专题17 圆与圆的位置方程（七大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题17 圆与圆的位置方程（七大题型，35题） 目录 题型一：判断圆与圆的位置关系 1 题型二：由圆的位置关系确定参数或范围 2 题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 3 题型四：相交圆的公共弦方程 4 题型五：两圆的公共弦长 4 题型六：圆的公切线条数 5 题型七：圆的公切线方程 6 一、题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 5．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 二、题型二：由圆的位置关系确定参数或范围 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 7．（多选）（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 8．（24-25高二上·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 9．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 10．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 . 三、题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·江苏·期末）若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: . 13．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 14．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 15．（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 四、题型四：相交圆的公共弦方程 16．（多选）（24-25高二上·天津·阶段练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 17．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ． 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 19．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 20．（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 五、题型五：两圆的公共弦长 21．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 22．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 23．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 24．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 25．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 六、题型六：圆的公切线条数 26．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 27．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 28．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 29．（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 七、题型七：圆的公切线方程 31．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 33．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）． 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 35．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 圆与圆的位置方程（七大题型，35题） 目录 题型一：判断圆与圆的位置关系 1 题型二：由圆的位置关系确定参数或范围 8 题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 14 题型四：相交圆的公共弦方程 19 题型五：两圆的公共弦长 25 题型六：圆的公切线条数 31 题型七：圆的公切线方程 34 一、题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围. 【详解】因为点为直线与直线的交点， 所以由可得，且过定点，过定点， 所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为， 半径. 而圆的圆心为，半径为， 所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离， 所以的最大值为：， 因为不在圆上，故， 所以的取值范围是. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解. 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点关于直线的对称可知的最小值，再根据圆上的点到直线距离的最值可得的最小值. 【详解】圆，则圆心，， 圆，则圆心，， 因为，则两圆心在直线的同侧． 又圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 则两圆在直线的同侧且与直线相离，如图所示， 圆心关于直线的对称点为， 则，解得，，所以， 所以，当且仅当、、三点共线时等号成立； 即的最小值为. 故选：C． 3．（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆的位置关系，即可判断C，设此时满足，则从而求出最小值，即可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A错误； 设，以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即， 由，解得，因此直线过定点，故B正确； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是转化思想的应用，C选项转化为判断两圆的位置关系，D选项主要是利用阿圆的思想确定，使得. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出图形，得出，进一步由三角形三边关系得出的最值，由此即可顺利得解. （2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 5．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1)圆与圆外切，理由见解析 (2)①最大值为；②平行，理由见解析 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程，从而求出圆心距，即可判断两圆的位置关系； （2）①方法一：令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； 方法二：分类讨论直线与中有一条直线的斜率不存在和直线与斜率都存在，且互为倒数，两种情况下的值，最后综合讨论结果得到答案. ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． （2）方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，    所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ，    由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 二、题型二：由圆的位置关系确定参数或范围 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，    则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果. 7．（多选）（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】直线， 所以，所以，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 圆，圆心为到直线的距离为， 所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确； 由：可得，圆心，， 由：可得， 圆心，，由题意可得两圆相外切，所以， 即，解得：，故C正确； 设，所以，     因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为 . 整理可得：，与已知圆C：，相减可得. 消去可得：，即， 由解得，所以直线经过定点，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】设以为直径的圆的圆心为A，求出圆心坐标与半径得到圆的方程，由题意可转化为两圆外离，据此列出不等式即可求解. 【详解】设以为直径的圆的圆心为A， 由题意可知， 所以的中点，半径为， 又圆得圆心为，半径， 由恒为锐角可知两圆外离，如图， 所以，即， 解得. 故答案为： 9．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意结合数量积的运算分析可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，即圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，其中为坐标原点， 可得，则， 可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知圆与圆相离，由弧所对的圆心角为，分析两圆的外公切线与内公切线及圆心的变化位置，通过构造法求出，分析计算可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图，构造等腰三角形，其中顶角，则， 过作的角平分线交于，则. 故与相似，不妨设，， 则，， 则，即，由，解得， 则，则. 由题意，弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切， 则圆与圆有4条公切线，即两圆相离，且与圆相切的切点均在弧上. 如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，由对称性可知两切线交直线于同一点，设为， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心在线段上，且不包括端点，即. 过点，分别向作垂线，垂足为， 则即为圆的半径，由两圆相离可知，. 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 而. 