1.2.3 充分条件，必要条件-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 练 效 果 评 价 1. 已知 p 是 r 的充分不必要条件， q 是 r 的充分条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必 要条件 . 下列命题正确的是 （ ） A. r 是 q 的充分不必要条件 B. p 是 q 的充分不必要条件 C. r 是 q 的必要不充分条件 D. r 是 s 的充分不必要条件 2. 若 a∈R ， 则 “ a （ a-1 ） >0 ” 是 “ a>1 ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “ a>4 ” 是 “ 坌x∈ ［ 1 ， 2 ）， x 2 -a≤0 ” 成立的一个 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “ b=c=0 ” 是二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠ 0 ） 经过原点的 （ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 a>0 ， b∈R ， 则 a>｜b ｜ 是 a>b 的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知 a ， b∈R ， 则 “ a+b>6 ” 是 “ a>3 且 b>3 ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. （多选题） 下列说法正确的有 （ ） A. 设 a>0 ， b∈R ， 则 “ a>b ” 是 “ a>｜b｜ ” 的必要不充分条件 B. “ c<0 ” 是 “一元二次方程 x 2 +bx+c=0 （ b ， c∈R ） 有两个不等实数根” 的充分不必 要条件 C. 设 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对边分 别为 a ， b ， c ， 则 “ A>B ” 是 “ a>b ” 的充要 条件 D. 设平面四边形 ABCD 的对角线分别 为 AC ， BD ， 则 “四边形 ABCD 为矩形” 是 “ AC=BD ” 的既不充分也不必要条件 8. “ x<0 ” 的一个必要不充分条件是 . 9. 函数 y=x 2 +mx+1 的图象关于直线 x=2 对称的充要条件是 . 10. 方程 x 2 -2x+a=0 有实数根的充要条件 是 ， 它的一个充分不必要条件可 以是 . 提 升 练 习 11. 已知条件 p ： ｜x+1｜>2 ， 条件 q ： x>a ， 且 劭p 是 劭q 的充分不必要条件， 则 a 的取值 1.2.3 充分条件、 必要条件 11 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 范围是 （ ） A. （ -∞ ， 1 ］ B. （ -∞ ， -3 ］ C. ［ -1 ， +∞ ） D. ［ 1 ， +∞ ） * 12. （多选题） 设全集为 U ， 在下列选 项中， 是 B哿A 的充要条件的有 （ ） A. A∪B=A B. A∩B=A C. （ U A ） 哿 （ U B ） D. A∪ （ U B ） =U 13. 已知集合 A={x｜x>-1} ， B={x｜a<x<b} ， 若 “ a=-3 ” 是 “ A∩B≠芰 ” 的充分条件 ， 则实数 b 的取值范围为 . 14. 已知 a ， b ， c 是 △ABC 的三条边 ， 证明： △ABC 为等边三角形的充要条件是 a 2 +b 2 +c 2 =ab+ac+bc. 15. 设 α ： m-1≤x≤2m ， β ： 2≤x≤4 ， m∈R ， α 是 β 的必要条件， 但 α 不是 β 的 充分条件， 求实数 m 的取值范围 . 12 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词 命题， ∴ “ 坌x<0 ， x 2 +ax-1≥0 ” 的否定是 “ 埚x<0 ， x 2 + ax-1<0 ” . 