制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒（课件PPT）-【优+学案】新教材2024-2025学年六年级上册数学课时通(鲁教版 五四制 2024)

年级上册·鲁教版 数 学 综合与实践 制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒 制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒 1. 在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无 盖的长方体纸盒.三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影 部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒. 1 2 3 4 5 将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是 （　C　） A. 甲＞乙＞丙 B. 甲＞丙＞乙 C. 丙＞甲＞乙 D. 丙＞乙＞甲 C 甲：如图①所示，四边形ABCD是正方形； 乙：如图②所示，四边形ABCD是正方形； 丙：如图③所示，四边形ABCD是长方形，AB＝2AD. 1 2 3 4 5 2. （2024·烟台栖霞期中）有两张长为9 cm，宽为5 cm的长方形硬纸板A，B， 如果在A的四个角上各截去一个边长为0.5 cm的正方形，如图①所示；在B的四 个角上各截去一个边长为1 cm的正方形，如图②所示，然后把它们分别折叠成一 个无盖的长方体小盒，请问哪个硬纸板折叠成的小盒容积较大？为什么？ 1 2 3 4 5 解：硬纸板B折叠成的小盒容积较大.理由如下： 硬纸板A折叠成的小盒容积为： [（9－0.5×2）×（5－0.5×2）]×0.5＝16（cm3）； 硬纸板B折叠成的小盒容积为： [（9－1×2）×（5－1×2）]×1＝21（cm3）. 因为16＜21，所以硬纸板B折叠成的小盒容积较大. 1 2 3 4 5 3. 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动. （1）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出了两种不同的长方 体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）. ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小 边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来，求长方体纸盒的底面周长. ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小 边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来.如 果a＝30 cm，b＝5 cm.求该长方体纸盒的体积. 1 2 3 4 5 解：（1）①所折成的长方体纸盒的底面是边长为（a－2b） cm的正方形，因此 长方体纸盒的底面周长为4×（a－2b）＝（4a－8b） cm. ②由题意可知，所作出的长方体的长为a－2b＝20 （cm）， 宽为 ＝10 （cm），高为5 cm， 所以体积为20×10×5＝1 000（cm3）. 1 2 3 4 5 （2）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的 长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面 展开图的最大外围周长为 58；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最 小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 解：（2）要使长方体表面展开图的外围 周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有 剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图 的周长最大，最大周长为58. 1 2 3 4 5 4. 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为12 cm，宽为8 cm 的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板 分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用.请根 据活动完成相应的任务. 活动一 如图①所示是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两 部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形ABCD是正方 形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒 任务1：请计算方案甲中包装盒的容积 1 2 3 4 5 解：任务一： 宽AB＝12÷4＝3（cm），因为四边形ABCD是正方形，所以高AD＝AB＝ 3cm，又因为长为：8－3＝5（cm），所以方案甲中包装盒的容积为：5×3×3＝ 45（cm3）. 1 2 3 4 5 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱 形.小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设 计，如图②得方案乙. 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3）.并判断容积是否变 大 1 2 3 4 5 解：任务二： 因为把长方形的长作为底面圆的周长，设半径为rcm，所以2πr＝12，所以 r＝2 cm，所以直径为4 cm，所以高为8－4＝4 （cm），所以圆柱形包装盒的容积为πr2×4≈3×22×4＝48（cm3）.　 因为48＞45，所以容积变大. 1 2 3 4 5 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了. 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积 还大于50 cm3. 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积.（π取3） 1 2 3 4 5 解：任务三： 当半径为3 cm时，如图所示. 所以直径为6 cm，所以高为8－6＝2（cm），所以容积为3×32×2＝54（cm3）. 1 2 3 4 5 5. 用一张正方形的纸片制成一个如图所示的无盖长方体纸盒. 【问题分析】 （1）请你画出无盖长方体展开后的形状. 解：（1）将无盖的长方体纸盒的5个面展开如图所示. 1 2 3 4 5 （2）正方形纸片剪去的部分是什么形状？ 解：（2）由展开图可知，正方形纸片剪去的部分是正方形. 1 2 3 4 5 （3）如果原正方形纸片的边长为20 cm，剪去的图形的边长为x cm，请你用含x 的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积. 解：（3）由原正方形纸片的边长为20 cm，剪去的图形的边长为x cm，得纸盒的 长为（20－2x） cm，宽为（20－2x） cm，高为x cm，所以容积为x（20－ 2x）（20－2x）＝x（20－2x）2. 1 2 3 4 5 【实践探索】 （4）如果剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm，7 cm，8 cm，9 cm，10 cm时，折成的无盖长方体的容 积分别是多少？请你将计算的结果填入下表. 解：（4）把x＝1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm，7 cm，8 cm，9 cm， 10 cm代入x（20－2x）2进行计算可得，容积分别为：324 cm3，512 cm3， 588 cm3，576 cm3，500 cm3，384 cm3，252 cm3，128 cm3，36 cm3，0 cm3， 如下表所示： 剪去图形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/cm3 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 1 2 3 4 5 （5）请你制作适当的统计图，反映无盖长方体容积的变化情况. 解：（5）用折线统计图表示剪去小正方形的边长x，与纸盒容积的变化关 系如下： 1 2 3 4 5 【实践分析】 （6）根据你绘制的统计图，分析猜想当剪去图形的边长取什么值时，所得的无 盖长方体的容积最大？此时无盖长方体的容积是多少？ 解：（6）由统计图以及表格中的数据可得，当剪去图形的边长3 cm时，所得的 无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是588 cm3. 【实践反思】 （7）对这个探究过程你还有什么疑惑？ 解：（7）通过统计图和统计表中的数据变化，当x＝3 cm时，容积为588 cm3， 此时是否为最大值，还需要进一步探究. 1 2 3 4 5 $$