第4讲 自由落体运动（讲义）-【划重点】2024-2025学年高一物理上学期中期末复习精细讲义

第4讲 自由落体运动 ——划重点之复习强化精细讲义系列 考点1 自由落体运动 考点2 伽利略对自由落体运动的研究 考点3 重力加速度的三种测量方法 考点4 竖直上抛运动 考点1：自由落体运动 1.自由落体运动 （1）定义：物体从静止开始下落，只在重力作用下的运动。 （2）特点——条件 ①运动特点：初速度等于零，加速度为g的匀加速直线运动。 ②受力特点：只受重力作用。 （3）理解：自由落体运动是一种理想化模型 ①这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。（在地球上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。） ②当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。 （4）运动性质：初速度0的匀加速直线运动。 （5）规律：自由落体运动是匀变速直线运动在v0＝0、a＝g时的一个特例。所以匀变速直线运动的基本公式以及推论都适用于自由落体运动。 ①速度公式：v＝gt。 ②位移公式：h＝gt2。 ③速度位移关系式：v2＝2gh。 （6）自由落体运动的推论 ①连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2。 ②平均速度：＝。 ③若从开始运动时刻计时，划分为连续相等的时间间隔T，则有如下比例关系： ⅰ．T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶…… ⅱ．T内、2T内、3T内……位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶…… ⅲ．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶…… ④若从运动起点（初位置）开始，划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系： ⅰ．连续相等的位移末的瞬时速度v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶…… 推证：由v2－v02＝2ax可直接得到。 ⅱ．通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶（－1）∶（－）∶…… 2．自由落体加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示。通常情况下取g＝9.8m/s2或g＝10m/s2。 （2）自由落体加速度的方向 ①方向竖直向下，不是垂直向下，也不是指向地球球心。 ②由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。 （3）大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关。 ①在地球表面会随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极最大，但差别很小。 ②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变。 【典例1】一小球从距地面高度h处做自由落体运动，运动到距地面处时速度大小为v，则它落地时的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度之比。若同时由静止释放小球a、b、c，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．a、b、c下落时间之比为 B．a、b、c落地前瞬间速度大小之比为 C．a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差 D．a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差 【典例3】（多选）一个物体从塔顶下落，在到达地面前最后2s内通过的位移是整个过程位移的。取，则（　　） A．塔高是180m B．下落时间为5s C．最后1s的初速度为55m/s D．最后1s内的平均速度55m/s 【典例4】如图，屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，某时刻空中有5颗水滴，第1、第2两滴水滴间距为1.6m，第2、第3两滴水滴间距为1.2m，不计空气阻力，则第3、4两水滴间距为 m，此时第3个水滴的瞬时速度为 m/s。（重力加速度） 【典例5】如图所示，某高楼距地面高H=47m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动（花盆可视为质点）。现有一辆长L1=8m、高h=2m的货车，正以v0=9m/s的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为L2=24m，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道，货车加速或减速的最大加速度为am=2m/s2，g取10m/s2。 (1)若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0=9m/s的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到？ (2)若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为∆t=1s，则司机应采取加速通过还是立即刹车的方式进行避险？说明理由。 考点2：伽利略对自由落体运动的研究 1.亚里士多德的观点 物体下落的快慢是由它们的重量决定的，因此重的物体比轻的物体下落得快，这与我们平常观察到的现象相符。 2.伽利略的研究 （1）归谬∶伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，认为重物与轻物应该下落得一样快，从而否定了亚里士多德的论断。 （2）猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的，有两种可能性∶①速度v与时间t成正比;②速度v与位移x成正比。 （3）数学推理：伽利略通过数学推理得出对于初速度为零的匀变速直线运动应有.因此，只要测出物体通过不同位移所用的时间，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。 （4）实验验证——间接验证方法 为了克服自由落体运动中下落时间太短难以测量的困难，伽利略巧妙地采用了间接的验证方法，即先研究铜球在斜面上的运动（"冲淡"重力）. ①如图所示，让铜球沿阻力很小的斜面滚下。 ②铜球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变的，即….换用不同质量的小球，结果都是相同的。 ③结论∶铜球沿斜面做匀加速直线运动，且只要斜面倾角一定，铜球的加速度都是相同的，跟铜球的质量无关。 ④不断增大斜面的倾角，重复上述实验，可知铜球的加速度随斜面倾角的增大而增大。 （5）合理外推∶ 当斜面倾角很大时、铜球的运动跟落体运动差不多，如果斜面倾角增大到90°，这时铜球的运动就是自由落体运动，铜球仍会保持匀加速直线运动的性质。 （6）伽利略的结论∶自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，而且所有物体下落时的加速度都是一样的。 3.伽利略的科学方法 对现象观察研究→提出假说→逻辑推理→实验验证→对假说进行修正和推广。 伽利略第一次把实验和逻辑推理（包括数学演算）和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法. 伽利略的逻辑推理： 按照亚里士多德的观点，假定大石头的下落速度为8m/s，小石头的下落速度为4 m/s，当把两块石头捆在一起时，大石头会被小石头拖着而减慢，结果整个系统的下落速度应该小于8m/s，但两块石头捆在一起，总质量比大石头还要重，因此整个系统的下落速度应该比8m/s还要大，从而得出矛盾的推论。 【典例6】伽利略为了研究自由落体的规律，采用“冲淡”重力的方法，测量了铜球在较小倾角斜面上运动的位移和时间，发现位移与时间的平方成正比。增大斜面倾角，该规律仍然成立。于是，他外推到斜面倾角为时，该规律仍然成立。下列说法正确的是（    ） A．“冲淡”重力是指使铜球的重力变小了 B．伽利略让铜球沿着阻力较小的斜面滚下，直接测出了铜球速度，得到铜球速度随时间的变化规律 C．伽利略对倾角为时的实验情况进行了相关数据的测量，得出了自由落体运动为匀变速直线运动的结论 D．