5.2.1 样本空间与事件-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第五章 统计与概率 学 学 习 目 标 1. 掌握样本点与样本空间的概念， 在实 际问题中能正确求出随机事件的样本空间 . 2. 掌握基本事件、 随机事件、 必然事件 的概念 . 3. 掌握随机事件的概率的概念， 会借助 样本空间和样本点理解随机事件的概率 . 要 点 精 析 要点 1 必然事件与随机事件 不可能事件、 必然事件、 随机事件： 任何一次随机试验的结果， 一定是样本 空间 赘 中的元素， 因此可以认为每次试验中 赘 一定发生， 从而称 赘 为必然事件； 又因为 空集 芰 不包含任何样本点， 因此可以认为每 次试验中 芰 一定不发生， 从而称 芰 为不可能 事件 . 思考 你能说出几个生活中的随机事 件、 必然事件、 不可能事件的具体实例吗？ 例 1 判断下列现象是必然现象还是随 机现象 . （ 1 ） 掷一个质地均匀的骰子出现的点数； （ 2 ） 在 10 个同类产品中， 有 8 个正品、 2 个次品， 从中任意抽出 2 个检验的结果 . 分析 本题考查随机现象和必然现象 的概念 . 解： （ 1 ） 掷一个质地均匀的骰子， 其 点数有可能出现 1~6 ， 点数是不能确定的， 因此是随机现象 . （ 2 ） 抽出的 2 个产品中有可能全部是正 品， 也有可能是 1 个正品 1 个次品， 还有可 能是 2 个次品， 故是随机现象 . 变式训练 1 指出下列事件是必然事件、 不可能事 件， 还是随机事件 ． ① 中国体操运动员将在下届奥运会上获 得全能冠军 ． ② 若 x∈R ， 则 x 2 ＋1≥1. ③ 掷一枚骰子两次， 朝上面的数字之和 小于 2. 例 2 给出下列四个命题： ① “三个球全部放入两个盒子， 其中必 有一个盒子有一个以上的球” 是必然事件； ② “当 x 为某一实数时可使 x 2 <0 ” 是不 可能事件； ③ “明天全天要下雨” 是必然事件； ④ “从 100 个灯泡 （ 6 个是次品） 中取 出 5 个， 5 个都是次品” 是随机事件 . 其中正确命题的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.2 概 率 5.2.1 样本空间与事件 49 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 分析 本题考查必然事件、 随机事件、 不可能事件的概念 . 解析： 三个球分为两组， 有两种情况， 1+2 和 3+0 ， ∴① 是正确的命题； 任意实数 x 都有 x 2 ≥0 ， ∴② 是正确的命题； “明天全天 要下雨” 是随机事件， ∴③ 是错误的命题； “从 100 个灯泡 （ 6 个是次品） 中取出 5 个， 5 个都是次品”， 发生与否是随机的， ∴④ 是 正确的命题 . 故有 3 个正确命题 . 故选 D. 变式训练 2 下列事件中， 必然事件是 （ ） A． 10 人中至少有 2 人生日在同一个月 B． 11 人中至少有 2 人生日在同一个月 C． 12 人中至少有 2 人生日在同一个月 D． 13 人中至少有 2 人生日在同一个月 要点 2 样本空间 在写试验结果时， 一般采用列举法写 出， 必须首先明确事件发生的条件， 根据日 常生活经验， 按一定次序列举， 才能保证所 列结果没有重复， 也没有遗漏 . 思考 你能分别举出样本空间为有限 集和无限集的例子吗？ 例 3 “连续抛掷两枚质地均匀的骰 子， 记录朝上的面的点数”， 该试验的结果 共有 （ ） A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 36 种 分析 本题将基本事件利用有序数对 形式列举出来 . 解析 ： 试验的全部结果为 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 5 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ）， 共 36 种 . 故选 D. 变式训练 3 袋中有 5 个球， 其中有 3 个红球， 编号 为 1 ， 2 ， 3 ， 有 2 个黄球， 编号为 4 ， 5. 现从 中任意取一个球， 试验 A ： 观察颜色， 试验 B ： 观察号码 . 试验 A 的样本空间为 . 试验 B 的样本空间为 . 要点 3 随机事件发生的概率 事件发生的可能性大小可以用该事件发 生的概率来衡量， 概率越大， 代表越有可能 发生， 事件 A 发生的概率通常用 P （ A ）来表示 . （ 1 ） 规定： P （ 芰 ） ＝0 ； P （ Ω ） ＝1. （ 2 ） 对于任意事件 A 来说 ， 显然有 P （ 芰 ） ≤P （ A ） ≤P （ Ω ）， 因此 0≤P （ A ） ≤1. 