5.1.2 数据的数字特征-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解数据的基本数字特征： 最值、 平 均数、 中位数、 百分位数、 众数、 极差、 方 差与标准差等 . 2. 准确计算一组数据的平均数、 中位 数、 百分位数、 方差与标准差， 培养学生的 数学运算能力 . 要 点 精 析 要点 数字特征的计算 （ 1 ） 平均数 ： 如果给定的一组数是 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， 则这组数的平均数为 x= 1 n （ x 1 +x 2 + … +x n ） . （ 2 ） 中位数： ① 如果一组数有奇数个 数， 且按照从小到大排列后为 x 1 ， x 2 ， …， x 2n+1 ， 则称 x n+1 为这组数的中位数； ② 如果一 组数有偶数个数， 且按照从小到大排列后为 x 1 ， x 2 ， …， x 2n ， 则称 x n +x n+1 2 为这组数的中 位数 . （ 3 ） 百分位数： 设一组数按照从小到大 排列后为 x 1 ， x 2 ， …， x n ， 计算 i=np% （ p∈ （ 0 ， 100 ）） 的值， 如果 i 不是整数， 设 i 0 为 大于 i 的最小整数， 取 x i 0 为 p% 分位数； 如 果 i 是整数， 取 x i +x i+1 2 为 p% 分位数 . 特别地， 规定： 0 分位数是 x 1 （即最小值）， 100% 分 位数是 x n （即最大值） . （ 4 ） 众数： 一组数据中， 某个数据出现 的次数称为这个数据的频数， 出现次数最多 的数据称为这组数据的众数 . （ 5 ） 极差： 一组数的极差指的是这组数 的最大值减去最小值所得的差 . （ 6 ） 方差： 如果 x 1 ， x 2 ， …， x n 的平均 数为 x ， 则方差可用求和符号表示为 s 2 = 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 . （ 7 ） 标准差： 方差的算术平方根称为标 准差 . 思考 1. 一组数有奇数个数， 那么这组数的 中位数就是中间的那一个数吗？ 2. 一组数据的众数只能有一个吗？ 例 1 甲、 乙两人某次飞镖游戏中的成 绩如下表所示 . 甲、 乙两人成绩的平均数分别记作 x 甲 ， x 乙 ， 标准差分别记作 s 甲 ， s 乙 . 则 （ ） A. x 甲 <x 乙 ， s 甲 >s 乙 B. x 甲 <x 乙 ， s 甲 <s 乙 C. x 甲 >x 乙 ， s 甲 >s 乙 D. x 甲 >x 乙 ， s 甲 <s 乙 分析 本题考查平均数和标准差的 计算 . 5.1.2 数据的数字特征 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 环数 6 7 8 9 10 频数 1 1 1 4 3 甲的成绩 乙的成绩 36 第五章 统计与概率 学 解析： 由题意， x 甲 = 1 10 × （ 6+7×2+8×4+9× 2+10 ） =8 ， x 乙 = 1 10 × （ 6+7+8+9×4+10×3 ） =8.7 ， ∴x 甲 <x 乙 ； s 2 甲 = 1 10 × ［（ 6-8 ） 2 +2× （ 7-8 ） 2 +4× （ 8-8 ） 2 +2× （ 9-8 ） 2 + （ 10-8 ） 2 ］ =1.2 ， s 2 乙 = 1 10 × ［（ 6-8.7 ） 2 + （ 7-8.7 ） 2 + （ 8-8.7 ） 2 +4× （ 9-8.7 ） 2 +3× （ 10-8.7 ） 2 ］ =1.61 ， ∴s 甲 <s 乙 . 故选 B. 变式训练 1 某同学使用计算器求 30 个数据的平均 数时 ， 错将其中一个数据 105 输入为 15 ， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是 （ ） A． 3.5 B． －3 C． 3 D． －0.5 例 2 一组数据 12 ， 34 ， 15 ， 24 ， 39 ， 25 ， 31 ， 48 ， 32 ， 36 ， 36 ， 37 ， 42 ， 50 的第 25 ， 75 百分位数分别是 、 . 分析 本题考查百分位数的计算 . 解析： 把数据从小到大排序为 12 ， 15 ， 24 ， 25 ， 31 ， 32 ， 34 ， 36 ， 36 ， 37 ， 39 ， 42 ， 48 ， 50 共 14 个数， 14×25%＝3.5 ， 14×75%＝ 10.5 ， ∴ 第 25 ， 75 百分位数分别是第 4 ， 11 项数据， 即是 25 ， 39. 