铜球位移与时间的平方成正比说明它做匀加速直线运动 【典例7】伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是（    ） ①数学推理，如果，初速度为零的匀变速直线运动运动应符合 ②合理外推，当倾角等于时，斜面运动变为自由落体运动 ③实验验证：小球在斜面上运动符合，是匀加速直线运动 ④猜想假设：自由落体运动是最简单的变速运动，即 A．④③①② B．④①③② C．①④③② D．④①②③ 考点3：重力加速度的三种测量方法 （1）打点计时器法 ①按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹。 ②对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT 2，求出重力加速度的大小。 （2）频闪照相法 ①频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。 ②根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝。也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，也可求出重力加速度g。 （3）滴水法 ①让水滴一滴滴落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音。 ②记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落的时间t＝。 ③用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h，利用h＝gt2计算出重力加速度的值。 【典例8】（多选）科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而仿佛是固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，不计水滴受到的空气阻力，取重力加速度，对出现的这种现象，下列描述正确的有（    ）    A．间歇发光的时间间隔是 B．根据条件可以求得水滴在C点的速度 C．水滴在B、C、D点速度之比满足 D．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 【典例9】小黄同学在暗室中用图示装置做“测定重力加速度”的实验，用到的实验器材有：分液漏斗、阀门、支架、接水盒、一根有荧光刻度的米尺、频闪仪。具体实验步骤如下： ①在分液漏斗内盛满清水，旋松阀门，让水滴以一定的频率一滴滴的落下； ②用频闪仪发出的闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率，当频率为25Hz时，第一次看到一串仿佛固定不动的水滴； ③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度； ④处理数据，得出结论； (1)水滴滴落的时间间隔为 s。 (2)小黄同学测得连续相邻的五个水滴之间的距离如图乙所示，根据数据计算当地重力加速度g= m/s2；D点处水滴此时的速度 m/s。（结果均保留三位有效数字） (3)小黄同学怀疑自己的测量结果不是很符合当地的重力加速度值，于是他打开手机上的测量，利用其中的加速度传感器测出当地的重力加速度值为，你认为造成上述实验与手机加速度传感器测量有差别的原因是 （写出一种即可）。 【典例10】两同学利用如图甲所示的装置研究自由落体运动的规律，经过几次实验，选择了一条点迹清晰的纸带进行研究（如图乙），根据打点的先后顺序取计数点O、A、B、C、D、E、F，相邻两个计数点间还有1个点未画出。已知打点计时器的打点周期为。 （1）选择合适的器材，调整实验装置，下列操作正确的是 和 。（均填标号） A． 使重物远离打点计时器 B． 先接通打点计时器的电源，让打点计时器工作，再松开纸带 C． 为了减小误差，应选用密度大体积小的重物 D． 本实验还需要的实验器材是天平和秒表 （2） 打下计数点D时， 重物的速度大小为= m/s（保留2位有效数字）。 （3）重物下落的加速度大小为= m/s2（保留2位有效数字）。 （4）两同学测得的重力加速度比当地重力加速度小，其原因可能是 （写出一条即可）。 考点4：竖直上抛运动 1.竖直上抛运动 （1）定义：物体以初速度v0竖直上抛后，只在重力作用下的运动。 （2）特点： ①初速度竖直向上； ②只受重力作用的匀变速直线运动； ③若以初速度方向为正方向，则a＝－g。 上升过程是初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动；下落过程为自由落体运动。全过程为匀变速直线运动，属于广义匀减速直线运动类型。 （3）规律：广义匀减速直线运动的规律就是竖直上抛运动的运动规律（a=g）。 ①速度公式：v＝v0－gt； ②位移公式：h＝v0t－gt2； ③平均速度公式：； ④速度与位移的关系：v2－v＝－2gh。 符号法则：应用公式时，要特别注意v0、v、h等矢量的正、负号，一般选向上为正方向，v0总是正值，上升过程中v为正值，下降过程中v为负值，物体在抛出点以上时h为正值，在抛出点以下时h为负值。 （4）竖直上抛运动的三种对称性 ①时间的对称性 物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝ 物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等 ②速度的对称性 物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点的速度大小相等、方向相反 物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反 ③能量的对称性 竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等 （5）竖直上抛的特征量 ①上升的最大高度hm=。 ②上升到最大高度的上升时间和从最大高度落回抛出点的下降时间相等，即：t上=t下=，回到抛出点所用的时间t＝。 ③回到抛出点时的速度v＝－v0。 （6）竖直上抛运动的处理方法 ①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自由落体运动两个过程来研究。 上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 ②整体法：从整个过程看，利用匀减速直线运动来处理。 ⅰ．初速度为v0（设为正方向），加速度为a＝－g的匀变速直线运动； ⅱ．v>0时，物体上升；v<0时，物体下降； ⅲ．h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。 ③巧用竖直上抛运动的对称性。 ④竖直上抛运动的多解问题 由位移公式：h＝v0t − gt2，可知对某一高度h： ⅰ．当h＞0时，表示物体在抛出点的上方。此时t有两解：较小的t表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间；较大的t表示上抛物体落回此高度所用的时间。 ⅱ．当h＝0时，表示物体刚抛出或抛出后落回原处。此时t有两解：一解为零，表示刚要上抛这一时刻，另一解表示上抛后又落回抛出点所用的时间。 ⅲ．当h＜0时，表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解：一解为正值，表示物体落到抛出点下方某处所用时间；另一解为负值，应舍去。 说明：竖直上抛运动有两个运动过程，解题时要考虑到这两个过程的对称性，而其运动方向有两个，因此要特别注意a、h的符号。 2.两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法 竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，它取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔。处理方法有利用运动时间分析法、利用位移分析法、巧选参考系法、图像分析法。 【典例11】如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大 B．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5∶6 C．至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为3∶4 D．小球甲、乙在落地前最后下落的高度乙更大 【典例12】如图所示，物体A以速率从地面竖直上抛，同时物体B从某高处由静止自由下落，经时间物体B正好以速率落地。