思考 抛掷一枚质地均匀的硬币， 落地 后正面向上的概率为 50% ， 那么能否理解为 将这枚硬币抛掷两次必有一次正面向上？ 例 4 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子， 观察朝上的面的点数 . （ 1 ） 写出对应的样本空间； （ 2 ） 用集合表示事件 A ： 点数之和为 3 ， 事件 B ： 点数之和不超过 3 ； （ 3 ） 从直观上判断 P （ A ）和 P （ B ）的大小 50 第五章 统计与概率 学 （指出 P （ A ） ≥P （ B ）或 P （ A ） ≤P （ B ）即可） . 分析 本题列举出样本空间， 进而通 过对事件 A 和 B 所包含的样本点个数来判 断 P （ A ）和 P （ B ）的大小 . 解： （ 1 ） 用 （ 1 ， 2 ） 表示第一次掷出 1 点， 第二次掷出 2 点， 其他的样本点用类似 的方法表示， 则可知所有样本点均可表示成 （ i ， j ） 的 形 式 ， 其 中 i ， j 都 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 中的数 . 因此 ， 样本空间 赘= { （ i ， j ） ｜1≤i≤6 ， 1≤j≤6 ， i∈N ， j∈N} . （ 2 ） 不难看出， A={ （ 1 ， 2 ）， （ 2 ， 1 ） } ， B={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 2 ， 1 ） }. （ 3 ） ∵A 事件发生时， B 事件一定发生， 也就是说 B 事件发生的可能性不会比 A 事 件发生的可能性小， ∴ 直观上可知 P （ A ） ≤ P （ B ） . 变式训练 4 已知关于 x 的一元二次函数 f （ x ） ＝ax 2 － 4bx＋1. 设集合 P＝{1 ， 2 ， 3} 和 Q＝{－1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 作为 a 和 b. （ 1 ） 写出以 （ a ， b ） 为元素的样本空 间， 共包含多少个样本点？ （ 2 ） 指出事件 “函数 y＝f （ x ）在区间 ［ 1 ， ＋∞ ） 上是增函数” 的所有样本点 ． 数 学 文 化 例 汉字是世界上最古老的文字之一， 字形结构体现人类追求均衡对称、 和谐稳定 的天性 . 如图， 三个汉字可以看成是轴对称 图形 . 小李和小杨利用 “土” “口” “木” 三个 汉字设计一个游戏， 规则如下： 将这三个汉字 分别写在背面都相同的三张卡片上， 背面朝上 洗匀后抽出一张， 放回洗匀后再抽出一张， 若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字 （如 “土” “土” 构成 “圭”）， 小李获胜， 否则小杨获胜 . 你认为这个游戏对谁有利？ 分析 本题通过判断小李和小杨获胜 包含的基本事件个数来判断游戏是否公平 . 解： 这个游戏对小杨有利 . 每次游戏时， 所有可能出现的结果如下： 共有 9 种结果， 且每种结果等可能出 现， 其中能组成上下结构的汉字的结果有 4 种： （土， 土）， （口， 口）， （木， 口）， （口， 木）， 所以小李获胜的概率为 4 9 ， 小杨 获胜的概率为 5 9 ， 所以这个游戏对小杨有利 . 反思感悟 书写样本空间时要注意进行 自然语言和符号语言的转换， 尽可能用比较 简洁的方式来表示样本空间 . 例如在抛掷硬 币的问题中， 可将 “正面” “反面” 分别用 数字 1 和 0 来表示 . 土 口 木 土 口 木 土 （土， 土） （土， 口） （土， 木） 口 （口， 土） （口， 口） （口， 木） 木 （木， 土） （木， 口） （木， 木） 51 参 考 答 案 （元） . ∴ 这台车床一天的总利润的平均值为 8 500+7 000= 15 500 （元） . 10. 