专题16 直线与圆的位置关系（十一大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题16 直线与圆的位置关系（十一大题型，60题） 目录 题型一：判断直线与圆的位置关系 1 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 2 题型三：求直线与圆交点的坐标 3 题型四：韦达定理及应用 4 题型五：过圆上一点的圆的切线方程 5 题型七：切线长 6 题型六：过圆外一点的圆的切线方程（29为多选） 7 题型八：圆的弦长与中点弦 8 题型九：已知圆的弦长求方程或参数 9 题型十：直线与圆中的定点定值问题 10 题型十一：直线与圆的位置关系求距离的最值 11 一、题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线l：，以下结论正确的是（ ） A．若l在两条坐标轴上的截距相等，则 B．若l与两条坐标轴围成的三角形面积为4，则的取值有且仅有三个 C．存在使得l与y轴平行 D．l与圆不可能相离 4．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 二、题型二：由直线与圆的位置关系求参数 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 11．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. (1)求点B的坐标； (2)O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 12．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆经过原点且与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)若点在圆上运动，不等式恒成立，求实数的取值范围． 三、题型三：求直线与圆交点的坐标 13．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 14．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（多选）（23-24高二上·浙江台州·期末）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，有2个元素 C．若有2个元素，则 D．当时，有4个元素 16．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）直线：与圆：交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为 . 17．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 四、题型四：韦达定理及应用 18．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 19．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 20．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标为，探究：无论的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21．（22-23高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 22．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 五、题型五：过圆上一点的圆的切线方程 23．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（    ） A．圆方程为： B．过点作圆的切线，则切线长是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．直线与圆相交于两点，则的最小值是 24．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 25．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知点和圆．    (1)求以为直径的圆N的标准方程； (2)设圆M与圆N相交于A，B两点，试判断直线是否为圆M的切线．若是，请求出直线和的方程；若不是，请说明理由． 26．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 六、题型七：切线长 28．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 30．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 32．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 七、题型六：过圆外一点的圆的切线方程（29为多选） 33．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 36．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 37．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 38．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 八、题型八：圆的弦长与中点弦 39．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和直线，点在上（点在点的上方），且满足，若圆上存在点使得，则点横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（多选）（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 43．（2024高二上·江苏·专题练习）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ． 44．（2023·陕西榆林·模拟预测）灯塔是海岸、港口或河道用来指引船只方向的建筑物，常用来标志危险的海岸、险要的沙洲或暗礁以及通往港嘴的航道.如图，灯塔P到航道的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中海里，且∥.若要两座灯塔在航道上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为 海里. 45．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 九、题型九：已知圆的弦长求方程或参数 46．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 47．（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程. 48．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 49．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 50．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆过三点. (1)求圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程. 十、题型十：直线与圆中的定点定值问题 51．（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 52．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 54．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 55．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 十一、题型十一：直线与圆的位置关系求距离的最值 56．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 57．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 58．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 60．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 直线与圆的位置关系（十一大题型，60题） 目录 题型一：判断直线与圆的位置关系 1 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 5 题型三：求直线与圆交点的坐标 11 题型四：韦达定理及应用 17 题型五：过圆上一点的圆的切线方程 22 题型七：切线长 28 题型六：过圆外一点的圆的切线方程（29为多选） 32 题型八：圆的弦长与中点弦 37 题型九：已知圆的弦长求方程或参数 44 题型十：直线与圆中的定点定值问题 49 题型十一：直线与圆的位置关系求距离的最值 58 一、题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】对中的正负讨论，可得其表示的图象为正方形，又由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，数形结合可得解. 【详解】由，当时，上式变为， 当时，上式变为， 当时，上式变为， 当时，上式变为， 其对应图象如图所示正方形，集合表示以坐标原点为圆心，为半径的圆， 由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间， 则，解得. 故选：B. 2．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由题意可知圆心也在直线上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解. 