规定竖直向上为正方向，不计空气阻力，两物体在时间内的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例13】时刻某弹射装置将小钢球以的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度。关于小钢球被抛出后在空中运动的过程，下列说法正确的是（    ） A．小钢球第2s内的速度变化量为0 B．第1s内的速度变化比第3s内的速度变化快 C．第1s内的位移大于前2s内的位移 D．第1s内的平均速度大于前2s内的平均速度 【典例14】（多选）如图，从点以某一初速度竖直向上抛一个小球（视为质点），运动中小球依次经过两点，且两点与点高度差都是，小球经过点时的速率是经过A点时的速率的2倍，重力加速度为，运动中小球所受空气阻力不计，下列选项正确的是（    ） A．从点抛出，小球最高可以上升高度为 B．小球抛出时的初速度为 C．小球从点抛出再回到点经历的时间为 D．小球从最高点到达点经历的时间为 【典例15】（多选）如图所示，将质量为m的小球甲和质量为2m的小球乙，分别从高地高度为h、2h处同时由静止释放做自由落体运动，与地面碰撞后小球的速度大小不变，方向反向。若不计小球与地面碰撞的时间，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两小球在空中下落的加速度之比为1:2 B．甲、乙两小球第一次落地时速度大小之比为 C．甲、乙两小球第一次与地面碰撞前下落的时间之比为1:4 D．从开始下落计时，经过时间两小球第一次在空中相遇 一、单选题 1．下列关于重力加速度的说法正确的是（　　） A．重力加速度表示自由下落的物体运动的快慢 B．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的大小 C．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢 D．轻物体和重物体的重力加速度不同，所以重的物体先落地 2．伽利略用斜面实验来研究落体运动的示意图如下，伽利略的成功，不仅在于找出了落体运动的规律，更重要的是开辟了一条物理学的研究之路，下列说法正确的是（　　） A．让小球在倾角较小的斜面上运动，目的是延长物体的运动时间，加大物体下落的加速度 B．让小球在斜面上运动来研究自由落体运动，其实质是“放大重力”，减小位移与速度 C．伽利略对落体的研究采用了一个先“转换变通”，后“合理外推”的巧妙方法 D．伽利略把竖直实验的结果推广到斜面情况，是思维方法的一种“升华”，这种方法被称为“放大法” 3．如图所示，从高度差为的a、b两点间隔先后静止释放两物体，两物体同时落地，不计空气阻力，重力加速度g取，则释放点a距地面的高度为（    ） A． B． C． D． 4．2024年巴黎奥运会上，17岁的全红婵在女子10米跳台跳水决赛中成功完成了207C动作，并获得了92.40的高分最终获得奥运金牌。207C是跳水运动中的一个高难度动作，指的是向后翻腾三周半抱膝。假设这一过程是自由落体运动且前三周翻腾时间是后半圈及调整入水动作时间的两倍，，则完成前三周翻腾时她离水面的高度为（    ） A．3.33m B．4.44m C．5.56m D．6.67m 5．下列四幅图分别为速度v，下降高度h，以及加速度a随时间的变化关系，其中能反映自由落体运动规律图像的是（    ） A．B．C． D． 6．小球（视为质点）从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图中0、1、2、3、4所示的小球在运动过程中每次曝光时的位置。已知频闪照相机连续两次曝光的时间间隔为0.1s，当地的重力加速度大小，不计空气阻力，则（　　） A．位置“0”是小球由静止释放的位置 B．每块砖的厚度为9.8cm C．小球经过位置“2”时的速度大小为1.96m/s D．该过程中小球下落相同的距离时所用的时间相同 7．一矿井深80m，在井口每隔一定时间自由释放一个小球（下落过程可视为自由落体运动），当第9个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（重力加速度），则（    ） A．第1个小球落至井底时的速度为30m/s B．此时第1个小球与第2个小球相距45m C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.4s D．第1、2小球都在空中时，第1个小球相对第2个小球做匀速直线运动 8．一篮球（可视为质点）从离地面高h处自由下落，与地面碰撞后，反弹高度小于h。篮球与地面的碰撞时间和空气阻力均不计，取地面为原点，速度方向向下为正方向，下列反映篮球的速度和篮球离地面高度关于时间的图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 9．2020年7月23日12时41分中国火星探测器“祝融号”在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，2021年5月22日10时40分到达火星表面，开始巡视探测。国际有关专家预测，人类能在2040年后能飞往火星。若一物体从火星表面竖直向上抛出（不计空气阻力）时的位移时间图像如图所示，则有（　　） A．该物体上升的时间为10s B．该物体被抛出时的初速度大小为5.0m/s C．该火星表面的重力加速度大小为 D．该物体从抛出到落回火星表面时的速度变化量大小为8m/s 10．一杂技演员用4个相同的小球做单手抛接球表演，他从同一位置依次将各球略微偏离竖直方向向上抛出，当小球回到抛出点时，用手将小球接住，然后将小球从抛出点再抛出，小球间不发生碰撞，不计空气阻力。已知相邻两球之间的时间间隔相等，刚抛出第4个小球时，第1个小球和第3个小球在空中同一高度，则第3、4个小球间的距离与第1、2个小球间的距离之比为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 11．在用频闪照相法研究自由落体运动规律的实验中，某同学让一金属小球自由下落，小球下落过程中频闪照片的部分示意图如图所示，小球由A到B和由B到C所用时间均为T，测得AB两点间的距离为，BC两点间的距离，空气阻力可忽略不计。该同学粗略计算小球运动的加速度大小和通过B点时的速度大小，下列表达式对的的是（    ） A．小球运动的加速度大小为 B．小球运动的加速度大小为 C．小球通过B点时的速度大小为 D．小球通过B点时的速度大小为 12．一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5s内的位移是18m，则（　　） A．物体在2s末的速度是8m/s B．物体在第5s内的平均速度是3.6m/s C．物体在5s内的位移是50m D．物体自由下落的加速度是8m/s2 13．如图所示，在足够高的空间内，一小球位于粗细均匀且竖直空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心在管的轴线上，小球的直径小于管的内径，小球可以无阻碍地穿过空心管。现静止释放小球，让其做自由落体运动，释放小球的同时，空心管以初速度v0竖直上抛，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球一定能穿过空心管 B．h越小，小球穿过空心管的时间就越长 C．h越大，小球穿过空心管的时间就越短 D．小球穿过空心管的时间一定是，与h大小无关 14．伽利略在研究自由落体运动时，遇到了两个问题：①无精确的计时仪器；②无测瞬时速度的工具。他采用了一个很巧妙的方法，用来“冲淡”重力。如下图所示，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，经过实验证明小球沿斜面的运动是匀加速直线运动，且只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。由此他推断：自由落体运动也是匀变速直线运动.伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，对这一过程的分析，下列叙述正确的是（　　） A．丁实验可“冲淡”重力的作用，更容易测时间，解决了问题① B．伽利略利用替代解决了问题② C．甲是实验现象，丁是经过合理的逻辑推理得到的猜想结论 D．丁是实验现象，甲是经过合理的逻辑推理得到的猜想结论 15．如图所示，将乙小球从地面上以v0 = 8 m/s的初速度竖直向上抛出的同时，将甲小球从乙小球的正上方h = 12 m处由静止释放，两小球运动过程中的空气阻力忽略不计。取g = 10 m/s2，两小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．两小球在空中不相遇 B．两小球相遇时甲小球的速度大小为15 m/s C．乙小球抛出后0.8 s时两小球相遇 D．乙小球在下落过程中与甲小球相遇 三、实验题 16．