" B 的长度相等且方向相 同， ∴ 与向量A D" B 相等的向量为D D" C 和E D" D . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 速度、 位移、 力、 加速度这 4 个物理 量既有大小又有方向， ∴ 这 4 个物理量是向量 . 故选 C. 2. AD 【解析】 Ａ D" D和C D" Ｂ共线， 方向相反， ∴A 正确， C 错误； Ａ D" C和D D" B模相等， 方向不同， ∴B 错误， D 正确 . 故选 AD. 3. ACD 【解析】 起点相同的所有单位向量形成以起 点为圆心、 半径为 1 的圆， ∴A 正确； 两个单位向量大 小相等， 方向不一定相同， ∴B 错误； 共线向量也称为 平行向量， ∴C 正确； 0 与任意向量都平行， 若两个向量 不共线， 则它们都是非零向量， ∴D 正确 . 故选 ACD. 4. D 【解析】 与E D" F共线的向量有F D" E， Ａ D" D， D D" A， B D" D， D D" B， A D" B， B D" A， 共 7 个 . 故选 D. 5. B 【解析】 0 与任意向量都平行， 若两个向量不共 线， 则它们都是非零向量， 反之， 若两个向量都是非零 向量， 两个向量不一定共线， ∴ “ a 与 b 不平行” 是 “ a 与 b 都不是零向量” 的充分不必要条件 . 故选 B. 6. C 【解析】 若Ａ D" Ｂ=D D" C， 则四边形 ABCD 是平行四 边形， 又 ∵|Ａ D" Ｂ|= |Ａ D" D| ， ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形 . 故 选 C. 7. 2 3 姨 【解析】 当 AD 是 BC 边上的高时， 向量 Ａ D" D长度最小， 故|Ａ D" D| min =4sin60°=2 3 姨 . 8. 5π 【解析】 图形是两个同心圆围成的环形， 其面 积为 π · 3 2 -π · 2 2 =5π. 9. 解： （ 1） ∵ 大小相等且方向相同的向量是相等向 量， ∴ 题图中所示的向量， 与B D" O大小相等且方向相同的 向量为Ａ D" E. （ 2 ） 与B D" O共线的向量， 即与B D" O方向相同或相反的向 量， 故有Ａ D" E， D D" O， C D" F. 10. 解： 如图 . 提升练习 11. B 【解析】 由B D" A = C D" D 可知， 四边形 ABCD 为平行 四边形， 又 ∵| A D" C |=| B D" D | ， ∴ 四边形 ABCD 为矩形 . 故选 B. 12. AD 【解析】 向量A D" B 与C D" D 是共线向量， 则 A ， B ， C ， D 四点不一定在一条直线上， 故 A 错误； 零向量与任一向量共线， 故 B 正确； 若 a=b ， b=c ， 则 a=c ， 故 C 正确； 温度是数量， 只有正负， 没有方向， 故 D 错误 . 故选 AD. 13. BD 【解析】 A D" B 与D D" C 显然方向不相同， 故不是 相等向量， 故 A 错误； |A D" B | 与 | D D" C | 表示等腰梯形两腰的长度， ∴| A D" B |=| D D" C | ， 故 B 正确； 向量无法比较大小， 只能比较向量模的大小， 故 C 错误； 等腰梯形的上底 BC 与下底 AD 平行， ∴ B D" C ∥ A D" D ， 故 D 正确. 故选 BD. 14. ①②③ 【解析】 ∵ A D" O 与O D" C 大小相等， 方向相同， 故 ① 正确； A D" O 与A D" C 方向相同， A D" B 与C D" D 方向相反， 故 ②③ 正确； A D" O 与B D" O 大小相等， 方向不同， 故 ④ 错误 . 15. 解： （ 1） 画出所有的向量A D" C ， 如图所示： （ 2 ） 由 （ 1 ） 所画的图知， 第 10 题答图 G F 2 F 1 A B C 1 C 2 C 3 C 4C 5 C 6 C 7 C 8 第 15 题答图 77 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ① 当点 C 位于点 C 1 或 C 2 时 ， | B !" C | 取得最小值 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ； ② 当点 C 位于点 C 5 或 C 6 时 ， | B !" C | 取得最大值 4 2 +5 2 姨 = 41 姨 ； ∴| B !" C | 的最大值为 41 姨 ， 最小值为 5 姨 . 