变式训练 2 某校组织学生参加植树活动， 活动结束 后， 统计了高一某班 50 名学生每人植树的 情况， 绘制了如下的统计表： 那么这 50 名学生平均每人植树 棵， 这 50 名学生每人植树数的 75% 分位数 是 ． 例 3 某工厂连续 5 天生产的零件数依 次为 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 （单位： 万个）， 若这 组数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 的方差为 144 ， 且 x 2 1 ， x 2 2 ， x 2 3 ， x 2 4 ， x 2 5 的平均数为 400 ， 则该工 厂这 5 天平均每天生产零件 万个 . 分析 本题将方差公式展开变形， 转 化成平均数的形式， 解方程即可 . 解析： 依题意， 得 x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 5 =2 000. 设 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 的平均数为 x ， 根据方差的计算公式有 1 5 ［（ x 1 -x ） 2 + （ x 2 -x ） 2 + … + （ x 5 -x ） 2 ］ =144. ∴ （ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 5 ） -2x （ x 1 +x 2 + … +x 5 ） +5x 2 = 720 ， 即 2 000-10x 2 +5x 2 =720 ， ∴x=16. 变式训练 3 甲、 乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件， 为了检验质量， 各从中抽取 6 件进 行测量， 分别记录数据为： 甲： 99 ， 100 ， 98 ， 100 ， 100 ， 103 ； 乙： 99 ， 100 ， 102 ， 99 ， 100 ， 100. 分别计算两组数据的平均数及方差 ． 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 37 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 例 4 气象意义上从春季进入夏季的标 志为连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃. 现有甲、 乙、 丙三地连续 5 天的日平均温度 的记录数据 （记录数据都是正整数）： ① 甲地 5 个数据的中位数为 24 ， 众数 为 22 ； ② 乙地 5 个数据的中位数为 27 ， 总体 均值为 24 ； ③ 丙地 5 个数据中有一个数据是 32 ， 总体均值为 26 ， 总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有 . 分析 本题需要根据信息列出 5 个数 据的可能取值， 来判断三地连续 5 天的日 平均温度是否均不低于 22 ℃ ， 从而判断是 否进入夏季 . 解析： ① 甲地： 5 个数据的中位数为 24 ， 众数为 22 ， 根据数据得出： 甲地连续 5 天的 日平均温度的记录数据可能为 22 ， 22 ， 24 ， 25 ， 26 ， 其连续 5 天的日平均气温均不 低于 22 ℃ . ② 乙地： 5 个数据的中位数为 27 ， 总体均值为 24 ， 当 5 个数据为 19 ， 20 ， 27 ， 27 ， 27 ， 可知其连续 5 天的日平均温度 有低于 22 ℃ 的， 故乙地不确定进入夏季 . ③ 丙地： 5 个数据中有一个数据是 32 ， 总体 均值为 26 ， 若有低于 22 ， 假设取 21 ， 此时 方差就超出了 10.8 ， 可知其连续 5 天的日平 均温度均不低于 22 ℃ 的， 如 22 ， 25 ， 25 ， 26 ， 32 ， 这组数据的平均值为 26 ， 方差为 10.8 ， 但是进一步扩大， 方差就会超过 10.8 ， 故丙 地肯定进入夏季 . 则肯定进入夏季的地区有 甲、 丙两地 . 变式训练 4 乐乐家共有七人， 已知今年这七人年龄 的众数为 35 ， 平均数为 44 ， 中位数为 55 ， 标准差为 19.5 年后， 下列说法中正确的有 （请把所有正确结论的序号写 出） . ① 这七人年龄的众数变为 40 ； ② 这七 人年龄的平均数变为 49 ； ③ 这七人年龄的 中位数变为 60 ； ④ 这七人年龄的标准差变 为 24. 反思感悟 1． 