某学习小组利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。电磁铁和两个光电门在同一竖直线上，为便于测量，刻度尺也固定在铁架台上。钢球被通电的电磁铁衔住，电磁铁断电即释放钢球，钢球先后经过两个光电门，光电门连接着数字传感器。在数字传感器里提前输入小球的宽度d后，数字传感器可根据测得的时间直接计算出小球通过光电门1和2的速度大小分别为和。多次改变两个光电门的位置，得到多组和、和的数据，建立如图乙所示的坐标系并描点连线，得出图线的斜率为k。 (1)若操作准确，利用图像可获得当地的重力加速度大小为 （用k表示）。 (2)某同学想使用一个光电门做实验，利用图像测量重力加速度，除拆除一个光电门外，还应该怎样调整器材装置， 。 (3)接第（2）问，该同学实验中，安装器材时，小球的释放点稍向左侧偏移了一些，导致小球经过光电门时，虽然小球也能遮光，但光线无法对准球心。用这样的装置进行实验，会导致重力加速度的测量值 （选填“偏小”“偏大”或“不变”）。 四、解答题 17．如图所示，一滴雨滴从离地面20m高的楼房屋檐自由下落，下落5m时，到达窗口上沿，再经的时间通过窗口，g取10m/s2，问： (1)雨滴落地前瞬间的速度大小； (2)窗口的高度h； (3)该雨滴最后1s内下落的平均速度大小。 18．如图所示，在离地面高H处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，距离小球抛出点的正下方处有一辆长的静止小车，已知小球落地前最后1s内下落的高度为25m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取。 (1)求小球抛出点离地面的高度H； (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，通过计算说明小车是否会被小球砸到。若能，求小球砸到小车上的位置到M点的距离。若不能，求小球落地点到M点的距离； (3)若小车在小球的左侧且M端距离小球抛出点的正下方，当小球抛出2s时，小车以的初速度向小球正下方做匀变速运动，为了避免小球砸到小车，求小车做匀变速运动加速度a的大小取值范围？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 自由落体运动 ——划重点之复习强化精细讲义系列 考点1 自由落体运动 考点2 伽利略对自由落体运动的研究 考点3 重力加速度的三种测量方法 考点4 竖直上抛运动 考点1：自由落体运动 1.自由落体运动 （1）定义：物体从静止开始下落，只在重力作用下的运动。 （2）特点——条件 ①运动特点：初速度等于零，加速度为g的匀加速直线运动。 ②受力特点：只受重力作用。 （3）理解：自由落体运动是一种理想化模型 ①这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。（在地球上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。） ②当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。 （4）运动性质：初速度0的匀加速直线运动。 （5）规律：自由落体运动是匀变速直线运动在v0＝0、a＝g时的一个特例。所以匀变速直线运动的基本公式以及推论都适用于自由落体运动。 ①速度公式：v＝gt。 ②位移公式：h＝gt2。 ③速度位移关系式：v2＝2gh。 （6）自由落体运动的推论 ①连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2。 ②平均速度：＝。 ③若从开始运动时刻计时，划分为连续相等的时间间隔T，则有如下比例关系： ⅰ．T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶…… ⅱ．T内、2T内、3T内……位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶…… ⅲ．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶…… ④若从运动起点（初位置）开始，划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系： ⅰ．连续相等的位移末的瞬时速度v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶…… 推证：由v2－v02＝2ax可直接得到。 ⅱ．通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶（－1）∶（－）∶…… 2．自由落体加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示。通常情况下取g＝9.8m/s2或g＝10m/s2。 （2）自由落体加速度的方向 ①方向竖直向下，不是垂直向下，也不是指向地球球心。 ②由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。 （3）大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关。 ①在地球表面会随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极最大，但差别很小。 ②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变。 【典例1】一小球从距地面高度h处做自由落体运动，运动到距地面处时速度大小为v，则它落地时的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据自由落体运动公式可得 联立可得小球落地时的速度大小为 故选A。 【典例2】（多选）如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度之比。若同时由静止释放小球a、b、c，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．a、b、c下落时间之比为 B．a、b、c落地前瞬间速度大小之比为 C．a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差 D．a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差 【答案】AD 【详解】A．根据 可得 可知a、b、c下落时间之比为 故A正确； B．根据 可知a、b、c落地前瞬间速度大小之比为 故B错误； C D．a、b、c下落时间之比为 则a与b落地的时间差与b与c落地的时间差之比为 可知a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差，故C错误、D正确。 故选AD。 【典例3】（多选）一个物体从塔顶下落，在到达地面前最后2s内通过的位移是整个过程位移的。取，则（　　） A．塔高是180m B．下落时间为5s C．最后1s的初速度为55m/s D．最后1s内的平均速度55m/s 【答案】AD 【详解】AB．设物体下落总时间为t，塔高为h，根据题意得 解得 故A正确，B错误； C．最后1s的初速度就是5s末的速度 故C错误； D．最后1s的末速度就是6s末的速度 最后1s内的平均速度 故D正确。 故选AD。 【典例4】如图，屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，某时刻空中有5颗水滴，第1、第2两滴水滴间距为1.6m，第2、第3两滴水滴间距为1.2m，不计空气阻力，则第3、4两水滴间距为 m，此时第3个水滴的瞬时速度为 m/s。（重力加速度） 【答案】 0.8 5 【详解】[1]水滴做自由落体运动，则 得 [2]根据 得 则每隔0.2s滴下一滴水，第3个水滴的瞬时速度 【典例5】如图所示，某高楼距地面高H=47m的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动（花盆可视为质点）。现有一辆长L1=8m、高h=2m的货车，正以v0=9m/s的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为L2=24m，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道，货车加速或减速的最大加速度为am=2m/s2，g取10m/s2。 (1)若司机没有发现花盆掉落，货车保持v0=9m/s的速度匀速直行，通过计算说明货车是否会被花盆砸到？ (2)若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为∆t=1s，则司机应采取加速通过还是立即刹车的方式进行避险？