故 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径和，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径和，即. 三、题型三：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 12．（23-24高三上·江苏·期末）若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: . 【答案】（或） 【分析】分两圆是内切和外切两种情况，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】设圆C的半径为，圆心C到直线的距离为， 由题知两圆心连线过点， 圆，即，圆心为，半径为1， 故圆C的圆心C在x轴上. 若两圆内切，则， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为； 若两圆外切，则， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为； 故答案为：（或）.    13．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 14．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据两圆外切求出圆的半径可得答案； （2）判断出点在圆内，由圆的几何性质可知，当时弦最小，利用求出，再由求出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆的圆心坐标为,半径， 圆的半径， 圆的方程为； （2）由已知得直线过定点， ， 在圆内， 由圆的几何性质可知，当时，弦最小， 此时， 又，， 当最小时，， ， 直线的方程为，即. 15．（23-24高二上·四川凉山·期末）如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，得到圆的圆心坐标为，设圆的圆心坐标为，结合,列出方程，求得解得，进而得到圆的方程； （2）根据题意，得到点到直线的距离为，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：由，化为标准方程得 所以圆的圆心坐标为， 又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为， 设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得， 则有 解得，所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为.    （2）解：因为圆弧恰为圆周长的， 根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴， 此时直线的方程为. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 可得，即，解得， 所以直线的方程，即， 故所求直线的方程为或.    四、题型四：相交圆的公共弦方程 16．（多选）（24-25高二上·天津·阶段练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，圆半径， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 17．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由切线性质得，由此得到，故最小时，，从而求出直线的方程，进而求得和，再求出以为圆心，为半径的圆，即可求出结果. 【详解】由，得到，圆心为，半径为， 由题易知，所以四边形的面积， 又， 所以当最小时，即最小，此时， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即， 所以，得到， 则以为圆心，为半径的圆的方程为， 又是圆与圆的公共弦， 两圆方程相减得到，所以直线的方程为， 故答案为：. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 19．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 20．（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 五、题型五：两圆的公共弦长 21．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 22．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 23．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． (1)求边所在直线方程； (2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程； （2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程. 【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即， 联立直线和直线的方程可得，解得，即点， 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得， 即点，则，即； （2）因为， ， ， 则， 故圆的半径为， 所以，圆的方程为， 由与圆相切，故, 又，故取最小值，四边形面积最小， 则当为点到直线的距离时， 即时，四边形面积最小， 设，有， 解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆， 切该圆以为直径，圆心为，即，半径为， 即该圆方程为，即， 又圆的方程为，即， 两圆方程作差得， 即直线为. 24．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径或联立直线方程、圆的方程结合判别式均可以求出斜率的范围. （2）求出弦长和圆心到直线的距离后可求三角形的面积，或者求出两个交点的坐标后可求三角形的面积. 【详解】（1）法一：由已知可得圆，直线即， ∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得，故直线的斜率的取值范围为. 法二：设直线的方程, 联立方程得, 故，解得. 故直线的斜率的取值范围. （2） 以为直径的圆，且半径， 圆的方程为， 由圆和圆：可得： 的方程为：， 整理得直线的方程为. 法一：因为圆心到直线的距离即, ，， 所以的面积. 法二：联立方程，得， 解得或， 所以的面积. 25．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解. （2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 六、题型六：圆的公切线条数 26．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 27．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 28．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 【答案】B 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，1为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】依题意，与点的距离为1的直线始终与以点为圆心，1为半径的圆相切， 而此直线与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又圆的圆心，半径为2，显然， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3. 故选：B 29．（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 30．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 七、题型七：圆的公切线方程 31．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 32．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 【答案】（或，填一条即可） 【分析】先判断出圆与圆相交，作出图象，结合图象可得一条公切线方程为，另一条公切线与直线关于直线对称，用点斜式设出另一条直线，则有，求解即可. 【详解】解：由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为. 因为，所以5，圆与圆相交， 则圆与圆的公切线有两条， 如图所示： 根据图象可以直接观察出一条公切线方程为， 直线的方程为， 根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称. 易知直线与直线的交点为， 设另一条公切线的方程为， 即，原点到其距离为， 所以，则另一条公切线的方程为. 故答案为：（或，填一条即可） 33．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）． 【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一） 【分析】由已知直线与平行或直线过的中点，设出直线方程，根据结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或. 由于弦到圆心的距离，故或. 这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或. 分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和. 则直线需要满足：与或相切，与或相切. 首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在. ①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，. 综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，. 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，.（答案不唯一） 【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法. 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 35．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 【答案】或 【详解】圆的圆心为，设关于直线对称点为， 则解得， 圆的方程为，圆心为，半径， 若公切线的斜率不存在，圆心到直线的距离，符合题意； 若公切线的斜率存在，设直线与圆系中的所有圆都相切，则， 即， 直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立， 所以有，解得， 所以所表示的一系列圆的公切线方程为. 综上可得所表示的一系列圆的公切线方程为或. 故答案为：或 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$