解： （ 1 ） 根据频率和为 1 ， 得 2× （ 0.02+0.095+ 0.11+0.125+x+0.05+0.025 ） =1 ， 解得 x=0.075 ； 由图可知， 最高矩形的数据组为 ［ 6 ， 8 ）， ∴ 众数为 1 2 × （ 6+8 ） =7. （ 2 ） ［ 0 ， 6 ） 内的频率之和为 （ 0.02+0.095+0.11 ） ×2=0.45 ； 设中位数为 y ， 则 0.45+ （ y-6 ） ×0.125=0.5 ， 解 得 y=6.4 ， ∴ 中位数为 6.4 ； 平均数为 2× （ １×0.02+3× 0.095+5×0.11+7×0.125+9×0.075+11×0.05+13×0.025 ） =6.56. （ 3 ） 月平均用电量为 ［ 10 ， 12 ） 的用户在四组用户 中所占的比例为 0.05 0.125+0.075+0.05+0.025 = 2 11 ， ∴ 月平均 用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户中应抽取 11× 2 11 =2 （户） . （ 4 ） 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户中应抽取 11× 1 11 =1 （户）， 月平均用电量在 ［ 10 ， 12 ） 的用户设为 A ， B ， 月平均用电量在 ［ 12 ， 14 ） 的用户设为 C ， 从 ［ 10 ， 12 ）， ［ 12 ， 14 ） 这两组中随机抽取 2 户共有 AB ， AC ， BC 三种情况， 其中， 抽取的 2 户不是来自同一个 组的有 AC ， BC 两种情况， ∴ 抽取的 2 户不是来自同一 个组的概率为 2 3 . 提升练习 11. ABC 【解析】 由柱形图可知， 2010 — 2018 年的 CPI 均大于 100 ， 说明其中每一年的居民消费价格都大 于前一年的居民消费价格， ∴2010 — 2018 年居民消费价 格总体呈增长趋势是正确的， 故 A 正确； 由柱形图可知， 2010 年的居民消费价格的增长率为 3.02% ， 2011 年的居民消费价格的增长率为 5.62% ， 都 超过了 3% ， 故 B 正确； 2009 年的 CPI 的值小于 100 ， 说明当年的居民消费 价格低于 2008 年的居民消费价格， ∴2009 年的居民消 费价格出现负增长是正确的， 故 C 正确； 由柱形图可知， 2011 年的居民消费价格的增长率最 高 ， 从 2010 — 2018 年每年的居民消费价格都在增长 ， ∴2018 年的居民消费价格才是最高的， 故 D 错误 . 故选 ABC. 12. BC 【解析 】 车速在 ［ 70 ， 75 ） 的频率为 1- （ 0.01+0.02+0.06+0.05+0.02 ） ×5=0.2 ， 故 A 错误； ∵ （ 0.01+0.02 ） ×5×n=45 ， ∴n=300 ， ∴ 车速超过 80 km/h 的车辆数为 （ 0.05+0.02 ） ×5×300=105 ， 故 B 正确； ∵ ［ 75 ， 80 ） 这一组数据的频率最大， ∴ 估计众数 为 77.5 ， 故 C 正确； ∵ （ 0.01+0.02+0.04 ） ×5=0.35<0.5 ， （ 0.01+0.02+0.04+ 0.06 ） ×5=0.65>0.5 ， ∴ 中位数在区间 ［ 75 ， 80 ） 内， ∴ 该 样本的中位数为 75+ 0.15 0.3 ×5=77.5 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 13. 4 【解析】 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 = （ x 1 -x ） 2 + （ x 2 -x ） 2 + … + （ x n -x ） 2 n = （x 2 1 -2x 1 x+x 2 ） + （x 2 2 -2x 2 x+x 2 ） + … + （x 2 n -2x n x+x 2 ） n = （x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 n ） -2x （x 1 +x 1 + … +x n ） +nx 2 n = 1 n n i=1 移 x 2 i - 2x · nx n +x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -x 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -1.6 2 =1.44 ， ∴ 1 n n i=1 移 x 2 i =1.6 2 +1.44=4. 14. ②③ 【解析】 不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故 ① 错误； 因为甲、 乙两校男生成绩的优秀率均大于女生成绩 的优秀率， 故甲、 乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、 乙两校所有女生成绩的优秀率， 故 ② 正确； 因为不能确定甲、 乙两校的男女比例， 故不能确定 甲校学生成绩的优秀率与甲、 乙两校所有学生成绩的优 秀率的大小关系， 故 ③ 正确 . 