说明理由。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）花盆从高处落下，到达离地高h的车顶过程中，根据自由落体公式有 解得 3s内货车位移为 故货车会被花盆砸到； （2）若司机采取刹车方式，货车运动到停止的位移为 由于 可知，花盆会砸到货车上； 若司机采取加速方式，货车运动的位移为 由于 可知，花盆不会砸到货车上，所以司机应采取加速通过的方式进行避险。 考点2：伽利略对自由落体运动的研究 1.亚里士多德的观点 物体下落的快慢是由它们的重量决定的，因此重的物体比轻的物体下落得快，这与我们平常观察到的现象相符。 2.伽利略的研究 （1）归谬∶伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，认为重物与轻物应该下落得一样快，从而否定了亚里士多德的论断。 （2）猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的，有两种可能性∶①速度v与时间t成正比;②速度v与位移x成正比。 （3）数学推理：伽利略通过数学推理得出对于初速度为零的匀变速直线运动应有.因此，只要测出物体通过不同位移所用的时间，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。 （4）实验验证——间接验证方法 为了克服自由落体运动中下落时间太短难以测量的困难，伽利略巧妙地采用了间接的验证方法，即先研究铜球在斜面上的运动（"冲淡"重力）. ①如图所示，让铜球沿阻力很小的斜面滚下。 ②铜球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变的，即….换用不同质量的小球，结果都是相同的。 ③结论∶铜球沿斜面做匀加速直线运动，且只要斜面倾角一定，铜球的加速度都是相同的，跟铜球的质量无关。 ④不断增大斜面的倾角，重复上述实验，可知铜球的加速度随斜面倾角的增大而增大。 （5）合理外推∶ 当斜面倾角很大时、铜球的运动跟落体运动差不多，如果斜面倾角增大到90°，这时铜球的运动就是自由落体运动，铜球仍会保持匀加速直线运动的性质。 （6）伽利略的结论∶自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，而且所有物体下落时的加速度都是一样的。 3.伽利略的科学方法 对现象观察研究→提出假说→逻辑推理→实验验证→对假说进行修正和推广。 伽利略第一次把实验和逻辑推理（包括数学演算）和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法. 伽利略的逻辑推理： 按照亚里士多德的观点，假定大石头的下落速度为8m/s，小石头的下落速度为4 m/s，当把两块石头捆在一起时，大石头会被小石头拖着而减慢，结果整个系统的下落速度应该小于8m/s，但两块石头捆在一起，总质量比大石头还要重，因此整个系统的下落速度应该比8m/s还要大，从而得出矛盾的推论。 【典例6】伽利略为了研究自由落体的规律，采用“冲淡”重力的方法，测量了铜球在较小倾角斜面上运动的位移和时间，发现位移与时间的平方成正比。增大斜面倾角，该规律仍然成立。于是，他外推到斜面倾角为时，该规律仍然成立。下列说法正确的是（    ） A．“冲淡”重力是指使铜球的重力变小了 B．伽利略让铜球沿着阻力较小的斜面滚下，直接测出了铜球速度，得到铜球速度随时间的变化规律 C．伽利略对倾角为时的实验情况进行了相关数据的测量，得出了自由落体运动为匀变速直线运动的结论 D．铜球位移与时间的平方成正比说明它做匀加速直线运动 【答案】D 【详解】A．“冲淡”重力是指使铜球的加速度变小了，铜球的重力不发生变化，故A错误； B．伽利略所处的时代，人们还不能准确测量物体的瞬时速度，故B错误； C．伽利略对较小倾角时的实验情况进行了合理外推，得出了自由落体运动为匀加速直线运动的结论，故C错误； D．铜球位移与时间的平方成正比说明它做匀加速直线运动，故D正确。 故选D。 【典例7】伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是（    ） ①数学推理，如果，初速度为零的匀变速直线运动运动应符合 ②合理外推，当倾角等于时，斜面运动变为自由落体运动 ③实验验证：小球在斜面上运动符合，是匀加速直线运动 ④猜想假设：自由落体运动是最简单的变速运动，即 A．④③①② B．④①③② C．①④③② D．④①②③ 【答案】B 【详解】伽利略对自由落体的研究分为：猜想假设数学推理实验验证合理外推几个步骤。 故选B。 考点3：重力加速度的三种测量方法 （1）打点计时器法 ①按如图所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹。 ②对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT 2，求出重力加速度的大小。 （2）频闪照相法 ①频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。 ②根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝。也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，也可求出重力加速度g。 （3）滴水法 ①让水滴一滴滴落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音。 ②记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落的时间t＝。 ③用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h，利用h＝gt2计算出重力加速度的值。 【典例8】（多选）科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而仿佛是固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，不计水滴受到的空气阻力，取重力加速度，对出现的这种现象，下列描述正确的有（    ）    A．间歇发光的时间间隔是 B．根据条件可以求得水滴在C点的速度 C．水滴在B、C、D点速度之比满足 D．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足 【答案】ABC 【详解】AD．若调节间歇闪光时间间隔正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两个点的时间间隔相等；由图可知，相邻两点间位移差为 根据 可得间歇发光的时间间隔为 故A正确，D错误； B．利用平均速度等于中间时刻的速度求解C点的速度，即 故B正确； C．根据匀变速直线运动规律可知三段距离之比 可知A点初速度为，则根据 可知水滴在B、C、D点速度之比满足 故C正确。 故选ABC。 【典例9】小黄同学在暗室中用图示装置做“测定重力加速度”的实验，用到的实验器材有：分液漏斗、阀门、支架、接水盒、一根有荧光刻度的米尺、频闪仪。具体实验步骤如下： ①在分液漏斗内盛满清水，旋松阀门，让水滴以一定的频率一滴滴的落下； ②用频闪仪发出的闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率，当频率为25Hz时，第一次看到一串仿佛固定不动的水滴； ③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度； ④处理数据，得出结论； (1)水滴滴落的时间间隔为 s。 (2)小黄同学测得连续相邻的五个水滴之间的距离如图乙所示，根据数据计算当地重力加速度g= m/s2；D点处水滴此时的速度 m/s。（结果均保留三位有效数字） (3)小黄同学怀疑自己的测量结果不是很符合当地的重力加速度值，于是他打开手机上的测量，利用其中的加速度传感器测出当地的重力加速度值为，你认为造成上述实验与手机加速度传感器测量有差别的原因是 （写出一种即可）。 【答案】(1)0.04 (2) 9.69 2.48 (3)存在空气阻力 【详解】（1）由于频率由大到小逐渐调节，第一次看到一串仿佛固定不动的水滴，说明闪光的时间间隔等于水滴的时间间隔，闪光的频率为25Hz，因此时间间隔 故填0.04； （2）[1]根据逐差法 故填9.69； [2]根据匀变速直线运动的规律 故填2.48； （3）水滴下落时要受空气阻力作用，这可能是导致实验测得数据与手机加速度传感器测量有差别的原因之一，故填存在空气阻力。 【典例10】两同学利用如图甲所示的装置研究自由落体运动的规律，经过几次实验，选择了一条点迹清晰的纸带进行研究（如图乙），根据打点的先后顺序取计数点O、A、B、C、D、E、F，相邻两个计数点间还有1个点未画出。已知打点计时器的打点周期为。 （1）选择合适的器材，调整实验装置，下列操作正确的是 和 。（均填标号） A． 使重物远离打点计时器 B． 先接通打点计时器的电源，让打点计时器工作，再松开纸带 C． 为了减小误差，应选用密度大体积小的重物 D． 本实验还需要的实验器材是天平和秒表 （2） 打下计数点D时， 重物的速度大小为= m/s（保留2位有效数字）。 （3）重物下落的加速度大小为= m/s2（保留2位有效数字）。 （4）两同学测得的重力加速度比当地重力加速度小，其原因可能是 （写出一条即可）。 【答案】 B C 2.0 9.6 纸带与限位孔之间存在摩擦 【详解】（1）[1][2]为了使纸带上点迹较多，应使重物靠近打点计时器，故A错误； 应先接通打点计时器的电源，让打点计时器工作，再松开纸带，故B正确； 为了减小误差，应选用密度大体积小的重物，减小空气阻力的影响，故C正确； 本实验由打点计时器测量时间，不需要秒表，也不需要测质量，故D错误。 故选BC； （2）[3]打下计数点D时， 重物的速度大小为 （3）[4]重物下落的加速度大小为 （4）[5]两同学测得的重力加速度比当地重力加速度小，其原因可能是纸带与限位孔之间存在摩擦或存在空气阻力。 考点4：竖直上抛运动 1.竖直上抛运动 （1）定义：物体以初速度v0竖直上抛后，只在重力作用下的运动。 （2）特点： ①初速度竖直向上； ②只受重力作用的匀变速直线运动； ③若以初速度方向为正方向，则a＝－g。 上升过程是初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动；下落过程为自由落体运动。全过程为匀变速直线运动，属于广义匀减速直线运动类型。 （3）规律：广义匀减速直线运动的规律就是竖直上抛运动的运动规律（a=g）。 ①速度公式：v＝v0－gt； ②位移公式：h＝v0t－gt2； ③平均速度公式：； ④速度与位移的关系：v2－v＝－2gh。 符号法则：应用公式时，要特别注意v0、v、h等矢量的正、负号，一般选向上为正方向，v0总是正值，上升过程中v为正值，下降过程中v为负值，物体在抛出点以上时h为正值，在抛出点以下时h为负值。 （4）竖直上抛运动的三种对称性 ①时间的对称性 物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝ 物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等 ②速度的对称性 物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点的速度大小相等、方向相反 物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反 ③能量的对称性 竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等 （5）竖直上抛的特征量 ①上升的最大高度hm=。 ②上升到最大高度的上升时间和从最大高度落回抛出点的下降时间相等，即：t上=t下=，回到抛出点所用的时间t＝。 ③回到抛出点时的速度v＝－v0。 （6）竖直上抛运动的处理方法 ①分段法：把竖直上抛运动分为匀减速上升运动和自由落体运动两个过程来研究。 上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 ②整体法：从整个过程看，利用匀减速直线运动来处理。 ⅰ．初速度为v0（设为正方向），加速度为a＝－g的匀变速直线运动； ⅱ．v>0时，物体上升；v<0时，物体下降； ⅲ．h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。 ③巧用竖直上抛运动的对称性。 ④竖直上抛运动的多解问题 由位移公式：h＝v0t − gt2，可知对某一高度h： ⅰ．当h＞0时，表示物体在抛出点的上方。此时t有两解：较小的t表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间；较大的t表示上抛物体落回此高度所用的时间。 ⅱ．当h＝0时，表示物体刚抛出或抛出后落回原处。此时t有两解：一解为零，表示刚要上抛这一时刻，另一解表示上抛后又落回抛出点所用的时间。 ⅲ．当h＜0时，表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解：一解为正值，表示物体落到抛出点下方某处所用时间；另一解为负值，应舍去。 说明：竖直上抛运动有两个运动过程，解题时要考虑到这两个过程的对称性，而其运动方向有两个，因此要特别注意a、h的符号。 2.两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法 竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，它取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔。处理方法有利用运动时间分析法、利用位移分析法、巧选参考系法、图像分析法。 【典例11】如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大 B．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5∶6 C．至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为3∶4 D．小球甲、乙在落地前最后下落的高度乙更大 【答案】B 【详解】A．取竖直向上为正方向，小球乙落地前，甲球与乙球的速度差为 保持恒定，故A错误； B．对甲球，取竖直向上为正方向，对整个过程，有 解得甲球运动的总时间 甲球上升的最大高度为 则甲球运动的总路程为 整个过程平均速率为 对乙球，根据 得乙球落地用时间为 乙球经过的路程为 落地前的运动过程中小球乙的平均速率为 落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5∶6，故B正确； C．小球乙落地时，甲、乙两球的位移分别为 甲、乙两球的位移大小之比为0∶20，故C错误； D．对甲球，根据公式 解得它落地时的速度大小为 方向竖直向下；乙球落地时的速度大小为 跟甲球落地时的速度一样，由于加速度相同，根据公式 可知小球甲、乙在落地前最后1s下落的高度相同，故D错误。 故选B。 【典例12】如图所示，物体A以速率从地面竖直上抛，同时物体B从某高处由静止自由下落，经时间物体B正好以速率落地。规定竖直向上为正方向，不计空气阻力，两物体在时间内的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】规定竖直向上为正方向，物体A做竖直上抛运动，加速度为g，其速度与时间的关系为 物体B做自由落体运动，其速度与时间的关系为 可知两图象平行且斜向下。 故选D。 【典例13】时刻某弹射装置将小钢球以的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度。关于小钢球被抛出后在空中运动的过程，下列说法正确的是（    ） A．小钢球第2s内的速度变化量为0 B．第1s内的速度变化比第3s内的速度变化快 C．第1s内的位移大于前2s内的位移 D．第1s内的平均速度大于前2s内的平均速度 【答案】D 【详解】A．根据速度与时间的关系可知 故A错误； B．加速度为重力加速度，则第1s内的速度变化比第3s内的速度变化的快慢相等，故B错误； C．根据速度与时间的关系可知上升的时间为 s 根据对称性可知，第1s内的位移等于前2s内的位移，根据平均速度的公式 可知第1s内的平均速度大于前2s内的平均速度，故C错误，D正确； 故选D。 【典例14】（多选）如图，从点以某一初速度竖直向上抛一个小球（视为质点），运动中小球依次经过两点，且两点与点高度差都是，小球经过点时的速率是经过A点时的速率的2倍，重力加速度为，运动中小球所受空气阻力不计，下列选项正确的是（    ） A．从点抛出，小球最高可以上升高度为 B．小球抛出时的初速度为 C．小球从点抛出再回到点经历的时间为 D．小球从最高点到达点经历的时间为 【答案】AD 【详解】AB．根据题意设小球经过点时的速度为，经过点时的速度为，由匀变速运动规律，可得 得 又 由此可得 小球上升至最高点 解得初速度 故A正确，B错误； C．小球从点抛出再回到点经历的时间 故C错误； D．因为 可得 从最高点下落到点所需的时间 故D正确。 故选AD。 【典例15】（多选）如图所示，将质量为m的小球甲和质量为2m的小球乙，分别从高地高度为h、2h处同时由静止释放做自由落体运动，与地面碰撞后小球的速度大小不变，方向反向。若不计小球与地面碰撞的时间，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两小球在空中下落的加速度之比为1:2 B．甲、乙两小球第一次落地时速度大小之比为 C．甲、乙两小球第一次与地面碰撞前下落的时间之比为1:4 D．