专题04 代数式（考题猜想，压轴必刷36题8种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题04 代数式（压轴必刷36题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式求值压轴题 题型二 数字类规律压轴 题型三 图形类规律压轴 题型四 同类项相关压轴 题型五 整式的加减运算压轴 题型六 整式的加减应用压轴 题型七 整式加减的化简求值压轴 题型八 无关型整式加减问题压轴 一．代数式求值压轴题 1．若代数式，则的最小值是 ． 2．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 二．数字类规律压轴 1．根据图中数字的规律，则x+y的值是（　 　）．    A．729 B．550 C．593 D．738 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 3．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为 ． 4．若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 5．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 三．图形类规律压轴 1．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 2．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）    A．104 B．109 C．123 D．129 3．有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 4．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 5．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 四．同类项相关压轴 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 2．阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 五．整式的加减运算压轴 1．小文在做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（      ） A． B． C． D． 2．对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 3．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值． (3)若，，则值为 ． 4．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 5．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 六．整式的加减应用压轴 1．三张大小不一的正方形纸片按如图 1 和图 2 方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图 1 阴影部分周长之和为 m，图 2 阴影部分周长为 n，要求 m 与 n 的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是（  ） A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形 2．将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形内，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当时，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是(    ) A． B． C． D． 3．如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形的边长为 ．（用含S的式子表示） 4．水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 (1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； (2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； (3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 5．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形． (1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示） (2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长． 七．整式加减的化简求值压轴 1．已知，，，，．则下列说法正确的个数是（    ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数和正整数，使得； ④如果多项式中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．当时，代数式的值为-2019，求当时，代数式的值是(    ) A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 3．若，则（    ） A．10 B．2019 C．2020 D．2021 4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 5．图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 八．无关型整式加减问题压轴 1．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，m（m＞1），现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为S1，S2．设面积为S1的长方形一条边为x．若无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变，此时S1﹣S2的值为（　　） A． B．2 C． D．3 3．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    4．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 5．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．    (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；在图2中刻度尺上，　　；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　　；刻度尺上的对应数轴上的 　　个长度单位； (2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； (3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值． 7．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a … 2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 … 2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝　 　；b＝　 　； 【归纳规律】 （2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是：　 　； （3）观察表格，下列说法正确的有 　 　（填序号）； ①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1 ②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1 ③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2 ④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2 【应用迁移】 （4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 代数式（压轴必刷36题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式求值压轴题 题型二 数字类规律压轴 题型三 图形类规律压轴 题型四 同类项相关压轴 题型五 整式的加减运算压轴 题型六 整式的加减应用压轴 题型七 整式加减的化简求值压轴 题型八 无关型整式加减问题压轴 一．代数式求值压轴题 1．若代数式，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及求代数式的最值．相当于就是x轴上的一点到这个点和3这个点距离之和，x在和3之间距离是最短的，就是4，可以得到,同理，求出x，y的取值范围，代入求值是解题的关键． 【详解】∵，， ∴满足上述情况下，10只能分为，则必有： 当时，，当时，， ∴代数式的最小值为, 故答案为． 2．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】解：（1）因为x2-3x=2， 所以1+3x-x2=1-（x2-3x） =1-2=-1 故答案为：-1． （2）∵a-b=5，b-c=3， ∴a-b+b-c=a-c=5+3=8， ∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42； （3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8， 即2a+4b-1=8， 所以2a+4b=9， ∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10． 【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想． 二．数字类规律压轴 1．根据图中数字的规律，则x+y的值是（　 　）．    A．729 B．550 C．593 D．738 【答案】C 【分析】结合题意，根据数字规律，分别计算得x和y的值，从而得到x+y的值． 【详解】根据题意，得： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律、有理数运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数加法和乘法、代数式计算的性质，从而完成求解． 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 3．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】510 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．