15. 解： （ 1 ） 由题意得 （ a+0.04+0.085+0.11+0.125+ b+a+0.01+0.01 ） ×2=1 ， 即 b+2a=0.12. 又 ∵b=2a ， ∴a=0.03 ， b=0.06. （ 2 ） ∵ 前三组的频率之和为 0.31 ， 前四组的频率之 和为 0.53 ， ∴ 中位数 x∈ ［ 6 ， 8 ）， ∴ （ x-6 ） ×0.11+0.31=0.5 ， 即 x= 0.19 0.11 +6≈7.7 ， 即中位数的估计值为 7.7. （ 3 ） 这周课外阅读时间为 ［ 0 ， 6 ） ， ［ 6 ， 10 ） ， ［ 10 ， 14 ）， ［ １４ ， 18 ］ 的频率分别为 0.31 ， 0.47 ， 0.18 ， 0.04. ∴ 各组的人数分别为 31 ， 47 ， 18 ， 4. 一共奖励这 100 名学生笔记本的数量为 47+18×2+4× 3=95. 5.2 概 率 5.2.1 样本空间与事件 学习手册 变式训练 1 解： 由题意知 ① 中事件可能发生， 也可能不发生， 所以是随机事件； ② 中事件一定会发生， 是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是 1 ， 两次朝上面的数字之 和最小是 2 ， 不可能小于 2 ， 所以 ③ 中事件不可能发生， 是不可能事件 . 59 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 2 D 【解析】 一年有 12 个月， 因此无论 10 ， 11 ， 12 个人， 都有可能所有人都不在同一个月出生， 而 13>12 ， 所以 13 人中则至少有 2 人在同一月份出生， 为必然事 件 . 故选 D. 变式训练 3 { 红， 黄 } {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 【解析】 由题意， 试 验 A 的样本空间为 { 红 ， 黄 } ， 试验 B 的样本空间为 {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} . 变式训练 4 解： （ 1 ） Ω ={ （ 1 ， -1 ） ， （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 2 ， -1 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， -1 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 3 ， 4 ） } ， 共包含 15 个样本点 . （ 2 ） ∵ 函数 f （ x ） =ax 2 -4bx+1 的图象的对称轴为 x= 2b a ， 要使 f （ x ） =ax 2 -4bx+1 在区间 ［ 1 ， +∞ ） 上为增函数， 则 a>0 且 2b a ≤1 ， 即 2b≤a. 若 a=1 ， 即 b=-1 ； 若 a=2 ， 则 b=-1 ， 1 ； 若 a=3 ， 则 b=-1 ， 1. 即事件 “函数 f （ x ） =ax 2 -4bx+1 在区间 ［ 1 ， +∞ ） 上 是增函数 ” 的所有样本点有 （ 1 ， -1 ） ， （ 2 ， -1 ） ， （ 2 ， 1 ）， （ 3 ， -1 ）， （ 3 ， 1 ） 共 5 个 . 随堂练习 1. B 【解析】 不可能事件的概率为 0 ， 但概率接近于 0 的事件不一定是不可能事件 . 故选 B. 2. C 【解析】 所有样本点为 （数学， 计算机） （数 学， 航空模型） （计算机， 航空模型）， 共 ３ 个 . 故选 C. 3. C 【解析】 “点 P 落在 x 轴上” 包含的样本点的 特征是纵坐标为 0 ， 横坐标不为 0 ， ∵A 中有 9 个非零 数， 故选 C. 4. A 【解析】 所有的样本点有 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ）， （ 0 ， 2 ） ， （ 1 ， 0 ） ， （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 2 ， 0 ） ， （ 2 ， 1 ）， （ 2 ， 2 ）， 事件 C 0 包含 1 个样本点， 事件 C 1 包 含 2 个样本点， 事件 C 2 包含 3 个样本点， 事件 C 3 包含 2 个样本点， 事件 C 4 包含 1 个样本点， ∴ 事件 C 2 的概率 最大， 则 n=2. 