故选 C. 2. D 【解析 】 存在量词命题的否定 p ： 埚x∈M ， p （ x ）； 它的否定 劭p ： 坌x∈M ， 劭p （ x ）， ∴ 命题 “埚x∈ Z ， 使 x 2 +2x+m≤0 ” 的否定是 “对于任意 x∈Z ， 都有 x 2 +2x+m>0 ” . 故选 D. 3. D 【解析】 ∵P∩Q=Q 且 P≠Q ， ∴ 集合 Q 是集合 P 的真子集， ∴ 集合 Q 中的元素都是集合 P 的元素， 但是 集合 P 中有的元素集合 Q 中是没有的 ， ∴A ， B ， C 正 确， D 错误 . 故选 D. 4. D 【解析 】 全称量词命题的否定为 埚a ， b∈R ， 使方程 ax=b 的解不唯一或不存在 . 故选 D. 5. B 【解析 】 由题知方程 x 2 -2x-m=0 有实数解 ， ∴Δ= （ -2 ） 2 -4× （ -m ） ≥0 ， 解得 m≥-1. 故选 B. 6. D 【解析】 若命题 “ 坌x∈R ， ｜x｜-1+m>0 ” 是假命 题， ∴埚x∈R ， 使得 ｜x｜-1+m≤0 成立是真命题， 即 ｜x｜-1+ m≤0 对于 x∈R 有解 ， ∴m≤1-｜x ｜ ， ∴m≤ （ 1-｜x ｜ ） max . ∵ ｜x ｜≥0 ， ∴-｜x ｜≤0 ， 1-｜x ｜≤1 ， ∴ （ 1-｜x ｜ ） max =1 ， ∴m≤1 ， ∴ 实数 m 的取值范围是（ -∞ ， 1 ］ . 故选 D. 7. BD 【解析】 当 x=2 时， 2 2 -4×2+3=-1<0 ， 不满足 坌x∈ （ 1 ， 3 ）， x 2 -4x+3>0 ， ∴ 原命题为假命题， 否定为 真命题 ， 故 A 不符合题意 ； 坌a ， b∈R ， a 2 -ab+b 2 = a- b 2 2 ) 2 + 3 4 b 2 ≥0 ， ∴ 原命题为真命题， 则否定为假命 题 ， 故 B 符合题意； x 2 =3 ， 解得 x=± 3 姨 ， ∴埚x∈Q ， x 2 =3 为假命题， 则否定为真命题， 故 C 不符合题意； 当 x=0 时， x 2 <1 ， ∴埚x∈N ， x 2 <1 为真命题， 则否定为假命 题， 故 D 符合题意 . 故选 BD. 8. 坌x∈R ， x 2 +2x+5≠0 【解析】 由存在命题的否定 形式可得， “埚x∈R ， x 2 +2x+5=0 ” 的否定是 “坌x∈R ， x 2 +2x+5≠0 ” . 9. 埚x>-1 ， x 2 +2x≥1 【解析 】 命题 “坌x>-1 ， x 2 + 2x<1 ” 的否定是埚x>-1 ， x 2 +2x≥1. 10. 0 ， 3 4 )4 【解析】 由题意知， 不等式 ax 2 +4ax+3> 0 对 x∈R 恒成立， 当 a=0 时， 可得 3>0 ， 恒成立满足； 当 a≠0 时 ， 若不等式恒成立则需 a>0 ， Δ=16a 2 -12a<0 0 ， 解 得 0<a< 3 4 ， ∴a 的取值范围是 0 ， 3 4 44 . 提升练习 11. D 【解析】 全称量词 “任意” 改为存在量词 “存 在 ”， 另一方面 “至多有三个 ” 的否定是 “至少有四 个” . 故选 D. 12. AB 【解析 】 ∵ “ 坌x∈M ， ｜x ｜>x ” 为 真 命 题 ， ∴M哿 （ -∞ ， 0 ） . 又 ∵ “埚x∈M ， x>3 ” 是假命题 ， ∴ “ 坌x∈M ， x≤3 ” 为真命题， ∴M哿 （ -∞ ， 3 ］ . 综上可知， M哿 （ -∞ ， 0 ） . 故选 AB. 13. 存在三个正数 a ， b ， c ， 三个数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 全小于 2 【解析】 根据全称量词命题的否定是存在 量词命题 ， ∴ 命题 “对于任意三个正数 a ， b ， c ， 三个 数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 中至少有一个不小于 2 ” 的否定 为 “存在三个正数 a ， b ， c ， 三个数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 全小于 2 ” . 14. a>1 【解析】 ∵ “ 埚x∈R ， x 2 -2x+a≤0 ” 是假命 题， ∴坌x∈R ， x 2 -2x+a>0 恒成立 . ∴4-4a<0 ， 解得 a>1. 15. 