从开始下落计时，经过时间两小球第一次在空中相遇 【答案】BD 【详解】A．小球做自由落体运动，加速度为重力加速度，故甲乙两小球在空中下落的加速度相等，选项A错误； B．根据 v2=2gh 可知，甲乙两球第一次落地时速度大小之比为1：，选项B正确； C．根据 可知，甲乙两球第一次与地面碰撞前下落的时间之比为1：，选项C错误； D．小球甲先落地，速度大小为v，此时小球乙的速度也为v，小球乙下落的高度也为h，设经过∆t两球相遇，则 v2=2gh 解得 小球甲下落h所用时间为，故相遇时间为 选项D正确。 故选BD。 一、单选题 1．下列关于重力加速度的说法正确的是（　　） A．重力加速度表示自由下落的物体运动的快慢 B．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的大小 C．重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢 D．轻物体和重物体的重力加速度不同，所以重的物体先落地 【答案】C 【详解】ABC．根据加速度定义式有 可知，重力加速度表示自由下落的物体运动速度变化的快慢，故AB错误，C正确； D．同一位置，轻物体和重物体的重力加速度不同，所以做自由落体运动时，轻物体和重物体同时落地，故D错误。 故选C。 2．伽利略用斜面实验来研究落体运动的示意图如下，伽利略的成功，不仅在于找出了落体运动的规律，更重要的是开辟了一条物理学的研究之路，下列说法正确的是（　　） A．让小球在倾角较小的斜面上运动，目的是延长物体的运动时间，加大物体下落的加速度 B．让小球在斜面上运动来研究自由落体运动，其实质是“放大重力”，减小位移与速度 C．伽利略对落体的研究采用了一个先“转换变通”，后“合理外推”的巧妙方法 D．伽利略把竖直实验的结果推广到斜面情况，是思维方法的一种“升华”，这种方法被称为“放大法” 【答案】C 【详解】A．让小球在倾角较小的斜面上运动，目的是延长物体的运动时间，减缓物体下落的速度，物体的加速度也减小，故A错误； B．让小球在斜面上运动来研究自由落体运动，其实质是“冲淡重力”，减小位移，延长时间，故B错误； C．伽利略对落体的研究采用了一个先“转换变通”，后“合理外推”的巧妙方法，故C正确； D．伽利略把斜面实验的结果推广到竖直情况，是思维方法的一种“升华”，这种方法被称为“合理外推”，故D错误。 故选C。 3．如图所示，从高度差为的a、b两点间隔先后静止释放两物体，两物体同时落地，不计空气阻力，重力加速度g取，则释放点a距地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设从b点静止释放另一物体后经过t时间落地，则从a点释放的物体下落的时间为，依题意有 代入数据解得 故释放点a距地面的高度为 故选A。 4．2024年巴黎奥运会上，17岁的全红婵在女子10米跳台跳水决赛中成功完成了207C动作，并获得了92.40的高分最终获得奥运金牌。207C是跳水运动中的一个高难度动作，指的是向后翻腾三周半抱膝。假设这一过程是自由落体运动且前三周翻腾时间是后半圈及调整入水动作时间的两倍，，则完成前三周翻腾时她离水面的高度为（    ） A．3.33m B．4.44m C．5.56m D．6.67m 【答案】C 【详解】假设前三周翻腾时间为2t，则跳水总时间为3t，则有 完成前三周翻腾时她离水面的高度为 故选C。 5．下列四幅图分别为速度v，下降高度h，以及加速度a随时间的变化关系，其中能反映自由落体运动规律图像的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】AC.物体做自由落体运动，初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动，下落速度为 所以应该是过原点的倾斜直线，故A错误，C正确； B.下落高度 所以图线应该是曲线，故B错误； D.自由落体加速度为恒定值，所以图是一条平行时间轴的直线，故D错误。 故选C。 6．小球（视为质点）从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图中0、1、2、3、4所示的小球在运动过程中每次曝光时的位置。已知频闪照相机连续两次曝光的时间间隔为0.1s，当地的重力加速度大小，不计空气阻力，则（　　） A．位置“0”是小球由静止释放的位置 B．每块砖的厚度为9.8cm C．小球经过位置“2”时的速度大小为1.96m/s D．该过程中小球下落相同的距离时所用的时间相同 【答案】B 【详解】A．小球由静止释放做自由落体运动，因此小球从释放点开始在连续相同时间内的位移之比为，对比题图可知，位置“0”不是小球由静止释放的位置，选项A错误； B．根据匀变速直线运动的规律可知，小球在相同相邻时间间隔内的位移之差，结合题图分析可知，解得每块砖的厚度 选项B正确； C．小球经过位置“2”时的速度大小 选项C错误； D．小球做自由落体运动，速度越来越大，因此下落相同的距离时所用的时间不相同，选项D错误； 故选B。 7．一矿井深80m，在井口每隔一定时间自由释放一个小球（下落过程可视为自由落体运动），当第9个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（重力加速度），则（    ） A．第1个小球落至井底时的速度为30m/s B．此时第1个小球与第2个小球相距45m C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.4s D．第1、2小球都在空中时，第1个小球相对第2个小球做匀速直线运动 【答案】D 【详解】C．第1个小球自由下落的时间满足 解得 根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第9个小球刚好在井口，因此空中存在8个相等的时间间隔，故相邻两个小球下落的时间间隔是 故C错误； A．第1个小球落至井底时的速度为 故A错误； B．此时第1个小球与第2个小球相距 故B错误； D．第1个小球与第2个小球的相对速度为 即第1个小球相对第2个小球做匀速运动。故D正确。 故选D。 8．一篮球（可视为质点）从离地面高h处自由下落，与地面碰撞后，反弹高度小于h。篮球与地面的碰撞时间和空气阻力均不计，取地面为原点，速度方向向下为正方向，下列反映篮球的速度和篮球离地面高度关于时间的图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．忽略空气阻力，篮球在下落与上升的过程中，加速度大小均为g，而v-t图像中的斜率表示加速度，即两段图线应相互平行，故A正确，B错误； C．x-t图像的斜率表示篮球的速度，下落过程速度越来越大，斜率越来越大，反弹过程速度越来越小，斜率越来越小，故C错误； D．由于下落和反弹过程的加速度相等，但反弹的高度小，所以时间短，D错误。 故选A。 9．2020年7月23日12时41分中国火星探测器“祝融号”在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，2021年5月22日10时40分到达火星表面，开始巡视探测。国际有关专家预测，人类能在2040年后能飞往火星。若一物体从火星表面竖直向上抛出（不计空气阻力）时的位移时间图像如图所示，则有（　　） A．该物体上升的时间为10s B．该物体被抛出时的初速度大小为5.0m/s C．该火星表面的重力加速度大小为 D．该物体从抛出到落回火星表面时的速度变化量大小为8m/s 【答案】C 【详解】A．由图可知，物体上升的最高点距火星表面20m，上升时间为5s，故A错误； C．由位移—时间公式有 可得该火星表面的重力加速度大小为 故C正确； B．由速度—时间公式有 该物体被抛出时的初速度大小为 m/s 故B错误； D．根据竖直上抛运动的对称性可知该物体从抛出到落回火星表面时的速度变化量大小为 m/s 故D错误。 故选C。 10．一杂技演员用4个相同的小球做单手抛接球表演，他从同一位置依次将各球略微偏离竖直方向向上抛出，当小球回到抛出点时，用手将小球接住，然后将小球从抛出点再抛出，小球间不发生碰撞，不计空气阻力。已知相邻两球之间的时间间隔相等，刚抛出第4个小球时，第1个小球和第3个小球在空中同一高度，则第3、4个小球间的距离与第1、2个小球间的距离之比为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】设抛出相邻两球之间的时间间隔为T，小球上升的最大高度相等为h，由自由落体运动位移公式可得 当抛出第4个小球后，经相等时间，第1个小球落回手里再抛出，则有 解得 根据上升与下降过程的对称性，可知第4个小球离开手的瞬间，第1个小球和第3个小球在空中同一高度，第2个小球运动到最高点，速度是零。则第1个小球与第2个小球间的距离为 此时第1个小球距抛出点的高度为 此时第1个小球和第3个小球在空中同一高度，则第3、4个小球间的距离为 则有第3、4个小球间的距离与第1、2个小球间的距离之比为 故选B。 