众数、 中位数、 平均数 的特点 （ 1 ） 众数、 中位数及平均数都是描述 一组数据集中趋势的量 ． （ 2 ） 平均数的大小与一组数据里每个 数的大小均有关系， 任何一个数据的变动 都会引起平均数的变动 ． （ 3 ） 众数考查各数出现的频数， 其大 小与这组数据中部分数据有关， 当一组数 据中有不少数据重复出现时， 其众数往往 更能反映问题 ． （ 4 ） 中位数仅与数据的排列位置有关， 某些数据的变动对中位数没有影响， 中位 数可能出现在所给数据中， 也可能不在所 给数据中， 当一组数据中个别数据变动较 大时， 用中位数描述这种趋势 ． 2. 关于百分位数 （ 1 ） 直观来说， 一组数的 p% 分位数指 的是， 将这组数按照从小到大的顺序排列 后， 处于 p% 位置的数， 例如中位数就是一 个 50% 分位数 . （ 2 ） 按照定义可知， p% 分位数可能不 38 第五章 统计与概率 学 唯一 . （ 3 ） 设一组数按照从小到大排列后为 x 1 ， x 2 ， …， x n ， 计算 i=np% 的值， 如果 i 不 是整数， 设 i 0 为大于 i 的最小整数， 取 x i 0 为 p% 分位数； 如果 i 是整数， 取 x i +x i+1 2 为 p% 分位数 . 特别地， 规定： 0 分位数是 x 1 （即最小值 ） ， 100% 分位数是 x n （即最 大值） . （ 4 ） 实际应用中， 除了中位数外， 经 常使用的是 25% 分位数 （简称为第一四分 位数 ） 与 75% 分位数 （简称为第三四分 位数） 3. 方差的作用 在实际问题中， 仅靠平均数不能完全 反映问题， 还要研究方差 . 方差描述了数据 相对平均数的离散程度， 在平均数相同的 情况下， 方差越大， 离散程度越大， 数据 波动性越大， 稳定性就越差； 方差越小， 数据越集中， 质量越稳定 . 数 学 文 化 例 某鞋店试销一种新女鞋， 如果你 是鞋店经理， 最关心的是哪种号码的鞋销 量最大， 那么下列统计量中对你来说最重 要的是 （ ） A． 平均数 B． 众数 C． 中位数 D． 方差 分析 辨析各统计量在实际应用中的 意义 . 解析： 鞋店经理最关心的是哪种号码的 鞋销量最大， 所以应该选择统计量中的 “众 数” . 故选 B. 39 参 考 答 案 ② 按照样本容量的比例， 随机抽取各乡镇应抽取的 样本： 300× 3 15 =60 （人 ）， 300× 2 15 =40 （人 ）， 300× 5 15 = 100 （人）， 300× 2 15 =40 （人）， 300× 3 15 =60 （人）； ③ 将 300 人组到一起就得到一个样本 . 5.1.2 数据的数字特征 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 输入的数据比实际数据小 90 ， 90 30 =3 ， ∴ 求出的平均数比实际的平均数小 3 ， 即求出的平均数减 去实际的平均数等于 -3. 故选 B. 变式训练 2 4 5 【解析】 平均每人植树 20×3+15×4+10×5+5×6 20+15+10+5 = 4 （棵）， ∵50×75%=37.5 ， ∴ 这 50 名学生每人植树数的 75% 分位数是 5. 变式训练 3 解： x 甲 = 1 6 × （ 99+100+98+100+100+103 ） =100 ， x 乙 = 1 6 × （ 99+100+102+99+100+100 ） =100. s 2 甲 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 98-100 ） 2 + （ 100- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 103-100 ） 2 ］ = 7 3 ， s 2 乙 = 1 6 × ［（ 99-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 102-100 ） 2 + （ 99- 100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 + （ 100-100 ） 2 ］ =1. 变式训练 4 ①②③ 【解析 】 根据众数 、 平均数 、 中位数概念 得， 5 年后， 众数、 平均数、 中位数相应增加 5 ， 而标 准差不变 . ∴ 这七人年龄的众数变为 40 ， 平均数变为 49 ， 中 位数变为 60 ， 标准差不变， 为 19. 即正确的有 ①②③. 