第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型（讲义）-【划重点】2024-2025学年高二物理上学期中期末复习精细讲义

第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型 ——划重点之高二期中期末复习精细讲义 考点1 电场中的功能关系 考点2 重电复合场中的直线及类抛体运动模型 考点3 重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 考点1：电场中的功能关系 1.求电场力做功的四种方法 定义式法 WAB＝Flcosα＝qEdcosα（此公式只适用于匀强电场）可变形为：W＝qEd（d＝lcos α） d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。 非匀强电场中可判断大小。 电势差法 WAB＝qUAB＝q（φA－φB）此公式适用于任何电场 ①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定电场力做正功还是负功 ②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝，若UAB>0，则φA－φB>0，即φA>φB；若UAB<0，则φA－φB<0，即φA<φB 动能定理法 W电＋W其他＝ΔEk 此公式适用于任何电场 功能关系法 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB 此公式适用于任何电场 2.电场中的功能关系 各种力做功 对应能的变化 定量的关系 只有电场力做功 动能和电势能之间相互转化，动能（Ek）和电势能（Ep电）的总和守恒 ①W电＝－ΔEp电＝ΔEk ②电场力做正功，电势能减少，动能增加 ③电场力做负功，电势能增加，动能减少 只有电场力和重力做功 电势能、重力势能、动能之和保持不变 W电+WG＝－（ΔEp电+ΔEp重）=ΔEk 多个力做功 多种形式的能量转化，要根据不同的力对应不同形式的能量分析 W电＋W其他＝ΔEk 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机 械能变化 机械能守恒ΔE＝0 W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功 机械能的改变量（ΔE） 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和 因摩擦而产生的内能（Q） 滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移） W合：合外力的功 （所有外力的功） 动能的改变量（ΔEk） 合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 3.电场中功能关系问题的分析方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1）受力情况分析和运动情况分析。 （2）分析各力做功的情况，做正功还是负功。 （3）分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。 （4）选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。 4.解题思路—单个物体或连接体 （1）处于平衡状态： ①利用整体法或隔离法进行受力分析； ②列平衡方程； ③寻找连接体间的关联量。 （2）运动状态： ①利用隔离法进行受力分析； ②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程； ③寻找连接体间的关联方程。 【典例1】如图所示，半圆槽光滑且绝缘，固定在水平面上，圆心是，最低点是，直径水平，、是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），固定在点，从点由静止释放，沿半圆槽运动经过点时速度为零，则下列说法错误的是（    ） A．小球从到的过程中，动能先增大后减小 B．小球从到的过程中，库仑力增大 C．小球从到的过程中，重力势能减少量等于电势能增加量 D．小球从到的过程中，电势能一直减小 【典例2】如图所示，一块足够大的粗糙绝缘薄板竖直固定，且与等量异种点电荷连线的中垂面重合，A、O、B为薄板上同一竖直线上的三点，O在点电荷的连线上，，一个带电小物块（可视为质点）从A点以初速度竖直向下运动，最后静止在B点，不考虑物块电荷量的变化，则物块从A运动到B的过程中（　　） A．速度一直减小，经过O点时的速度为 B．加速度先减小后增大，经过O点时加速度最小 C．电势能先减小后增大，经过O点时电势能最小 D．机械能一直减小，AO段损失的机械能比OB段损失的机械能多 【典例3】如图所示，质量均为的滑块不带电，B带正电电荷量为套在固定竖直杆上，B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过铰链及长度为的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电场强度为的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知均视为质点，重力加速度为，不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（　　） A．A的机械能最小时，B的加速度大小为 B．A运动到最低点时，B的速度为零 C．A、B组成的系统机械能不守恒 D．A运动到最低点时，滑块A速度大小为 【典例4】（多选）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C（均可视为点电荷），质量为m，带电量为，A、B之间与B、C之间各装有一根长为L的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质铰链连接。A、C放在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图（a）所示。现解除锁定，直至B刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为g，以无限远处为零电势点，距离电荷量为Q的点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（　　） A．初始时刻，A、B、C系统所具有的电势能为 B．B落地时，A、B、C系统所具有的电势能为 C．该过程中，A、B、C系统的机械能守恒 D．B落地时的速度大小为 【典例5】（多选）如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别是2m和m。劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ的绝缘斜面处于沿斜面向上的匀强电场中。开始时，物体B受到沿斜面向上的外力的作用而保持静止，且轻绳恰好伸直。现撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度，不计一切摩擦。则在此过程中（　　） A．物体B所受电场力大小为 B．B的速度最大时，弹簧的伸长量为 C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为 D．物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量 考点2：重电复合场中的直线及类抛体运动模型 1.重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 2.重电复合场中的类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。 3.直线及类抛体运动的条件总结 【典例6】某空间有平行于纸面的匀强电场，一带电荷量为（）的质点（重力不计）在如图所示的恒定拉力F的作用下由M点开始沿直线匀速运动到N点。