4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较＊4.5　信息技术支持的函数研究练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 *§5　信息技术支持的函数研究 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:　 x 1 2 4 6 8 10 12 y1 16 29 55 81 107 133 159 y2 1 9 82 735 6567 59 055 531 447 y3 1 8 64 216 512 1000 1728 y4 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129 其中关于x近似呈指数爆炸的变量是 (　 ) A.y1 B.y2 C.y3 D.y4 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下列函数关系式中,能表达这种关系的是 (　 ) A.y=log2(x+1) B.y=2x-1 C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1 3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,则当x∈(4,+∞)时,下列结论中正确的是 (　 ) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是 (　 ) A.2x>>lg x B.2x>lg x> C.>2x>lg x D.lg x>>2x 5.如图是某种豆类的生长枝数y与时间t(单位:月)的散点图,那么此种豆类的生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 (　 ) A.y=2t2 B.y=log2t C.y=t3 D.y=2t 6.小明在研究变量x(x∈N*)与y的关系时,得到了下列一组数据: x 2 3 4 5 6 … y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 请从模型y=,模型y=中选择一个合适的函数模型,并预测满足y>300的x的最小值为(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301) (　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 7.有四人同时从同一点出发向同一个方向运动,记四人编号分别为1,2,3,4,且所走路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是 (　 ) A.当x>1时,甲走在最前面 B.当x>1时,乙走在最前面 C.当0<x<1时,丁走在最后面;当x>1时,丁走在最前面 D.当x>1时,丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面 8.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.已知a>1,则对任意的x>0,ax>logax恒成立 C.对任意的x>0,都有xa>logax D.不一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax 9.(多选题)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表: x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y3 5 30 55 80 105 130 155 则下列说法合理的是 (　 ) A.y1关于x呈对数增长 B.y2关于x呈指数爆炸 C.y3关于x呈直线上升 D.y2的增长速度最快 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.由指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知:若a>1,n>0,则当x足够大时,一定有ax 　　　　xn　　　　logax.(从“>”“<”中选填)  11.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的是　　　　.  12.三个变量y1,y2,y3随自变量x的变化情况如表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中关于x呈对数型函数变化的变量是　　　　,呈指数型函数变化的变量是　　　　,呈幂函数型函数变化的变量是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数取值的大小(以1,a,b,c,d,e为分界,其中1<a<b<2,12<c<d<e<14). 14.(10分)了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等方面的内容对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究,发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18 mm2,经过3分钟覆盖面积为 27 mm2,现菌落覆盖面积y(单位:mm2)与经过时间x(x∈N,单位:分钟)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更合适描述y与x的关系,说明理由,并求出该模型的解析式; (2)在理想状态下,求开始时菌落的面积,并求约经过多久培养基中菌落面积是开始时的1000倍. (参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.5≈0.176 1) 15.(5分)[2024·江西吉水中学高一月考] 如图①②是y=3x与y=5x在不同范围内的图象,估算出使3x>5x成立的x的取值范围是　　　　　　　　　.(参考数据:30.27≈1.35,32.17≈10.85)  16.(15分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,现需要制订一个课余锻炼考核评分制度,即建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟,0≤x≤90)的函数关系,要求如下:(i)函数的大致图象如图所示;(ii)每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(iii)每天运动时间为30分钟时,当天得分为3分;(iv)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0). (1)请根据要求从所给函数模型中选择一个合适的函数模型,简要说明理由; (2)根据你在(1)中的选择,求出函数的解析式; (3)已知学校要求每天的得分不少于4.5分,求每天至少运动多少分钟(结果保留整数). §4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 *§5　信息技术支持的函数研究 1.B　[解析] 根据表格中的数据知,四个变量y1,y2,y3,y4随着x增大都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,符合指数型函数的增长特点.