随堂练习 1. C 【解析】 判断能否进入决赛， 只要判断是不是 前 8 名即可， 所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是 不是有 8 位高于他， 也就是把其他 15 位同学的成绩排 列后看第 8 位的成绩即可， 其成绩高于这个成绩就能进 入决赛， 低于这个成绩就不能进入决赛， 这个第 8 位同 学的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数 . 故选 C. 2. D 【解析】 这组数据中 82 出现的次数最多， 故众数 为 82. 平均数为 58+67+73+74+76+82+82+87+90+92+93+98 12 = 81. ∵12×75%=9 ， ∴ 这组数据的 75% 分位数为 90+92 2 =91. 故选 D. 3. AB 【解析】 甲同学名次数据的平均数为 2 ， 说明 名次之和为 6 ， 又中位数为 2 ， 得出三次考试名次均不 超过 3 ， 断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为 2 ， 说明名次之和为 6 ， 又方差小于 1 ， 得出三次考试名 次均不超过 3 ， 断定乙是尖子生； 丙同学名次数据的中 位数为 2 ， 众数为 2 ， 说明其三次考试中至少有两次名 次为 2 ， 而另一次考试的名次可能超过 3 ， 也可能不超 过 3 ， 故丙可能是尖子生， 也可能不是尖子生； 丁同学 名次数据的众数为 2 ， 方差大于 1 ， 说明其某两次名次 为 2 ， 设另一次名次为 x ， 经验证， 当 x=1 ， 2 ， 3 时， 方 差均小于 1 ， 故 x>3 ， 断定丁一定不是尖子生 . 故选 AB. 4. 众数 平均数 中位数 【解析】 对甲分析： 8 出 现的次数最多， 故运用了众数； 对乙分析： 8 既不是众数， 也不是中位数， 求平均 数可得， 平均数 = 1 8 × （ 4+6+6+6+8+9+12+13 ） =8 ， 故运用 了平均数； 对丙分析： 共 8 个数据， 最中间的是 7 和 9 ， 故其 中位数是 8 ， 即运用了中位数 . 5. 解： x 甲 = 1 8 × （ 78+79+81+82+84+88+93+95 ） =85 ， x 乙 = 1 8 × （ 75+80+80+83+85+90+92+95 ） =85. s 2 甲 = 1 8 × ［（ 78-85 ） 2 + （ 79-85 ） 2 + （ 81-85 ） 2 + （ 82-85 ） 2 + （ 84-85 ） 2 + （ 88-85 ） 2 + （ 93-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =35.5 ， s 2 乙 = 1 8 × ［（ 75-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 80-85 ） 2 + （ 83-85 ） 2 + （ 85-85 ） 2 + （ 90-85 ） 2 + （ 92-85 ） 2 + （ 95-85 ） 2 ］ =41. ∵x 甲 =x 乙 ， s 2 甲 <s 2 乙 ， ∴ 甲的成绩较稳定 . 综上可知， 甲的成绩较好 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 3x 1 +2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的平均数是 3x+2 ， 由 于 数据 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的方 差 为 s 2 ， ∴3x 1 + 2 ， 3x 2 +2 ， …， 3x n +2 的方差为 9s 2 . 故选 C. 2. D 【解析 】 由小到大排列的结果 ： 6 ， 7 ， 15 ， 36 ， 39 ， 40 ， 41 ， 42 ， 43 ， 47 ， 49 ， 一共 11 项 . 第一四 分位数即第 25 百分位数， 由 11×25%=2.75 ， 得第一四分 位数是第 3 项数据 15. 故选 D. 3. C 【解析 】 由题意得该组数据的中位数为 1 2 （ x +2 ） =1+ x 2 ， 众数为 2 ， ∴1+ x 2 =2× 3 2 =3 ， ∴x=4. ∴ 该组数 据的平均数为 x= 1 6 × （ 1+2+2+4+5+10 ） =4 ， ∴ 该组数据的 53 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 方差为 s 2 = 1 6 × ［（ 1-4 ） 2 + （ 2-4 ） 2 + （ 2-4 ） 2 + （ 4-4 ） 2 + （ 5-4 ） 2 + （ 10-4 ） 2 ］ =9 ， ∴ 该组数据的标准差为 3. 