解： （ 1 ） 坌a∈R ， a 都能写成小数形式， 此命 题是真命题 . （ 2 ） 埚x∈Q ， x 没有倒数， 有理数 0 没有倒数， 故 此命题是真命题 . （ 3 ） 坌m∈R ， 方程 x 2 +x-m=0 必有实根 . 当 m=-1 时， 方程无实根， 是假命题 . （ 4 ） 埚x∈R ， 使 x 2 +x+4≤0. ∵x 2 +x+4= x+ 1 2 2 4 2 + 15 4 >0 恒成立， ∴ 为假命题 . 1.2.3 充分条件、 必要条件 学习手册 变式训练 1 BCD 【解析 】 若 a≠0 ， b=0 ， 则 ab=0 ； 若 ab≠0 ， 则 a ， b 都不为 0 ， 则 “ a≠0 ” 是 “ ab≠0 ” 的必要不充 分条件， 故 A 为假命题 . 若二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正 根一负根， 则两根之积为负， 即 c a <0 ， 从而 ac<0 ， 故 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根一负根” 的 必要条件； 若 ac<0 ， 则 Δ=b 2 -4ac>0 ， c a <0 ， 即方程有 两根且两根之积为负， ∴ 二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根 一负根， 故 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根 一负根” 的充分条件 . 综上 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 + bx+c=0 有一正根一负根” 的充要条件， 故 B 为真命题 . ∵M={x ｜mx 2 + （ m+2 ） x+2=0} 为单元素集 ， 若 m=0 ， 则 M= {-1} 符合题意； 若 m≠0 ， 则 Δ= （ m+2 ） 2 -8m=0 ， 则 m=2 ， 则 M={-1} 符合题意 . 综上 M={x｜mx 2 + （ m+2 ） x+2=0} 为单元 素集， 则 m=0 或 2 ， 因此 “ m=2 ” 是 M={x｜mx 2 + （ m+2 ） x+ 2=0} 为单元素集” 的充分而不必要条件， 故 C 是真命 题 . ∵a>1 ， ∴ 1 a -1= 1-a a <0 ， 但是若 1 a <1 ， 则 a>1 或 a< 0 ， 则 “ a>1 ” 是 “ 1 a <1 ” 的充分不必要条件， 故 D 是真 命题 . 故选 BCD. 变式训练 2 D 【解析】 原命题可写为 “ 埚1≤x≤3 ， a≤x 2 -2x ”， 32 参 考 答 案 当 1≤x≤3 时， x 2 -2x 随 x 增大而增大， ∴x=3 ， x 2 -2x 取 最大值为 3 ， ∴a≤3. 故选 D. 变式训练 3 证明： （必要性） 若 A∩B={3 ， 7} ， A={2 ， 3 ， m 2 + 4m+2} ， B={0 ， 7 ， m 2 +4m-2 ， 2-m} ， ∴m 2 +4m+2=7 ， 且 m 2 +4m-2=3 ， 解得 m=1 或 m=-5 ； 或 m 2 +4m+2=7 ， 且 2- m=3 （无解， 舍去） . 经检验， m=-5 时， 2-m=7 ， 不满 足集合中元素的互异性， 不合题意舍去， 则 m=1 ， ∴m= 1 是 A∩B={3 ， 7} 的必要条件 . （充分性） 若 m=1 ， A={2 ， 3 ， 7} ， B={0 ， 1 ， 3 ， 7} ， ∴A∩B={3 ， 7} ， ∴m=1 是 A∩B={3 ， 7} 的充分条件 . 综上 得 A∩B={3 ， 7} 的充要条件为 m=1. 随堂练习 1. A 【解 析 】 由 a∈ （ 2 ， 3 ） 显 然 可 以 推 出 a∈ （ 2 ， 4 ）， 若 a=3.5 ， 显然满足 a∈ （ 2 ， 4 ）， 但不满足 a∈ （ 2 ， 3 ） . 即 “ a∈ （ 2 ， 3 ）” 是 “ a∈ （ ２ ， ４ ）” 的充分不必 要条件 . 故选 A. 2. D 【解析】 由 ｜a ｜>｜b ｜ ， 可得 a 2 >b 2 ， 即 a 2 -b 2 = （ a- b ）（ a+b ） >0 ， 当 a>b 时， a-b>0 ， 但 a+b 的符号不确定， ∴ 充分性不成立； 反之当 ｜a｜>｜b｜ 时， a>b 也不一定成立， ∴ 必要性不成立， ∴a>b 是 ｜a｜>｜b｜ 的既不充分也不必要条 件 . 