根据运算规律可知每个方框外上边和右边的数字相乘，十位数写在方框内斜上方白色部分个位数写在方框斜下方阴影部分，多位数相乘时则出现同一数位多个数字求和，即斜线方向数字相加，根据此规律求出图2各值即可． 【详解】解：根据题意可知，且为自然数， ， 故的斜上方为， ，且，都不大于5的自然数， 或， 当时，， 此组解不符合题意舍去， 即，，， 图2表示的是， 故答案为：510． 4．若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 【答案】(1)第2012个数为． (2) 【分析】本题主要考查了数字规律，理解并应用数字规律是解题的关键． （1）根据规则可知第行共有数字个数为，由于时，数字个数为1953个，时，数字个数为2016个，从而得出第2012个数； （2）由（1）可知2012个数在62行，则共有62个1，其余均为，然后据此求和即可． 【详解】（1）解：排列规律如下： 1行：， 2行：， 3行：， …… …行 ∴到第行共有数字个数为， 由于时，，时，． ∴第2012个数为． （2）解：设前2012个数的和为， 由（1）可得：2012个数在62行，则共有62个1，其余均为． 则． 5．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 三．图形类规律压轴 1．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 2．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）    A．104 B．109 C．123 D．129 【答案】A 【分析】根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于4加上图形位置序数的5的倍数，据此规律求解即可． 本题主要考查了图形的数字规律．根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键． 【详解】由图可知： 第1个图案用木棍，（根）， 第2个图案用木棍，（根）， 第3个图案用木棍（根）， 第4个图案用木棍，（根）， ∴第n个图案用的木棍根数是，； 当时，． 故选：A． 3．有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 【答案】 B 【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白，白，白，白的位置． 【详解】解：第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则左边不可能有张黑卡片， ∴白卡片数字摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字摆在了标注字母的位置； ∴第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则，只能是黑，黑， 而∵为黑，矛盾， ∴第一行中为白； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，此时黑在白右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白， ∴第二行中为黑，为黑； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，与为黑矛盾， ∴第二行中为． 故答案为：B；． 4．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整见解析； (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 5．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 四．同类项相关压轴 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 2．阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）把看成一个整体，运用乘法分配律求解即可； （2）运用整体代入法求解即可； （3）将看出整体，化为，从而得解． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 五．整式的加减运算压轴 1．小文在做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减法，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．设这个整式运算中的被减数为，则，从而可求出，再计算即可得． 【详解】解：设这个整式运算中的被减数为， 由题意得：， 则 ， 所以正确的结果是 ， 故选：D． 2．对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可求解；（2），凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围． 【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为， 故答案为：； （2）（为常数）， ， ， 当，时，， 当，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 3．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知，求的值． (3)若，，则值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了合并同类项，求整式的值； （1）用“整体思想”把看作整体，进行合并即可求解； （2）将整式化为，代值计算，即可求解； （3）将整式化为，代值计算，即可求解； 能根据已知条件将所求整式变形，用整体思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案：； （2）解：原式， 当时， 原式 ； （3）解：原式 当，时， 原式 ． 4．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）由可得， 则． 故答案为：1； （2）由可得， 则； （3）由、可得、， 则． 5．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1)15 (2)36 (3) 【分析】本题考查了求代数式的值．掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力． （1）由，据此即可求解； （2）由，据此即可求解； （3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴原式； （2）解： ∵ ∴原式； （3）解：当时， ∴ 当时， ； 六．整式的加减应用压轴 1．三张大小不一的正方形纸片按如图 1 和图 2 方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图 1 阴影部分周长之和为 m，图 2 阴影部分周长为 n，要求 m 与 n 的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是（  ） A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设正方形①的边长为 a、正方形②的边长为 b、正方形③的边长为 c，分别表示出 m、n 的值，就可计算出的值为，从而可得只需知道正方形③的周长即可． 【详解】解：设正方形①的边长为 a、正方形②的边长为 b、正方形③的边长为 c， 由题意得， ， ， ∴， ∴只需要知道图③正方形的周长即可得到m 与 n 的差， 故选：D． 2．将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形内，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当时，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，根据图中阴影部分的长度与正方形边长的数量关系，表示出的代数式，再根据整式的运算法则求出答案即可． 【详解】解：设，则， ， 故选：A． 3．如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形的边长为 ．（用含S的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，将阴影部分适当划分，找到对应图形的长和宽即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设正方形的边长为，， 则， 则 ∴ 故答案为： 4．水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 (1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； (2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； (3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 【答案】(1)， (2)9，19，25 (3)当时，共需要付费元；当时，共需要付费元； 【分析】本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；总费用单价数量； （1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收费； （3）由两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克可知，的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答， 当时，分别算第一次和第二次的总费用； 当时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加； 分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费， 元； 第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克）， 元 故答案为：，； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克， 故小强购买梨千克； 故答案为：9，19，25； （3）两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克， 第二次购买千克， 当，时，需要付费为： 元， 当，时，需要付费为： 元， 故当时，小强两次购买梨共需要付费元； 当时，小强两次购买梨共需要付费元； 5．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形． (1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示） (2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)，； (2)6； (3)88． 