故选 C. 4. C 【解析】 若 10 天内数据为 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 10 ， 满足均值为 3 ， 中位数为 4 ， 存在超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 A 错误； 若 10 天内数据 为 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 10 ， 满足均值为 1 ， 方 差大于 0 ， 存在超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 B 错误； 设 10 天内存在一天超过 7 人， 为最低的超过标 志的人数： 8 人， 则必有 s 2 = 1 10 ［（ x 1 -2 ） 2 + … + （ x 9 -2 ） 2 + （ 8- 2 ） 2 ］ >3 ， 可知方差不可能为 3 ， 可知假设错误， 则必符 合该标志， 则 C 正确； 若 10 天内数据为 0 ， 0 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 10 ， 满足中位数为 2 ， 众数为 3 ， 存在 超过 7 人的情况， 不符合该标志， 则 D 错误 . 故选 C. 5. B 【解析】 ∵ 数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， …， x n 是某市普通 职工 n （ n≥3 ， n∈N * ） 个人的年收入， 而 x n+1 为世界首 富的年收入， 则 x n+1 会远大于 x 1 ， x 2 ， x 3 ， …， x n ， 故这 （ n+1 ） 个数据中， 年收入平均数大大增大， 但中位数可 能不变， 也可能稍微变大， 但由于数据的集中程度也受 到 x n+1 比较大的影响， 而更加离散， 则方差变大 . 故选 B. 6. A 【解析】 由题知： a ， b∈{x∈N|x≤9} ， 将甲组 数据从小到大排列得 156 ， 162 ， 165 ， 170+a ， 174 或 156 ， 162 ， 165 ， 174 ， 170+a ， 故中位数为 165 ； 要使两 组数据的中位数相同 ， 将乙组数据从小到大排列得 159 ， 161 ， 160+b ， 167 ， 178 ， ∴160+b=165 ， 故 b=5 ； ∴ 乙 组 数 据 为 159 ， 178 ， 165 ， 161 ， 167 ， 平 均 数 为 159+178+165+161+167 5 =166 ， 甲 组 数 据 的 平 均 数 为 156+170+a+165+174+162 5 =166 ， 解之得 a=3 ， ∴a +b=8. 故选 A. 7. A 【解析】 x 是 1 ， 2 ， 3 ， x ， 5 ， 6 ， 7 这七个数据 的中位数， 则 3≤x≤5 ； 1 ， 3 ， x 2 ， -y 这四个数据的平 均数为 1 ， ∴1+3+x 2 -y=4 ， ∴x 2 =y ， ∴y- 1 x =x 2 - 1 x . 设 f （ x ） = x 2 - 1 x ， x∈ ［ 3 ， 5 ］， ∴ f （ x ）是单调增函数， f （ x ）的最小值 是 f （ 3 ） =9- 1 3 = 26 3 =8 2 3 . 故选 A. 8. 81.2 4.4 【解析 】 数据都减去 80 ， 平均数减小 80 ， 离散程度不变 . 故原数据平均数为 81.2 ， 方差为 4.4. 9. 2 【解析】 由表中数据计算可得， 甲、 乙运动员 成绩的平均数均为 90 ， 甲的方差为 4 ， 乙的方差为 2. 10. 解： 这 100 天该大型超市日纯利润的平均数为 x= 1 100 × （ 4.5×5+5.5×20+6.5×30+7.5×30+8.5×10+9.5×5 ） = 6.85 （万元） . 前 2 组频率之和为 0.05+0.20=0.25<0.5 ， 前 3 组频率之和为 0.25+0.3=0.55>0.5 ， 故中位数位于第 3 组 . 设中位数为 t ， 则有 （ t-6 ） ×0.3+0.25=0.5 ， 解得 t= 41 6 ， 即这 100 天该大型超市日纯利润的中位数为 41 6 万元 . 提升练习 11. BCD 【解析】 中位数是将 9 个数据从小到大或 从大到小排列后， 处于中间位置的数据， 因而去掉 1 个 最高分和 1 个最低分 ， 不变的是中位数， 平均数、 方 差、 极差均受影响 . 