故选 D. 3. D 【解析】 由条件 p ： -1<x<3 ， 规定集合 P={x｜-1< x<3} . 由条件 q ： x>a ， 规定集合 Q={x｜x>a} . 要使 p 是 q 的充分不必要条件， 只需 P芴Q ， ∴a≤-1 . 故选 D. 4. A 【解析 】 由维恩图知 ， A芴B ， ∴x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件 . 故选 A. 5. ACD 【解析】 ∵ “ x<k 或 x>k+3 ” 是 “ -4<x<1 ” 的 必要不充分条件， ∴k+3≤-4 或 k≥1 ， ∴k≤-7 或 k≥1. 故选 ACD. 6. （ 6 ， +∞ ） 【解析】 ∵q 是 p 的必要不充分条件， ∴ {x｜1<x<4}芴{x｜1<x<m-2} ， ∴m-2>4 ， 因此 m>6. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由题意 p圯r坩q ， r圯s圯q ， 但是 r 不能 推出 P 成立， 则 r圯s圯q圯r ， ∴r ， q ， s 是等价的， 因此 A ， C ， D 都错误， B 正确 . 故选 B. 2. B 【解析】 ∵a∈R ， 当 a 2 >a 时， 即 a>1 或 a<0 ， a> 1 不一定成立； 当 a>1 时， a 2 >a 成立， ∴ 由充分必要条 件定义可判断： “ a 2 >a ” 是 “ a>1 ” 的必要不充分条件， 故选 B. 3. A 【解析 】 由命题 坌x∈ ［ 1 ， 2 ）， x 2 -a≤0 ， 可得 坌x∈ ［ 1 ， 2 ）， 不等式 a≥x 2 恒成立 . 又由当 x∈ ［ 1 ， 2 ） 时， 可得（ x 2 ） max <4 ， ∴a≥4 ， ∴ “ a>4 ” 是 “ 坌x∈ ［ 1 ， 2 ）， x 2 -a≤0 ” 成立的一个充分不必要条件 . 故选 A. 4. A 【解析】 “ b=c=0 ” 圯y=ax 2 ， 二次函数一定经 过原点； 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）经过原点， c=0 ， b 不一定等于 0. ∴ “ b=c=0 ” 是 “二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠ 0 ）经过原点” 的充分条件 . 故选 A. 5. B 【解析 】 ∵a>｜b ｜ ， ｜b ｜≥b ， ∴a>b ； 当 0>a>b 时， a<｜b｜ ； 故 a>｜b｜ 是 a>b 的充分不必要条件 . 故选 B. 6. B 【解析】 ∵a ， b∈R ， 若 a+b>6 ， 则 a ， b 的大小 无法确定， 不能得出 a>3 且 b>3 ， 故充分性不成立 . 若 a>3 且 b>3 ， 则 a+b>6 ， 故必要性成立， ∴ “ a+b>6 ” 是 “ a>3 且 b>3 ” 的必要而不充分条件 . 故选 B. 7. ABC 【解析】 取 a=1 ， b=-2 ， 则 a>b圯a>｜b｜ ， 反 之， 若 a>｜b｜ ， ∵｜b｜≥b ， ∴a>b ， ∴ “ a>b ” 是 “ a>｜b｜ ” 的必 要不充分条件， 故 A 正确； 当 c<0 时， 方程根的判别式 Δ=b 2 -4c>0 ， 方程有两个不相等的实数根， 反之， 若方 程有两个不相等的实数根， 取 b=3 ， c=1 ， 不满足 c<0 ， ∴ “ c<0 ” 是 “一元二次方程 x 2 +bx+c=0 （ b ， c∈R ） 有两 个不等实数根” 的充分不必要条件， 故 B 正确； 在三角 形中有大角对大边， 大边对大角， ∴ “ A>B ” 圳 “ a>b ”， 故 C 正确； 四边形为矩形能推出对角线相等， 但对角线 相等未必是矩形 ， 也可能是等腰梯形 ， ∴ “四边形 ABCD 为矩形” 是 “ AC=BD ” 的充分不必要条件， 故 D 错误 . 故选 ABC. 8. x<1 （答案不唯一） 【解析】 依题意， x<0 即 {x｜x< 0} ， 要找 “ x<0 ” 的一个必要不充分条件， 就是找一个集 合使集合 {x｜x<0} 为其真子集， 则集合可取 {x｜x<1} ， 从而 必要不充分条件可取 x<1. 