故选 A. 5. AD 【解析】 ∵10 件同类商品中， 有 8 件是红色 的， 2 件是白色的， 则抽取 3 件有可能都是红色， 也有 可能出现白色， ∴A 是随机事件； 因为只有 2 件是白色， 所以不可能出现 3 件是白色， 即 B 是不可能事件； 因为只有 2 件是白色， 所以取出的 3 件中至少有 1 件是红色， 所以 C 为必然事件； 抽出 3 件中白色有 0 ， 1 ， 2 三种可能， 所以有 1 件 白色是随机事件， 即 D 为随机事件 . 综上可知， 随机事 件为 A ， D ， 故选 AD. 6. （ 1 ） 随机现象 （ 2 ） 随机现象 （ 3 ） 随机现象 【解析】 （ 1 ） 掷一枚质地均匀的骰子， 其点数有可 能出现 1~6 ， 点数是不能确定的， 故是随机现象 . （ 2 ） 行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能 是红色， 有可能是黄色， 也有可能是绿色， 故是随机现象 . （ 3 ） 抽出的 2 个产品中有可能全部是正品， 也有可 能是一个正品一个次品， 还有可能是两个次品， 故是随 机现象 . 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 此人从小区 A 前往 C 的所有最短路径 为 A→G→B→F→C ， A→G→O→F→C ， A→G→O→ H→C ， A→E→D→H→C ， A→E→O→F→C ， A→E→ O→H→C ， 共 6 条， 记 “此人不经过市中心 O ” 为事件 M ， 则 M 包含的样本点为 A→G→B→F→C ， A→E→ D→H→C ， 共 2 个 . 故选 A. 2. C 【解析】 A. 标准大气压下， 水加热到 100 ℃ 后， 持续加热必会沸腾， 是必然事件； B. 长和宽分别为 a ， b 的矩形， 其面积为 ab ， 是必然事件； C. 走到十字路口， 遇到红灯， 是随机事件； D. 三角形内角和为 180° ， 是必 然事件 . 故选 C. 3. C 【解析】 对于 ① ， 3 个球全部放入 2 个盒子， 有 两种情况： 1+2 和 3+0 ， 故必有 1 个盒子有 1 个以上的 球， ∴ 该事件是必然事件， ① 正确； 对于 ② ， x=0 时 x 2 = 0 ， ∴ 该事件不是不可能事件， ② 错误； 对于 ③ ， “明天 天津市要下雨” 是偶然事件， ∴ 该事件是随机事件， ③ 错误； 对于 ④ ， “从 100 个灯泡 （含有 10 个次品） 中取 出 5 个， 5 个全是次品” 发生与否是随机的， ∴ 该事件 是随机事件， ④ 正确 . 故正确命题有 2 个， 故选 C. 4. C 【解析】 从中选出数学、 物理、 化学成绩优秀 者各 1 名基本事件有 （ A 1 B 1 C 1 ）， （ A 1 B 1 C 2 ）， （ A 1 B 2 C 1 ）， （ A 1 B 2 C 2 ） ， （ A 2 B 1 C 1 ） ， （ A 2 B 1 C 2 ） ， （ A 2 B 2 C 1 ） ， （ A 2 B 2 C 2 ） ， （ A 3 B 1 C 1 ）， （ A 3 B 1 C 2 ）， （ A 3 B 2 C 1 ）， （ A 3 B 2 C 2 ）， 共 12 种， 其中 符合条件的基本事件有 6 种 . 故选 C. 5. C 【解析】 对于 ① ， 当 x 是实数时， x-|x|=2 ， 方 程无解， 故 ① 是不可能事件； 对于 ② ， 某班一次数学测 试， 及格率低于 75% 是随机事件； 对于 ③ ， 从分别标有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 9 这十个数字的纸团中任取一个， 取 出的纸团中标的数字是偶数是随机事件； 对于 ④ ， 体育 彩票号码为某期的特等奖号码是随机事件 . 故选 C. 6. 9 【解析】 记 4 听合格的饮料分别为 A 1 ， A 2 ， A 3 ， 60 参 考 答 案 A 4 ， 2 听不合格的饮料分别为 B 1 ， B 2 ， ∵ 从中随机抽取 2 听的样本点有 （ A 1 ， A 2 ） ， （ A 1 ， A 3 ） ， （ A 1 ， A 4 ） ， （ A 1 ， B 1 ）， （ A 1 ， B 2 ）， （ A 2 ， A 3 ）， （ A 2 ， A 4 ）， （ A 2 ， B 1 ）， （ A 2 ， B 2 ）， （ A 3 ， A 4 ）， （ A 3 ， B 1 ）， （ A 3 ， B 2 ）， （ A 4 ， B 1 ）， （ A 4 ， B 2 ）， （ B 1 ， B 2 ）， 共 15 个 . 