故选 BCD. 12. C 【解析】 ∵y i =2x 3 i +1 ， ∴y i 关于 x i 单调递增， ∴ 当 x i 为中位数时， y i 也为中位数 . 故选 C. 13. D 【解析】 ① 错误， 举反例： 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 2 ， 6 ， 6 ， 其平均数 x=2≤3 ， 但不符合指标； ② 错误， 举反例： 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 其标准差 s=0≤2 ， 但不符合指标； ③ 错误， 举反例： 0 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 6 ， 其平均数 x≤3 且标准差 s= 9 7 姨 ≤2 ， 但不符合指标； ④ 正确， 若极差等于 0 或 1 ， 在 x≤3 的条件下显然 符合指标， 若极差等于 2 ， 新增感染人数可能为 （ 1 ） 0 ， 1 ， 2 （ 2 ） 1 ， 2 ， 3 （ 3 ） 2 ， 3 ， 4 （ 4 ） 3 ， 4 ， 5 （ 5 ） 4 ， 5 ， 6. 在 x≤3 的条件下 ， 只有 （1 ） （ 2 ） （ 3 ） 成立， 符合指标； ⑤ 正确， 若众数等于 1 且极差小于等于 4 ， 则最大 数不超过 5 ， 符合指标 . 故选 D. 14. A 【解析】 能反映 “学生视力保护达标年级” 的 是平均值和方差； 平均值反映数据的平均水平， 方差反 映数据的波动大小， 方差越大， 波动越大 . 七年级， 平均数和方差均为 2 ， 满足题意， 因为若 有一个数据大于 5 ， 方差必然大于 2 ； 八年级， 方差大 于 0 ， 但不确定具体取值， 因此不能判断八年级是否达 标； 高一年级， 知道中位数与众数， 不能判断出是否达 标， 高二年级知道平均数与中位数， 也不能判断是否达 标 . 故选 A. * 15. 解： （ 1 ） 该班 45 人分成两组， 这两组的平均 分分别是 90 ， 72 ， ∴ 全班的平均分是 1 45 × （ 90×15+72× 30 ） =78. （ 2 ） ∵s 2 = 1 n n i=1 移 （ x i -x ） 2 = 1 n n i=1 移 x 2 i -nx 2 ， s 1 = 3 姨 ， ∴s 2 1 = 1 15 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -15×90 2 ］ =3 ， ∴x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 =45+15×8 100=121 545. ∵s 2 = 6 姨 ， ∴s 2 2 = 1 30 × ［（ x 2 16 +x 2 17 + … +x 2 45 ） -30×72 2 ］ =6 ， ∴x 2 16 +x 2 17 + … +x 2 45 =180+30×72 2 =155 700 ； 54 参 考 答 案 ∴ 全班同学成绩的方差是 s 2 = 1 45 × ［（ x 2 1 +x 2 2 + … +x 2 15 ） -45×78 2 ］ = 1 45 × ［（ 121 545+ 155 700 ） -273 780 ］ =77. （ 3 ） 能 . 若后 30 名中有人不及格， 设该同学为 b 30 ， 则 b 30 ≤59 ， 该同学比平均分低至少 13 分， 那么其他同 学比平均分高出的分数至少有 13 分， ∴ （ b 1 -72 ） 2 + … + （ b 30 -72 ） 2 ≥13+169=182 ， 而 （ b 1 -72 ） 2 + （ b 2 -72 ） 2 + … + （ b 30 - 72 ） 2 =180 ， 182>180 ， 矛盾， ∴ 必定全部及格 . 5.1.3 数据的直观表示 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95+104 2 = 99.5 ， 故 A 错误； 这 12 天中， 空气质量为 “优良” 的 有 95 ， 85 ， 77 ， 67 ， 72 ， 92 共 6 天， 故 B 错误； 从 4 日到 9 日， 空气质量越来越好， 故 C 正确； 这 12 天的 AQI 的平均值为 110 ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 3 【解析】 由茎叶图知， 甲、 乙两组共 24 名同学中， 成绩不及格的有 12 人， 分层抽样的抽取比例为 6 24 = 1 4 ， ∴ 不及格的分数应抽取 1 