二、多选题 11．在用频闪照相法研究自由落体运动规律的实验中，某同学让一金属小球自由下落，小球下落过程中频闪照片的部分示意图如图所示，小球由A到B和由B到C所用时间均为T，测得AB两点间的距离为，BC两点间的距离，空气阻力可忽略不计。该同学粗略计算小球运动的加速度大小和通过B点时的速度大小，下列表达式对的的是（    ） A．小球运动的加速度大小为 B．小球运动的加速度大小为 C．小球通过B点时的速度大小为 D．小球通过B点时的速度大小为 【答案】BC 【详解】根据匀变速直线运动推理 可得小球运动的加速度大小为 根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则小球通过B点时的速度大小为 故选BC。 12．一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5s内的位移是18m，则（　　） A．物体在2s末的速度是8m/s B．物体在第5s内的平均速度是3.6m/s C．物体在5s内的位移是50m D．物体自由下落的加速度是8m/s2 【答案】AC 【详解】AD．根据自由落体规律可得 解得该星球重力加速度为 则物体在2s末的速度为 故A正确，D错误； B．物体在第5s内的平均速度为 故B错误； C．根据自由落体规律可得物体在5s内的位移为 故C正确。 故选AC。 13．如图所示，在足够高的空间内，一小球位于粗细均匀且竖直空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心在管的轴线上，小球的直径小于管的内径，小球可以无阻碍地穿过空心管。现静止释放小球，让其做自由落体运动，释放小球的同时，空心管以初速度v0竖直上抛，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球一定能穿过空心管 B．h越小，小球穿过空心管的时间就越长 C．h越大，小球穿过空心管的时间就越短 D．小球穿过空心管的时间一定是，与h大小无关 【答案】AD 【详解】由于小球和空心管加速度相同，以空心管为参考系，可看成小球相对于空心管以v0向下匀速运动，则小球一定能穿过空心管，穿过空心管的时间为 与h大小无关。 故选AD。 14．伽利略在研究自由落体运动时，遇到了两个问题：①无精确的计时仪器；②无测瞬时速度的工具。他采用了一个很巧妙的方法，用来“冲淡”重力。如下图所示，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，经过实验证明小球沿斜面的运动是匀加速直线运动，且只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。由此他推断：自由落体运动也是匀变速直线运动.伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，对这一过程的分析，下列叙述正确的是（　　） A．丁实验可“冲淡”重力的作用，更容易测时间，解决了问题① B．伽利略利用替代解决了问题② C．甲是实验现象，丁是经过合理的逻辑推理得到的猜想结论 D．丁是实验现象，甲是经过合理的逻辑推理得到的猜想结论 【答案】BC 【详解】A．在伽利略时代，没有精确的计时仪器，因此伽利略让小球从斜面上滚下来用来“冲淡”重力，即利用斜面上小球的运动替代自由落体运动解决了问题①，丁是自由落体运动，故A项错误； B．在伽利略时代，技术不够发达，无法直接测定瞬时速度﹐所以不可能直接得到速度的变化规律，但是伽利略通过数学运算得出结论：如果物体的初速度为零，而且：，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化，小球是否做匀变速运动，即利用替代解决了问题②，故B项正确； CD．甲乙丙是实验现象，丁是经过合理外推得到的结论，故C正确，D错误。 故选BC。 15．如图所示，将乙小球从地面上以v0 = 8 m/s的初速度竖直向上抛出的同时，将甲小球从乙小球的正上方h = 12 m处由静止释放，两小球运动过程中的空气阻力忽略不计。取g = 10 m/s2，两小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．两小球在空中不相遇 B．两小球相遇时甲小球的速度大小为15 m/s C．乙小球抛出后0.8 s时两小球相遇 D．乙小球在下落过程中与甲小球相遇 【答案】BD 【详解】AC．设两球相遇的时间为t，则有 ， 又 解得 故AC错误； B．两小球相遇时甲小球的速度大小为 故B正确； D．乙小球上升到最高点所需时间为 有 即乙小球在下落过程中与甲小球相遇，故D正确。 故选BD。 三、实验题 16．某学习小组利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。电磁铁和两个光电门在同一竖直线上，为便于测量，刻度尺也固定在铁架台上。钢球被通电的电磁铁衔住，电磁铁断电即释放钢球，钢球先后经过两个光电门，光电门连接着数字传感器。在数字传感器里提前输入小球的宽度d后，数字传感器可根据测得的时间直接计算出小球通过光电门1和2的速度大小分别为和。多次改变两个光电门的位置，得到多组和、和的数据，建立如图乙所示的坐标系并描点连线，得出图线的斜率为k。 (1)若操作准确，利用图像可获得当地的重力加速度大小为 （用k表示）。 (2)某同学想使用一个光电门做实验，利用图像测量重力加速度，除拆除一个光电门外，还应该怎样调整器材装置， 。 (3)接第（2）问，该同学实验中，安装器材时，小球的释放点稍向左侧偏移了一些，导致小球经过光电门时，虽然小球也能遮光，但光线无法对准球心。用这样的装置进行实验，会导致重力加速度的测量值 （选填“偏小”“偏大”或“不变”）。 【答案】(1) (2)多次改变调整光电门的位置，从而得到多组和的数据 (3)偏大 【详解】（1）钢球做自由落体运动，根据动力学公式 图像的斜率为 解得当地的重力加速度大小为 （2）某同学想使用一个光电门做实验，利用图像测量重力加速度，除拆除一个光电门外，还需多次改变调整光电门的位置，从而得到多组和的数据。 （3）设小球通过光电门的时间为，根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度，小球通过光电门的速度为 测得的重力加速度为 若某同学在安装器材时小球的释放点稍向左边偏移了一些，导致小球经过光电门时，虽然小球也能遮光，但光线无法对准球心，则实际挡光宽度小于小球直径d，可知重力加速度的测量值偏大。 四、解答题 17．如图所示，一滴雨滴从离地面20m高的楼房屋檐自由下落，下落5m时，到达窗口上沿，再经的时间通过窗口，g取10m/s2，问： (1)雨滴落地前瞬间的速度大小； (2)窗口的高度h； (3)该雨滴最后1s内下落的平均速度大小。 【答案】（1）20m/s；（2）2.2m；（3）15m/s 【详解】（1）根据速度—位移公式，代入数据可得雨滴落地的速度为 （2）设雨滴在到达窗口上沿时的速度为，有 则窗口的高度为 （3）雨滴前1s的位移为 雨滴落地需要的时间为 则雨滴落地前最后1s内的位移等于 可得平均速度 18．如图所示，在离地面高H处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，距离小球抛出点的正下方处有一辆长的静止小车，已知小球落地前最后1s内下落的高度为25m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取。 (1)求小球抛出点离地面的高度H； (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，通过计算说明小车是否会被小球砸到。若能，求小球砸到小车上的位置到M点的距离。若不能，求小球落地点到M点的距离； (3)若小车在小球的左侧且M端距离小球抛出点的正下方，当小球抛出2s时，小车以的初速度向小球正下方做匀变速运动，为了避免小球砸到小车，求小车做匀变速运动加速度a的大小取值范围？ 【答案】(1) (2)小车会被小球砸到， (3)见解析 【详解】（1）设小球从最高点下落至地面所用的时间为t，最大高度为h，则有 解得 ， 则小球抛出点离地面的高度为 （2）若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，则小球下落至地面时，小车通过的位移大小为 由于 则小车会被小球砸到；小球砸到小车上的位置到M点的距离为 （3）若小车在小球的左侧且M端距离小球抛出点的正下方，当小球抛出2s时，小车以的初速度向小球正下方做匀变速运动，可知小球从抛出2s到下落至地面所用时间为 若小车做匀加速直线运动，当小球到达地面时，N端刚好到达小球正下方，则有 解得 当小球到达地面时，M端刚好到达小球正下方，则有 解得 则当车加速时，可避免小球砸到小车。 则当车减速时，可避免小球砸到小车。 学科网（北京）股份有限公司 $$