【详解】由题意圆心也在过点且与直线垂直的直线上，而该直线方程为，即， 联立，解得，即圆心坐标为，半径为点与圆心的距离， 故所求圆的方程为. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线l：，以下结论正确的是（ ） A．若l在两条坐标轴上的截距相等，则 B．若l与两条坐标轴围成的三角形面积为4，则的取值有且仅有三个 C．存在使得l与y轴平行 D．l与圆不可能相离 【答案】BD 【分析】对于A,根据直线过原点即可判定；对于B，根据条件建立方程，解出即可；对于C,根据直线的斜率存在可直接判定；对于D,根据直线过的定点可判定. 【详解】对于A，当直线过原点时，，，故A错误； 对于B，此时直线不过原点，令，得， 令，得， 设三角形面积为,则, 解得或，故B正确； 对于C，因为直线方程可化为，直线一定有斜率， 故不存在直线与y轴平行，故C错误； 对于D，直线方程变形为， 故过定点，而点在圆上， 故直线与圆不可能相离，故D正确， 故选：BD. 4．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】圆，即， 则其圆心为，半径为， 选项A：点到直线的距离，故直线与圆相交，故A错误； 选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确； 选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确； 选项D：点到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确； 故选：BD. 5．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】分析可知，直线与曲线有公共点，求出当直线与圆相切，且切点在第二象限时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 则直线与曲线有公共点， 由可得， 所以，曲线表示圆的上半圆，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，且， 解得， 当直线过点时，，可得， 由图可知，当时，直线与曲线有公共点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 二、题型二：由直线与圆的位置关系求参数 6．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得解． 【详解】解：因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点， 所以，， 如图所示，当直线过时， 将代入中， 故， 解得， 由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为， 则，即， 解得，且劣弧对应的圆的半径为2， 故劣弧对应的圆方程为， 当直线与劣弧相切时，由， 解得舍）， 结合图形可知，当时，直线与两段弧有4个交点，可排除B、D， 由，可排除A， 由，故的取值可能是． 故选：C． 8．（多选）（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出的最小值，再利用点到直线的距离求解即可得. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 则， 由四边形的最小面积是2，即， 即，解得. 故选：CD. 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【答案】 【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆，整理得，则其圆心为， 由题意得：直线过圆心， 所以，又，， 所以．（当且仅当，时，取“＝”）． 此时直线方程为，即. 故答案为：；. 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 11．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. (1)求点B的坐标； (2)O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】（1）设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点B的坐标 （2）设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 12．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆经过原点且与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)若点在圆上运动，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设圆的方程为，根据圆经过原点且与直线相切于点，得到关于的方程组，再解方程组可得答案； （2）法一、设，利用圆心到直线的距离解得的范围，再由可得答案；法二、设可得，利用，求出的最大值可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 可得，解得， 所以圆的方程为； （2）法一、在圆上运动，设， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，即，解得：， 欲使恒成立，则，所以的取值范围是； 法二、由题意，设， 则， 其中， 欲使恒成立，则， 所以当时，， 所以的取值范围是. 三、题型三：求直线与圆交点的坐标 13．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 14．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数. 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 15．（多选）（23-24高二上·浙江台州·期末）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，有2个元素 C．若有2个元素，则 D．当时，有4个元素 【答案】ABD 【分析】A选项，画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，得到A正确；B选项，得到此时为，由圆心到的距离小于半径得到有两个交点，求出答案；C选项，举出反例；D选项，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案. 【详解】A选项，时， 表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由得或， 故， 表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由，解得或， 同理可得， 故表示的部分如图所示，    表示轴，故，A正确； B选项，当时，，由于圆心到轴的距离等于2，大于1， 整个圆位于轴上方， ，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，整个圆位于轴下方， 故表示的部分如图所示，    由于圆心到的距离， 故直线与圆有两个交点，有2个元素，B正确； C选项，当时，此时两圆圆心相同，半径相等， 此时表示的部分如图所示，    此时直线与有两个交点，而，C错误； D选项，当时， ，由于圆心到的距离为， ，由于圆心到的距离为 ， 画出表示的部分如图所示，    此时直线分别与两圆交于两点，共4个交点， 所以有4个元素，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解. 16．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）直线：与圆：交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为 . 【答案】 【分析】 联立方程，求出的坐标，设直线与直线的倾斜角分别为，分别求出两直线的斜率，即，再求出即可. 【详解】圆心， 联立，消得， 解得， 当时，，当时，， 不妨取， 设直线与直线的倾斜角分别为， 则， ， 所以，则， 则， 所以， 即直线与直线的倾斜角之和为. 故答案为：. 17．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直． (1)求直线的方程； (2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 （1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理； （2）由直线方程设，然后由可得． 【详解】（1）由得，即， ，∴，的方程为，即； （2）设，由，解得或， 所以点坐标为或． 四、题型四：韦达定理及应用 18．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【答案】 【分析】先确定直线过定点，再设坐标及直线l方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可. 【详解】由直线得， 令，解得， 直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 故答案为： 19．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆与轴相切，即可根据判别式求解， （2）联立直线与圆的方程，结合两点斜率公式即可化简求解. 【详解】（1）由得， 因为圆与轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 设，， 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为， 由得， ，， 又，即NA，NB的斜率互为相反数， ， 即， 整理得 所以，即，解得． 