4 ×１２=3 （个） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 样本容量是 100. （ 2 ） ①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示 . （ 3 ） 设旅客平均购票用时为 t min ， 则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 100 ≤t< 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 100 ， 即 15≤t<20 ， ∴ 旅客购票用时的平均数可能落在第 四组 . 随堂练习 1. B 【解析】 由题意知去掉一个最高分和一个最低 分以后， 两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲 和乙的平均分为 a 1 = 1+4+5×3 5 +80=84 ， a 2 = 7+6+4×3 5 +80= 85 ， 故有 a 2 >a 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意 ， 初中部女教师人数为 110× 70%=77 （人）， 高中部女教师人数为 150×40%=60 （人）， 总共有 77+60=137 （人） . 故选 C. 3. C 【解析】 由频率分布直方图得， 第一组、 第二 组的频率为 5×0.02+5×0.04=0.3 ， 第三组的频率为 5× 0.08=0.4 ， ∴ 中位数落在第三组并设为 x ， 则有 （ x-20 ） × 0.08=0.2 ， 解得 x=22.5. 故选 C. 4. n m x 【解析】 由图可得 n=5 ， m=5.5 ， x>5.5 ， ∴n<m<x. 5. A 【解析 】 成绩落在小于 17 s 的频率为 0.34+ 0.36+0.18+0.02=0.90 ， ∴x=0.9 ； 成绩落在大于等于 15 s 且小于 17 s 的频率为 0.34+0.36=0.70 ， ∴ 对应的人数为 50×0.70=35. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 在 ① 中， 1 月至 8 月空气质量合格天数 超过 20 天的月份有 1 月、 2 月、 6 月、 7 月、 8 月， 共 5 个， 故 ① 正确； 在 ② 中， 第一季度合格天数的比重为 22+26+19 31+29+31 ≈0.736 3 ； 第 二 季 度 合 格 天 数 的 比 重 为 19+13+25 30+31+30 ≈0.626 4 ， ∴ 第二季度与第一季度相比， 空气 合格天数的比重下降了， ∴② 是正确的； 在 ③ 中， 8 月空 气质量合格天数达到 30 天， 是空气质量最好的一个月， ∴③ 是正确的； 在 ④ 中， 5 月空气质量合格天数只有 13 天， 5 月的空气质量最差， ∴④ 是错误的 . 故选 A. 2. D 【解析 】 易得他们健身前后 ， 体重在区间 ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占比均为 40% ， 故 A 正确； 体重在区间 ［ 100 kg ， 110 kg ） 内的人数减少了 50％- ３０％＝２0％ ， 即 ２0×20%=4 （人）， 故 B 正确； 因为健身后 体重在区间 ［ 80 kg ， 90 kg ） 内的人数占 30% ， ［ 90 kg ， 100 kg ） 内的人数占 40% ， 故中位数位于 ［ 90 kg ， 100 kg ） ， 故 C 正 确 ； 易 举 出 反 例 ， 若 原 体 重 在 ［ 110 kg ， 120 kg ） 内的肥胖者重量为 110 kg ， 减肥后为 109 kg 依然满足， 故 D 错误 . 故选 D. 3. B 【解析】 由题意可知， 成绩在 ［ 110 ， 130 ］ 内 的人数为 1 000×10× （ 0.020+0.010 ） =300 （人） . 故选 B. 4. D 【解析】 设 2020 年该校参加高考的人数为 S ， 则 2023 年该校参加高考的人数为 1.5S. 2020 年一本达线 人数为 0.28S ， 2023 年一本达线人数为 0.24×1.5S=0.36S ， 可见一本达线人数增加了， 故 A 错误； 2020 年二本达线 人数为 0.32S ， 2023 年二本达线人数为 0.4×1.5S=0.6S ， 变式训练 3 答图 购票用时 /min 频率 组距 10 15 20 255 0.1 0.06 0.02 O 55