故选B. 2.D　[解析] 对于选项A,当x=2时,y=log23≠2,不符合题意;对于选项B,当x=2时,y=22-1=3≠2,不符合题意;对于选项C,当x=2时,y=2×2-1=3≠2,不符合题意;对于选项D,x,y的每一对数都满足关系式,符合题意.故选D. 3.B　[解析] 根据f(x),g(x),h(x)的图象和增长速度可知,当x∈(4,+∞)时,g(x)>f(x)>h(x).故选B. 4.A　[解析] 结合y=2x,y=及y=lg x的图象,易知当x∈(0,1)时,2x>>lg x. 5.B　[解析] 将题图中的散点所在的折线近似看成一条曲线,由题意可知,随着t的变大,该曲线越来越平缓,∴只有B中函数符合条件,故选B. 6.C　[解析] 由所给数据可知,当x增大时,y的增长速度越来越快,显然模型y=不符合这一增长规律,模型y=符合这一增长规律,因此选用模型y=.当>300时,2x>900,则x>log2900==≈9.814,又x∈N*,所以x的最小值为10.故选C. 7.D　[解析] 对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵当x足够大时,随着x的逐渐增大,f1(x)=2x-1的增长速度大于f2(x)=x3的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙,∴该结论不正确;对于C,根据四个函数的增长特点,结合四个函数的图象可知,当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,∴该结论不正确;对于D,易知当x>1时,f2(x)>f1(x)>f3(x)>f4(x)或f1(x)≥f2(x)>f3(x)>f4(x),则当x>1时,丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.故选D. 8.BD　[解析] 对于选项A,幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较,故A错误;对于选项B,因为a>1,所以结合指数函数及对数函数图象,易知对任意的x>0,ax>logax恒成立,故B正确;对于选项C,取a=,则当x=时,xa==,logax=lo=1,此时xa<logax,故C错误;对于选项D,当a>1时,结合图象易知,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax,但若去掉限制条件“a>1”,则结论不成立,故D正确.故选BD. 9.BCD　[解析] y1随x的增大而增大,增加量依次是125,375,625,875,1125,1375,故增加得越来越快,不呈对数增长,故A错误;y3随x的增大而增大,增加量依次是25,25,25,…,增加速度固定,故y3呈一次函数变化,即y3关于x呈直线上升,故C正确;y2随x的增大而增大,增加量依次是85,1530,27 540,495 720,…,故增加得越来越快,呈指数爆炸,增长速度最快,故B,D正确.故选BCD. 10.>　>　[解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长变化趋势,可得当x足够大时,一定有ax>xn>logax. 11.y=x2　[解析] 当x在(0,+∞)上逐渐增大时,y=x的增长速度大于y=ln x的增长速度,所以y=x2比y=xln x增长得快. 12.y3　y2　y1　[解析] 由表中数据可知,y1随x的增加而增加,但随x越来越大,y1的增加速度小于y2的增加速度,所以y1呈幂函数型函数变化;y2随x的增加呈爆炸式增加,所以y2呈指数型函数变化;y3随x的增加而增加,增加速度越来越慢,所以y3呈对数型函数变化. 13.解:由指数增长、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1. 由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当x=1时,f(x)>h(x)=g(x);当1<x<a时,f(x)>g(x)>h(x);当x=a时,f(x)=g(x)>h(x); 当a<x<b时,g(x)>f(x)>h(x); 当x=b时,g(x)>f(x)=h(x); 当b<x<c时,g(x)>h(x)>f(x); 当x=c时,g(x)=h(x)>f(x); 当c<x<d时,h(x)>g(x)>f(x); 当x=d时,h(x)>g(x)=f(x);当d<x<e时,h(x)>f(x)>g(x);当x=e时,h(x)=f(x)>g(x); 当x>e时,f(x)>h(x)>g(x). 14.解:(1)y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,依题意应选函数y=kax(k>0,a>1), 则解得∴y=8·(x∈N). (2)当x=0时,y=8.设经过n分钟,该培养基中菌落面积是开始时的1000倍,则8×=8×1000, ∴n=lo1000==≈17.04≈17. ∴开始时菌落的面积为8 mm2,约经过17分钟,培养基中菌落面积是开始时的1000倍. 15.(-∞,0.27)∪(2.17,+∞)　[解析] 因为当x=0.27时,30.27≈1.35=5×0.27,当x=2.17时,32.17≈10.85=5×2.17,所以结合题中所给图象可知,当x<0.27时,3x>5x,当0.27<x<2.17时,3x<5x,当x>2.17时,3x>5x,所以使3x>5x成立的x的取值范围是(-∞,0.27)∪(2.17,+∞). 16.解:(1)从题图可知,应选择增长速度越来越慢的函数模型,故选y=klog2+n(k>0). (2)将(0,0),(30,3)代入y=klog2+n,得解得则y=3log2-3. 当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6, 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为y=3log2-3,0≤x≤90. (3)由y=3log2-3≥4.5,得log2≥2.5=log2,则+2≥=4≈5.657,得x≥54.855≈55,所以每天至少运动55分钟. 学科网（北京）股份有限公司 $$