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足， 即NA，NB的斜率互为相反数． 综上所述，． 20．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标为，探究：无论的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值，且定值为11. 【分析】（1）根据几何法联立直线方程求解圆心位置，即可求解圆的方程， （2）联立直线与圆的方程，根据点点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）两点的中点为，斜率为， 垂直平分线的斜率为1，且垂直平分线的方程为：， 联立方程解得， 所以圆心为，半径为， 圆的方程为：. （2）如图，若的斜率不存在，则方程为，此时与圆的交点为，此时，    若的斜率存在，设为，则直线方程为， 联立方程消去整理得. 设，则， ， ， 即不论的斜率是否存在恒为定值. 21．（22-23高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在； 【分析】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程； （2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值. 【详解】（1）由得， 因为圆与y轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 假设存在实数a，设，， 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为， 由得， 根据韦达定理有（*）， 又，则、的斜率互为相反数， 即，得：， 于是，即， 将（*）代入可得：，化简得：，解得． 当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数． 综上所述，存在，使得． 22．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求圆的方程； （2）设出点E，F的坐标，将直线方程代入圆的方程，进而利用根与系数的关系建立等式，再结合求出参数m，最后得到答案. 【详解】（1）设的方程为. 因为.过、两点，且圆心M在直线上. 所以  解得：，，， 所以的标准方程为：. （2）设，， 联立立得， 由题意得：，即， 由根与系数关系得：，， 所以 ， 解得， 又因为满足， 故所求直线l的方程为. 五、题型五：过圆上一点的圆的切线方程 23．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（    ） A．圆方程为： B．过点作圆的切线，则切线长是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．直线与圆相交于两点，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用距离关系列式求解方程判断A，利用切线长定理求解判断B，利用切线性质求出斜率，代入点斜式即可求出切线方程判断C，先求出直线恒过定点，再利用几何性质结合弦长公式求解判断D. 【详解】对于A，由题意点，， 因为，所以，即， 所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确； 对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D， 所以，则，因为， 所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确； 对于C，因为，所以点在圆上，因为， 所以过点的切线斜率为， 所以切线方程为，即，错误； 对于D，由，可得， 联立，解得，即该直线恒过定点，因为， 所以点在圆内，由图知，当轴时，此时， 有最小值是，正确. 故选：ABD 24．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意知，点在圆上，若直线与圆相切，则直线与直线垂直，即可求出直线的斜率，根据点斜式直线方程即可求出直线的方程. 【详解】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 25．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知点和圆．    (1)求以为直径的圆N的标准方程； (2)设圆M与圆N相交于A，B两点，试判断直线是否为圆M的切线．若是，请求出直线和的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线是圆M的切线， 【分析】（1）由中点坐标公式两点间距离公式确定圆N的圆心、半径，由此即可得解. （2）由得为圆的直径，由此即可判断，进一步分圆N的切线斜率是否存在讨论即可求解. 【详解】（1）圆即，所以圆心，半径 又，所以中点为，以为直径的圆N的半径， 所以以为直径的圆N的标准方程为. （2）    由，，，得， 所以，所以为圆的直径，所以， 即直线是否为圆M的切线， 过点且斜率不存在的直线为， 而点到直线的距离满足，满足题意， 故直线的方程为； 设的方程为， 点到直线的距离满足， 解得，所以的方程为，即. 26．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心为，半径为，由，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程； （2）由，知点在圆上，由可得求出，得到切线方程. 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)选择见解析； (2) 【分析】（1）设圆方程为，利用待定系数法即可得解； （2）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，利用直线与圆相切的性质得到相应方程，解之即可得解. 【详解】（1）若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. （2）因为点是圆上的一点，故切线只有一条， 又圆的圆心为，半径为， 当切线l的斜率不存在时，其方程为，显然不符合题意； 当切线l的斜率存在时，设切线，即． 则圆心到切线的距离，解得， 所以切线l的方程为，即. 六、题型七：切线长 28．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 29．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 30．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【详解】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 31．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 【答案】ACD 【分析】结合图象可知，逐项判断即可. 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，， 所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为 所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 32．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值； 根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程. 【详解】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， 所以， 解得； （2）当时，直线，连接，则， 所以O，A，P，B四点共圆，切线长， 故最短当且仅当最短，即时最短， 因为，所以，此时， 所以， 联立得， 故以为直径的圆的方程为， 因为弦即圆O与上述圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为． 七、题型六：过圆外一点的圆的切线方程（29为多选） 33．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 34．（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 35．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 【答案】或． 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    36．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由圆的切线 性质求出直线的方程，进而求出圆心的坐标及圆半径即可得解. （2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得. 【详解】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，， 所以所求圆的方程为：. （2）圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意； 当切线的斜率存在时，设，即， 则，解得， 所以切线的斜率为. 37．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)圆心为，半径为2； (2)或； (3)，或 【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线的方程； （3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值及此时直线的方程； 方法二：利用三角形面积公式表达出，得到当时，取最大值2，此时点到的距离为，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线的方程. 