至少有 1 听不合格饮料的样本点有 （ A 1 ， B 1 ）， （ A 1 ， B 2 ）， （ A 2 ， B 1 ）， （ A 2 ， B 2 ）， （ A 3 ， B 1 ）， （ A 3 ， B 2 ）， （ A 4 ， B 1 ）， （ A 4 ， B 2 ）， （ B 1 ， B 2 ）， 共 9 个 . 7. 6 【解析】 经 4 次传球又回到 A 手中的基本事件 有 BABA ， BACA ， BCBA ， CACA ， CABA ， CBCA ， 共 6 种 . 8. 解： （ 1 ） “转出的数字是 5 ” 可能发生， 也可能 不发生， 故事件 A 是随机事件 . （ 2 ） “转出的数字是 0 ”， 即 B={0} ， 不是样本空间 Ω={1 ， 2 ， …， 10} 的子集， 故事件 B 是不可能事件 . （ 3 ） C=Ω={1 ， 2 ， …， 10} ， 故事件 C 是必然事件 . 9. 解： m 表示第一次摸出球的编号， n 表示第二次 摸出球的编号， 则样本点可用 （ m ， n ）， m ， n∈{1 ， 2 ， 3 ， 4} 表示 . （ 1 ） 若第一次摸出的球不放回， 则 m≠n ， 此时的样 本 空 间 可 表 示 为 Ω ={ （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 4 ）， （ 4 ， 1 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 4 ， 3 ） } ， 共有 12 个样本点 . （ 2 ） 若第一次摸出的球放回， 则 m ， n 可以相同 . 此 时 试 验 的 样 本 空 间 可 表 示 为 Ω ={ （ m ， n ） |m ， n∈ {1 ， 2 ， 3 ， 4}} ， 共有 16 个样本点 . 10. 解： （ 1 ） 由于 x ， y 取值均为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， ∴ 以 （ x ， y ） 为坐标的点有 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 5 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ）， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ）， 共 36 个 . （ 2 ） 公平 . 理由如下： 满足 x+y≥10 的点有 （ 4 ， 6 ）， （ 5 ， 5 ）， （ 5 ， 6 ）， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ）， 共 6 个 ， ∴ 小王赢的概率是 6 36 = 1 6 ； 满足 x+y≤4 的点有 （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 3 ， 1 ）， 共 6 个， ∴ 小李赢的概率是 6 36 = 1 6 ， 则小王赢 的概率等于小李赢的概率， ∴ 这个游戏规则公平 . 提升练习 11. CD 【解析】 25 件产品中只有 2 件次品， 所以不 可能取出 3 件都是次品， 则 “ 3 件都是次品” 是不可能 事件； 25 件产品中只有 2 件次品， 从中任取 3 件产品， 则 “至少有 1 件正品” 为必然事件， 而 A ， B 是随机事 件， 故选 CD. 12. { （ 3 ， 4 ， 5 ） ， （ 3 ， 5 ， 7 ） ， （ 3 ， 7 ， 9 ） ， （ 4 ， 5 ， 7 ）， （ 4 ， 7 ， 9 ）， （ 5 ， 7 ， 9 ） } 【解析】 从长度为 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 9 的五条线段中任取 三 条 ， 样 本 空 间 Ω = { （ 3 ， 4 ， 5 ） ， （ 3 ， 4 ， 7 ） ， （ 3 ， 4 ， 9 ）， （ 3 ， 5 ， 7 ）， （ 3 ， 5 ， 9 ）， （ 3 ， 7 ， 9 ）， （ 4 ， 5 ， 7 ）， （ 4 ， 5 ， 9 ）， （ 4 ， 7 ， 9 ）， （ 5 ， 7 ， 9 ） } ， 则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是 { （ 3 ， 4 ， 5 ）， （ 3 ， 5 ， 7 ）， （ 3 ， 7 ， 9 ）， （ 4 ， 5 ， 7 ）， （ 4 ， 7 ， 9 ）， （ 5 ， 7 ， 9 ） }. 