9. m=-4 【解析】 对称轴为 x=- m 2 ， ∴- m 2 =2 ， ∴m=-4. 10. a≤1 a=1 （答案不唯一） 【解析】 ∵ 方程 x 2 -2x+ a=0 有实数根， ∴Δ≥0 ， 即 （ -2 ） 2 -4a≥0 ， 解得 a≤1 ， 反 之 ， 当 a≤1 时 ， Δ≥0 ， 则方程 x 2 -2x+a=0 有实数根 ， ∴a≤1 是方程 x 2 -2x+a=0 有实数根的充要条件； 当 a=1 时， 方程 x 2 -2x+1=0 有实数根 x=1 ， 而当方程 x 2 -2x+a=0 有实数根时不一定是 a=1 ， ∴a=1 是方程 x 2 -2x+a=0 有实 数根的一个充分不必要条件. 提升练习 11. D 【解析】 ｜x+1｜>2圳x<-3 或 x>1 ， 劭p 是 劭q 的充 分不必要条件 ， 则 q 是 p 的充分不必要条件 ， ∴a≥1 ， 故选 D. * 12. ACD 【解析】 如图 1 所示， 选项 A 中， 若 A∪ B=A ， 则 B哿A ； 反过来， 若 B哿A ， 则 A∪B=A ， 故互 为充要条件 ； 选项 C 中 ， 若 （ U A ） 哿 （ U B ）， 则 B哿A ； 反过来， 若 B哿A ， 则 （ U A ） 哿 （ U B ）， 故互为充要条件； 选项 D 中 ， 若 A∪ （ U B ） =U ， 则 （ U A ） 哿 （ U B ） ， 故 B哿A ； 反过来 ， 若 B哿A ， 则 （ U A ） 哿 （ U B ）， A∪ （ U B ） =U ， 故互为充要条件 . 选项 B 中， 如图 2 ， 若 A∩ B=A ， 则 A哿B ， 推不出 B哿A ， 故错误 . 故选 ACD. 第 12 题答图 A B U A B U 图 1 图 2 33 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 13. （ -1 ， +∞ ） 【解析】 当 b<-3 时， B=芰 ， 不合题 意， 舍去； 当 b>a=-3 时， 为保证 A∩B=芰 ， 则 b>-1 ， ∴ 实数 b 的取值范围为（ -1 ， +∞ ） . 14. 证明： 充分性： 若 a 2 +b 2 +c 2 =ab+ac+bc ， 则 2 （ a 2 +b 2 +c 2 ） =2 （ ab+ac+bc ）， ∴a 2 -2ab+b 2 +a 2 -2ac+c 2 +b 2 -2bc+c 2 =0 ， 即（ a-b ） 2 + （ a-c ） 2 + （ b-c ） 2 =0 ， ∴ a-b=0 ， a-c=0 ， b-c=0 0 % % % $ % % % & ， ∴a=b=c ， ∴△ABC 为等边三角形 . 必要性： 若 △ABC 为等边三角形， 则 a=b=c ， ∴a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc=3a 2 -3a 2 =0 ， ∴a 2 +b 2 +c 2 =ab+ac+bc ， ∴ 结论成立 . 15. 解： 由题意可知 ， α 是 β 的必要不充分条件 ， ∴ {x｜m-1≤x≤2m}芡{x｜2≤x≤4} ， ∴ m-1≤2 ， 2m≥4 4 ， 解得 2≤m≤3. 因此， 实数 m 的取值范围是 ［ 2 ， 3 ］ . 阶段性练习卷 （一） 1. A 【解析】 M∩N={0 ， 1} ． 故选 A． 2. B 【解析】 P=M∩N={1 ， 3} ， ∴P 的子集共有 4 个 ． 故选 Ｂ． 3. D 【解析】 所有的否定是存在， 都是偶数的否定 是不都是偶数， 故选 Ｄ． 4. B 【解析 】 A={x ｜-1≤x≤1} ， B={x ｜0<x≤2} ， 则 A∩B={x｜0<x≤1} ． 故选 B. 5. A 【解析】 ∵N∩ （ I M）=芰 ， ∴N哿M ， ∴M∪N=M． 故选 Ａ． 6. A 【解析】 ∵T∪V=Z ， ∴ 整数 1 一定在 T ， V 两 个集合中的一个之中， 不妨设 1∈T ， 则对于 坌a ， b∈T 及 1∈T ， 有 a · b · 1∈T ， 即 ab∈T ， 由定义， 则 T 关于数 的乘法是封闭的， 当 T={ 非负整数 } ， V={ 负整数 } 时， 则 T 关于数的乘法是封闭的， V 关于数的乘法不是封闭 的， ∴D 不正确； 当 T={ 奇数 } ， V={ 偶数 } 时， T ， V 关于 数的乘法都是封闭的， ∴B ， C 不正确； 因此 T ， V 中至 少有一个关于乘法是封闭的是正确的 ． 