【详解】（1）由 可得： 所以圆心的圆心坐标为，半径为2； （2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意； ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 即，解得， 所求直线的方程是或； （3）    方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为， 则圆心到直的距离， 又∵三角形CPQ面积 ， 当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2， 由，有，或， 此时直线方程为，或． 方法二：， 当时，取最大值2， 此时点到的距离为， 设：， 由，解得或， 故所求直线的方程为或. 38．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 八、题型八：圆的弦长与中点弦 39．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出动直线所过的定点，再根据垂径定理可求弦长的最小值. 【详解】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为， 动直线可化为：， 故该直线恒过定点，因为， 故定点在圆的内部，故圆心到动直线的距离的最大值为， 故的最小值为， 故选：B. 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和直线，点在上（点在点的上方），且满足，若圆上存在点使得，则点横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题意得到符合点的坐标，再设出点坐标，建立方程求解即可. 【详解】如图，设的中点为，由题意可得， 则符合条件的点在最上端和最下端处满足， 动点最上端坐标，最下端坐标． 因为点在直线上，且位于点上方，设， 又，当时，， 解得或（舍）．当时， ，解得或（舍）． 综上，点横坐标的取值范围是，故A正确. 故选：A 41．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 42．（多选）（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 43．（2024高二上·江苏·专题练习）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ． 【答案】 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，    则，，， 则，且为锐角，所以，同理可得， 所以，，则为等边三角形，连接交于点， 为的角平分线，则为的中点，， 且，， 若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于， 即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部， 因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. 故答案为： 44．（2023·陕西榆林·模拟预测）灯塔是海岸、港口或河道用来指引船只方向的建筑物，常用来标志危险的海岸、险要的沙洲或暗礁以及通往港嘴的航道.如图，灯塔P到航道的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中海里，且∥.若要两座灯塔在航道上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为 海里. 【答案】 【分析】如图，设直线与圆的交点为，与圆一个交点为，先判断圆过点时，灯塔的照明范围，范围小于70，则可得点在圆内，然后求出，利用弦，半径和弦心距的关系可求得答案. 【详解】如图，设直线与圆的交点为，与圆一个交点为， 设新建灯塔的照明半径为时，， 分别过作，垂足分别为， 则， 如图，以为圆心的灯塔的照明范围为， 因为圆的半径为25，所以， 由下图分析可知当圆刚好点时，则， 此时，即两座灯塔在航道上的照明距离为60海里，不合题意， 所以圆半径需增大， 则， 所以， 所以新建灯塔的照明半径至少为海里. 故答案为： 45．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【详解】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为.    九、题型九：已知圆的弦长求方程或参数 46．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 47．（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程. 【答案】或 【分析】求出圆方程，根据求出到直线的距离，设出直线方程，根据求出方程，斜率不存在时单独检验. 【详解】易知到直线的距离为圆半径， 所以，则圆方程为， 设圆心到直线的距离为，故，即，所以， 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为1，且根据勾股定理可知，显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为1知得，代入解之可得， 所以或为所求方程. 48．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程； （2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解. （3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可. 【详解】（1）,的中点为 的垂直平分线方程为，即, 将联立可得,即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. （3）在圆的标准方程上， 设, 又因为点，， 所以 ， 当时，取最小值为. 49．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得.    50．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆过三点. (1)求圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解， （2）根据等腰直角三角形的性质，可得，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）设所求的圆的方程是，其中， 把已知三点坐标代入得方程组解得 所以圆的一般方程为. 故圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5. 所以圆心到直线的距离 解得或，所以直线的方程为：或. 十、题型十：直线与圆中的定点定值问题 51．（23-24高二上·天津南开·期中）点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    52．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 53．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 54．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆C的方程为，将已知三点代入求出即可； （2）设点，，，易得，根据E，F在圆C上，得出的关系式，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再代入的关系式，求出之间的关系即可得解. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 故圆C的标准方程为； （2），所以直线，点，， 设点，，， 所以，，所以， 又，，所以 又E，F在圆C上，所以，， 消去，可得①， 当EF斜率存在时设直线EF的方程为， 联立， 消元y可得， 则， 可代入①，得， 解得或， 当时，直线恒过， 当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去， 直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去）， 综上：直线EF过点成立. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 55．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线上. 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）①设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； ②设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 十一、题型十一：直线与圆的位置关系求距离的最值 56．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 57．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【详解】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C 58．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】    如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 59．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 【答案】. 【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案. 【详解】取中点为，连接，如图所示： 则，又，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， 因为，， 所以，即，则. 故答案为：. 60．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$