13. ①③ 【解析】 一年按 365 天计算， 每个人的生 日只占其中一天， 故两名学生的生日相同的概率是 1 365 ， 故 ① 正确； 根据 “概率的意义” 可知， 买彩票中奖的概率是 0.001 ， 是指买一张彩票可能中奖的概率为 0.001 ， 不是 指买 1 000 张彩票就一定能中奖， 故 ② 错误； 两名球员从 1～10 共 10 个数字中各抽取 1 个， 每个 数字被抽到的概率是相同的， 再比较大小， 则这种抽签 方法是公平的， 故 ③ 正确； 昨天气象局的天气预报降水概率是 90% ， 是指可能 性非常大， 并不一定会下雨， 故 ④ 错误 . 14. 解： 分别用 x 1 ， x 2 和 x 3 表示元件 A ， B 和 C 的 可能状态， 则这个电路的工作状态可用 （ x 1 ， x 2 ， x 3 ） 表 示， 进一步地， 用 1 表示元件的 “正常” 状态， 用 0 表 示 “失效” 状态 . （ 1 ） 样 本 空 间 Ω ={ （ 0 ， 0 ， 0 ） ， （ 1 ， 0 ， 0 ） ， （ 0 ， 1 ， 0 ）， （ 0 ， 0 ， 1 ）， （ 1 ， 1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ， 1 ）， （ 0 ， 1 ， 1 ）， （ 1 ， 1 ， 1 ） }. 如图， 还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有 可能结果 . （ 2 ） “恰好两个元件正常” 等价于 （ x 1 ， x 2 ， x 3 ） ∈ Ω ， 且 x 1 ， x 2 ， x 3 中恰有两个为 1 ， ∴M={ （ 1 ， 1 ， 0 ） ， （ 1 ， 0 ， 1 ）， （ 0 ， 1 ， 1 ） }. “电路是通路” 等价于 （ x 1 ， x 2 ， x 3 ） ∈Ω ， x 1 =1 且 x 2 ， 0 1 0 1 0 1 0 ……… 000 1 ……… 001 0 ……… 010 1 ……… 011 0 ……… 100 1 ……… 101 0 ……… 110 1 ……… 111 可能结果元件 C 元件 B 元件 A 第 14 题答图 61 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 x 3 中至少有一个是 1 ， ∴N={ （ 1 ， 1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ， 1 ）， （ 1 ， 1 ， 1 ） }. “电路是断路” 等价于 （ x 1 ， x 2 ， x 3 ） ∈Ω ， x 1 =0 或 x 1 = 1 ， x 2 =x 3 =0. ∴N={ （ 0 ， 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ， 0 ）， （ 0 ， 0 ， 1 ）， （ 0 ， 1 ， 1 ）， （ 1 ， 0 ， 0 ） }. 15. 解： （ 1 ） 该试验的样本空间 Ω={ （ a 1 ， a 2 ）， （ a 1 ， b 1 ）， （ a 2 ， a 1 ）， （ a 2 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 1 ）， （ b 1 ， a 2 ） }. （ 2 ） 事件 A={ （ a 1 ， a 2 ）， （ a 2 ， a 1 ） } ， 包含 2 个样本点 . 事件 B={ （ a 1 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 1 ）， （ a 2 ， b 1 ）， （ b 1 ， a 2 ） } ， 包含 4 个样本点 . 5.2.2 事件之间的关系与运算 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 事件 A ： 命中环数大于 8 即命中 9 或 10 环； 事件 B ： 命中环数大于 5 即命中 6 或 7 或 8 或 9 或 10 环， 故 A哿B. 故选 C. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵A= 射中 10 环， B= 射中 9 环， C= 射中 8 环， ∴A∪B∪C= 射中 10 环或 9 环或 8 环 . （ 2 ） ∵C= 射中 8 环， ∴C= 射中环数不是 8 环， 则 B∩ C= 射中 9 环 . （ 3 ） ∵B∪C∪D= 射中 9 环或 8 环或 7 环， 则 B∪C∪D= 射中 10 环或 6 环或 5 环或 4 环或 3 环或 2 环或 1 环或 0 环 . 