【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长； （2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即：，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和，即：，又知长方形的周长，即可求出x的值，从而得出3号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y， 1号正方形的边长为， 2号正方形的边长为， （2）解：长方形的长为：，宽为：， 长方形的周长为48，即， ， 号正方形的边长为x， 号正方形的边长为6； （3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知号正方形的边长为， 4号正方形的边长为y， 5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：， ， 周长为100的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为： ， 即阴影部分的周长为88． 【点睛】本题考查了整式的加减应用，列代数式表示各线段的长从而可解决问题． 七．整式加减的化简求值压轴 1．已知，，，，．则下列说法正确的个数是（    ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数和正整数，使得； ④如果多项式中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的有关运算，整式的混合运算，多项式中不含某项，根据整式的运算法则计算即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：① ，故①选项符合题意； ② ， 当时， 原式，故②不符合题意； ③， ∴，即， 当和为时，，故③符合题意；     ④ ， ∵多项式中不含x一次项， ∴， ∴， ∴原式，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有3个， 故选：C． 2．当时，代数式的值为-2019，求当时，代数式的值是(    ) A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【分析】直接把代入中，得到多项式的值，并将这个多项式的值整体代入即可求出答案． 【详解】解：当时， 当时， 故选择：D． 【点睛】此题主要考查了整式的加减化简求值，整体代入思想是解题的关键． 3．若，则（    ） A．10 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【分析】将变形为，将变形为，然后把代入求解即可. 【详解】解：将变形为 = = =2+2019 =2021 故选D. 【点睛】本题考查了整式的化简求值，学会对已知式子进行变形是解题的关键. 4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据的含义计算即可； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则可分别表示出原两位数及两个数位交换后的新两位数，从而求得及；再由，可得这两个两位数的个位之和为，十位之和为，则可求得结果的值． 【详解】（1）对调个位与十位后得，则； 故答案为：9； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则，，两个数位交换后的新两位数分别为，， ∴，同理； ∵， ∴这两个两位数的个位之和为，十位之和为，即，； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式、求代数式的值，理解题中的概念、运用整体思想是解题的关键． 5．图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． （1 ）根据题意得出，求出，变形后代入，即可求出答案； （2 ）根据题意求出，求出，再把代入代数式，最后整体代入，即可求出答案； （3 ）根据，利用即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 所以； （2）∵当时，代数式的值为8， ∴， ∴， 当时， ； （3）∵， ∴，得， 整理得． 八．无关型整式加减问题压轴 1．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，面积分别为，的两个长方形知道其中一边，于是设这两个长方形的另一边，则其面积可以表示出来，再由面积差为定值，可求得与的关系，根据这个关系即可求得定值． 【详解】由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ∴， ∵为定值， ∴， 即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式及多项式中的无关问题，关键是设两个长方形的另一边长，并表示其面积，由面积差为定值求得与的关系． 2．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，m（m＞1），现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为S1，S2．设面积为S1的长方形一条边为x．若无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变，此时S1﹣S2的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得再计算，根据结果与无关，令的系数为0即可求得的值． 【详解】解：∵的长为，宽为，的长为3，宽为， ∴，， 则 ， ∵无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，根据题意令化简后的式子中含项的系数为0是解题的关键． 3．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 4．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 5．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，不符合题意． 综上，设点C对应数为． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． ．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．    (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；在图2中刻度尺上，　　；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　　；刻度尺上的对应数轴上的 　　个长度单位； (2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； (3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)10； 6； 0.6； (2)b的值是0，点Q所表示的数为2或10 (3)或． 【分析】（1）等于、两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得，用在刻度尺上的数值除以数轴上的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的对应数轴上的多少长度单位； （2）到在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得的值，由于，可以列式求得点所表示的数； （3）根据列出式子，的值不会随的变化而改变，所以的系数为0，可求得的值． 【详解】（1）， 刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度， 在图2中刻度尺上，， ， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的， ， 刻度尺上的对应数轴上的个单位长度， 故答案为：10，6，0.6，； （2）点对齐刻度， 数轴上点所对应的数为，， ，， 设点在数轴上对应的点为，则， ， 解得：或， 点所表示的数为4或12， 的值是0，点所表示的数为4或12； （3）由题意得，点追上点前，即， ，， ， 的值不会随的变化而改变， ， 解得：， 点追上点后，即， ，，， ， 的值不会随的变化而改变， ， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了实数与数轴的应用，关键是根据信息列式． 7．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a … 2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 … 2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝　 　；b＝　 　； 【归纳规律】 （2）表中﹣x﹣2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变的规律是：　 　； （3）观察表格，下列说法正确的有 　 　（填序号）； ①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＞﹣1 ②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1 ③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2 ④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2 【应用迁移】 （4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系． 【答案】（1）﹣4，﹣2；（2）x的值每增加1，2x+1的值就增加2；（3）②③；（4）a＝m，b＞n 【分析】（1）将x值代入对应的代数式求值即可； （2）根据2x+1的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，即，合并同类项后可得：，结合代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化的规律即可求解． 【详解】解：（1）当x＝2时，﹣x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4， 故a＝﹣4； 当x＝0时，2x﹣2＝2×0﹣2＝﹣2， 故b＝﹣2， 故答案为：﹣4，﹣2； （2）2x+1的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，2x+1的值就增加2； 故答案为：x的值每增加1，2x+1的值就增加2； （3）①当x＜﹣1时，﹣x﹣2＞-1，2x+1＜-1,所以﹣x﹣2＞2x+1，故①说法错误； ②当x＞﹣1时，﹣x﹣2＜-1，2x+1＞-1,所以﹣x﹣2＜2x+1，故②说法正确； ③当x＞1时，﹣x﹣2＜-3，2x-2＞0,所以﹣x﹣2＜2x-2，故③说法正确； ④当x＜1时，结合②③可知两个代数式值大小不能确定，故④说法错误； 故答案为：②③； （4）， ∵无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值，即 ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和代数式值的变化规律，解题关键是得出代数式值的变化规律． $$