6.1.2 向量的加法 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由向量加法的三角形法则可知 ① 对； D !" C + A !" B + B !" D = D !" C + A !" D = A !" D + D !" C = A !" C ， ② 对； O !" A + A !" C + A !" O + C !" O = O !" C + C !" O + A !" O = A !" O ， ③ 错； A !" B + C !" A + B !" D + D !" C = C !" A + A !" D + D !" C = C !" D + D !" C =0 ， ④ 对 . 故选 C. 变式训练 2 解： 如图， 以 BA ， BC 为邻边作平行四边形 ABCE ， 根据平行四边形法则， 可知B !" E = B !" A + B !" C . 以 CB ， CA 为 邻边作平行四边形 ACBF ， 根据平行四边形法则， 可知 C !" F = C !" A + C !" B . 随堂练习 1. B 【解析】 O !" P + P !" Q + P !" S + S !" P = O !" Q +0= O !" Q . 故选 B. 2. D 【解析】 ∵ A !" C = A !" B + A !" D ， 且A !" C = A !" B + B !" C ， ∴ A !" D = B !" C ， 即 AD=BC ， 且 AD∥BC ， ∴ 四边形 ABCD 一 组对边平行且相等， 故为平行四边形 . 故选 D. 3. ABD 【解析 】 选项 A ， 正确 ； 在平行四边形 ABCD 中， BC∥AD ， 且 BC=AD ， ∴ B !" C = A !" D ， 故 B 正确； A ， B ， C ， D 四点可能共线， 故 C 错误； 根据向量的三 角不等式， 可知 D 正确 . 故选 ABD. 4. 2 【解析】 由 |a+b|≤|a|+|b| 知， |a+b| 的最大值为 2. 5. 解 ： 在平面内任取一点 O ， 作O !" A =a ， A !" B =b ， B !" C =c ， 如图， 则由向量加法的三角形法则， 得O !" B =a+b ， O !" C =a+ b+c ， 则O !" C 即为所作向量 . 练习手册 效果评价 1. 解： 用向量加法的三角形法则 . 2. 解： 先计算两个向量之和， 之后加上第三个向量 . 3. 解： 将两向量始点和终点相连， 连接第一个向量 的始点和最后一个向量的终点， 如图 . 4. BCD 【解析】 由向量加法的平行四边形法则可知 a+b≠c ， 由向量加法的三角形法则可知 b+c=a ， 移项有 a-b=c ， a-c=b. 故选 BCD. 5. B 【解析】 D !" C=F !" A， Ａ !" Ｂ+D !" C=F !" A+Ａ !" Ｂ=F !" B， F !" Ｂ+E !" F= E !" Ｂ. 故选 B. 6. D 【解析】 a+b=c ， a+b+c=c+c ， |c|= 2 姨 ， ∴|a+b+c|= 2 2 姨 . 故选 D. 7. 解： Ａ !" D+B !" D+C !" A+D !" Ｂ=C !" A+A !" D+D !" B+B !" D=C !" D. 8. 解： ∵2Ａ !" D=Ａ !" B+Ａ !" C， 且Ａ !" B， Ａ !" C不共线， ∴|Ａ !" C|- |Ａ !" B|<2|Ａ !" D|<|Ａ !" B|+|Ａ !" C| ， 即 1<2|Ａ !" D|<5 ， ∴ 1 2 <|Ａ !" D|< 5 2 . 9. 证明： 在 △ABE 中， E !" A+Ａ !" B=E !" B， 在△CDE 中， E !" D+D !" C=E !" C， ∴E !" B+E !" C=E !" A+Ａ !" B+E !" D+D !" C. ∵E !" A+E !" D=0 ， ∴ E !" B+E !" C=Ａ !" B+D !" C. 10. 解： 如图， 借助几何直观可知答案为 v 0 . F E C A B 变式训练 2 答图 第 1 题答图 b a a+b 第 2 题答图 第 3 题答图 a+b+c b c a a b b+a C O A B a b c a+b+c a+b 第 5 题答图 78