故选 Ａ． 7. CD 【解析】 M∩N={1 ， 2 ， 3}∩{2 ， 3 ， 4}={2 ， 3} ， C 正确； M∪N={1 ， 2 ， 3 ， 4} ， D 正确 . 故选 CD. 8. ACD 【解析】 2 011=5×402+1∈ ［ 1 ］， ∴A 正确 ； -3=5× （ -1 ） +2埸 ［ 3 ］， ∴B 错误； Z= ［ 0 ］ ∪ ［ 1 ］ ∪ ［ 2 ］ ∪ ［ 3 ］ ∪ ［ 4 ］， C 正确； 若整数 a ， b 属于同一 “类”， 则 a=5m+ k ， b=5n+k ， k=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 则 a-b=5 （ m-n ） +0∈ ［ 0 ］， ∴D 正确 ． 故选 ACD． 9. { x ｜1<x<2} 【解析 】 如 图， A∩B={x｜1<x<2} ． 10. {a 1 ， a 2 } 或 {a 1 ， a 2 ， a 4 } 【解析】 集合 M 中必含 有 a 1 ， a 2 ， 则 M={a 1 ， a 2 } 或 M= {a 1 ， a 2 ， a 4 } . 11. a≤0 或 a≥6 【解析】 集合 A 化为 A={x｜a-1<x< a+1 ， x∈R} ， 又 ∵B={x｜1<x<5 ， x∈R} ， A∩B=芰 ， 如图， 则 a+1≤1 或 a-1≥5 ， 即 a≤0 或 a≥6． 12. 充分不必要 【解析】 ∵x≥2 且 y≥2 ， 则 x 2 ≥4 且 y 2 ≥4 ， 因而 x 2 +y 2 ≥4 ， ∴ “ x≥2 且 y≥2 ” 是 “ x 2 +y 2 ≥ 4 ” 的充分条件， 取 x=y= 3 姨 ， 满足 x 2 +y 2 ≥4 ， 但不满 足 x≥2 且 y≥2 ， ∴ “ x≥2 且 y≥2 ” 不是 “ x 2 +y 2 ≥4 ” 的 必要条件 ． 因此 “ x≥2 且 y≥2 ” 是 “ x 2 +y 2 ≥4 ” 的充分不 必要条件 . 13. 解： （ 1 ） 由题意， k 1 =1 ， k 2 =3 ， 则 k=2 1-1 +2 3-1 = 5 ， ∴ {a 1 ， a 3 } 是 E 的第 5 个子集 . （ 2 ） ∵211=2 7 +2 6 +2 4 +2+1 ， ∴k 1 =1 ， k 2 =2 ， k 3 =5 ， k 4 =7 ， k 5 =8 ， ∴E 的第 211 个子集是 {a 1 ， a 2 ， a 5 ， a 7 ， a 8 } ． 14. （ 1 ） 解： A-B= （ ｜0-1｜ ， ｜1-1｜ ， ｜0-1｜ ， ｜0-0｜ ， ｜1- 0｜ ） = （ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ）， d （ A ， B ） =｜0-1｜+｜1-1｜+｜0-1｜+｜0-0｜+｜1-0｜=3. （ 2 ） 证明： 设 A= （ a 1 ， a 2 ， …， a n ）， B= （ b 1 ， b 2 ， …， b n ）， C= （ c 1 ， c 2 ， …， c n ） ∈S n ． ∵a i ， b i ∈{0 ， 1} ， 则 ｜a i -b i ｜∈{-1 ， 0 ， 1} ， i=1 ， 2 ， …， n ， 即 A-B= （ ｜a 1 -b 1 ｜ ， ｜a 2 -b 2 ｜ ， …， ｜a n -b n ｜ ） ∈S n ． 又当 c i =0 时， d （ A-C ， B-C ） = n i = 1 移 ｜｜a i -c i ｜-｜b i -c i ｜｜= n i = 1 移 ｜a i - b i ｜=d （ A ， B ）， 当 c i =1 时， d （ A-C ， B-C ） = n i = 1 移 ｜｜a i -c i ｜-｜b i -c i ｜｜ = n i = 1 移 ｜ （ 1-a i ） - （ 1-b i ） ｜= n i = 1 移 ｜a i -b i ｜=d （ A ， B ）， ∴d （ A-C ， B-C ） =d （ A ， B ） ． 第 11 题答图 a-1 a+11 5a-1 a+1 第 9 题答图 A B -1 1 2 34