变式训练 3 C 【解析】 若最后甲队获胜， 则后 3 局必须都是甲 队获胜， 其概率为 P= 2 3 3 ' 3 = 8 27 ， ∴ 最后乙队获胜的概率 为 1- 8 27 = 19 27 . 故选 C. 随堂练习 1. C 【解析】 因为题目中给定了 A ， B 是任意事件， 那么利用集合的并集思想来分析， 两个事件的和事件不 一定等于其中的事件 A ， 可能大于事件 A ， 故 A 错误； 事件 AB 表示的为事件 A 与事件 B 的积事件， 那么 利用集合的思想， 和交集类似， 不一定包含 A 事件， 故 B 错误； 由于利用集合的交集和并集的思想可知， A+AB=A 表示的等式成立， 故 C 正确； 利用补集的思想和交集的概念可知， AB 表示的事 件 A 不发生， 同时事件 B 发生， 显然 D 不成立， 故 D 错误 . 故选 C. 2. B 【解析】 由题意， 事件 A ， B 互斥， 则 A哿B ， ∴A∪B 为必然事件， 故选 B. 3. B 【解析】 设置随机试验： 袋子中放有大小相同 且标号为 1~10 的十个小球， 从中取一球， 设事件 A 1 为 “取出球标号为 1 或 3 ”， 事件 A 2 为 “取出球标号为 1 或 3 或 5 ”， 事件 A 3 为 “取出球标号为奇数”， 则三个事件 A 1 ， A 2 ， A 3 的概率分别是 0.2 ， 0.3 ， 0.5 ， 可知 A 1 +A 2 与 A 3 不是互斥事件， A 1 +A 2 +A 3 不是必然事件， P （ A 2 +A 3 ） = 0.5 ， P （ A 1 +A 2 ） ≤0.5 （当事件 A 2 为 “取出球标号为 3 或 5 或 7 ” 时， P （ A 1 +A 2 ） =0.5 ）， 故只有 ④ 正确 . 故选 B. 4. C 【解析】 由题意知， 此乘客乘坐 3 路车和乘坐 6 路车是互斥事件， ∴ 此乘客在 5 min 内能乘到所需要 的车的概率是 0.20+0.60=0.80. 故选 C. 5. D 【解析】 设 “抽到次品” 为事件 D ， 由题意知 事件 A ， B ， C ， D 彼此互斥 ， 且每次试验必有 A ， B ， C ， D 中的一个事件发生， 则 P （ A+B+C+D ） =P （ A ） +P （ B ） +P （ C ） +P （ D ） =1 ， ∴P （ D ） =1- （ 0.65+0.2+0.1 ） =0.05. 故选 D. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 甲、 乙不能同时得到红色， 因而这两 个事件是互斥事件； 又甲、 乙可能都得不到红色 ， 即 “甲或乙分得红色” 的事件不是必然事件， 故这两个事 件不是对立事件， 故选 C. 2. B 【解析】 抛掷一枚质地均匀的骰子， 向上的一 面出现任意一种点数的概率都是 1 6 ， 记事件 A 为 “向 上的点数是奇数 ” ， 事件 B 为 “向上的点数为 6 ” ， ∴P （ A ） = 3 6 = 1 2 ， P （ B ） = 1 6 ， 且 A 与 B 为互斥事件 ， ∴P （ A∪B ） =P （ A ） +P （ B ） = 1 2 + 1 6 = 2 3 . 故选 B. 3. D 【解析】 随机事件 A ， B 互斥 ， A ， B 发生的 概率均不等于 0 ， 且 P （ A ） =2- a ， P （ B ） =4a-5 ， ∴ 0<P （ A ） <1 ， 0<P （ B ） <1 ， P （ A ） +P （ B ） ≤1 1 + + + * + + + + , ， 即 0<2-a<1 ， 0<4a-5<1 ， 3a-3≤1 1 + + + * + + + + , ， 解 得 5 4 <a≤ 4 3 ， 即 a∈ 5 4 ， 4 3 33 . 故选 D. 4. A 【解析】 从 10 件产品中， 抽取 3 件的基本事件 有 A 1 ： 3 件正品； A 2 ： 2 件正品 1 件次品； A 3 ： 1 件正品 2 件次品 . 事件 “ 1 件正品 2 件次品” 显然为 A 3 ， 事件 “恰有 1 件次品 ” 显然为 A 2 ， ∵A 2 与 A 3 互斥而不对立 . 故选 A. 5. BC 【解析】 恰有一个是奇数和有两个是偶数包 含一个奇数和两个偶数的情况， 故 A 错误； 至少有两个 是偶数和至少有两个是奇数是不可能同时发生的， 故 B 是互斥事件； 至少有一个是奇数和三个都是偶数是不可 能同时发生的， 故 C 是互斥事件； 至少有一个是奇数和 至少有一个是偶数包含一个是奇数和两个是偶数或者一 个是偶数和两个是奇数的情况， 故 D 不是互斥事件 . 故 62