图中电场未画出，拉力F和直线MN间的夹角为，M、N两点间的距离为d，则下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．M、N两点的电势差为 C．带电质点由M点运动到N点的过程中，电势能减少了 D．若要使带电质点由N点向M点做匀速直线运动，则F必须反向 【典例7】（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为L，两极板间距离为d。一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上极板的右端点和下极板的左端点接触，如图所示。一质量为m、带电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中带电小球的加速度大小为2g B．若，则带电小球垂直落在挡板上 C．此过程所需的时间为 D．在此过程中电场力对带电小球做的功为mgd 【典例8】（多选）空间存在一匀强电场，将一质量为、带电荷量为的小球从一水平线上的点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为，经历时间回到点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的点，为小球运动轨迹的最高点．电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A．第一次抛出后，小球做匀变速曲线运动 B． C．电场沿水平方向时，电势差 D．电场强度的最小值为 【典例9】（多选）如图所示，水平放置的平行板电容器上下极板分别带有等量异种电荷，电荷量大小均为，两极板间距为，质量为电荷量为的带负电微粒从上极板的边缘以初速度射入，恰好沿直线从下极板边缘射出，重力加速度为。则（　　） A．两极板间的电压 B．微粒的机械能减小 C．电容器的电容 D．保持不变，仅将极板向下平移，微粒仍沿直线从极板间射出 【典例10】（多选）如图所示，在空间中水平面MN的下方分布着方向竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方距MN高度为h的A点以一定的初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平。已知A、B、C三点在同一直线上，AB=2BC，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球从B点运动到C点的时间为从A点运动到B点的时间的2倍 C．匀强电场的电场强度大小为 D．小球从B点到C点电势能增加了 考点3：重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 1.模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 2.解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 3.模型图 【典例11】（多选）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到D点时的动能最小 B．小球运动到B点时的机械能最大 C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为 D．若，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动 【典例12】（多选）如图所示，绝缘光滑轨道ABCD竖直放在与水平方向成的匀强电场中，其中BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为m、电荷量为的小球（大小忽略不计），放在水平面上A点由静止开始释放，恰好能通过半圆轨道最高点D，落地时恰好落在B点。下列说法正确的是（    ） A．电场强度 B．起点A距B点的距离 C．过D点的速度为 D．AB两点的电势差为 【典例13】（多选）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得初速度的大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为 D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【典例14】如图所示，ABCD是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径AC方向建立x轴，竖直直径BD方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球落回到A点时的速率； (2)电场强度的大小； (3)小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小。 【典例15】如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直固定放置，其半径为，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，半圆轨道最低点与一水平粗糙绝缘轨道相切于点。一小滑块（可视为质点）带正电且电荷量为，质量为，与水平轨道间的滑动摩擦力大小为，现将小滑块从水平轨道的点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点。已知电场强度大小为，重力加速度大小为，求： (1)小滑块在最高点的速度大小； (2)点距半圆轨道最低点的水平距离； (3)小滑块通过半圆轨道中点时，小滑块对轨道的压力的大小。 一、单选题 1．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（　　） A．电场强度的最小值等于 B．电场强度的最大值等于 C．带电油滴的机械能不可能增加 D．静电力可能对带电油滴不做功 2．一质量为m，电荷量为q的带负电的小球，以初速度从匀强电场中的A点水平抛出后经过某一定点B，如图所示，电场强度大小为，方向竖直向下。下列说法正确的是（　　） A．可以计算经过B点的时间 B．可以计算经过B点时的竖直方向的速度 C．初速度为，要使小球仍能经过B点，电场强度大小为 D．只要能够经过B点，过B点时的速度偏向角为一定值，与初速度大小无关 3．如图所示，空间内存在方向与竖直方向夹角为60°的匀强电场，用绝缘细绳悬挂质量为m、电荷量为q的带电小球，平衡时绝缘细绳与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．电场强度大小为 C．剪断绝缘细绳后小球做匀变速曲线运动 D．撤去电场的瞬间，小球的瞬时加速度为 4．真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为m、带电的小球在B点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长度为l，重力加速度为g，，。下列说法正确的是（    ） A．小球带负电 B．电场强度的大小 C．若将小球从A点由静止释放，则小球从A点运动到C点的过程中电势能增加了0.75mgl D．若将小球从A点由静止释放，则小球运动到C点受到细线的拉力大小为3mg 5．如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势沿x轴的分布如图所示，、、、是x轴上的四个点，质量为m、带电量为的粒子（不计重力），以初速度从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．从到点的过程中，粒子的电势能先增大后减小 C．若粒子能到达处，则的大小至少应为 D．若，则粒子在运动过程中的最大动能为 二、多选题 6．如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为M，最低点为N，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从M点运动到N点的过程中，电势能增大 B．小球从M点运动到N点的过程中，机械能减少，是因为静电力做负功 C．小球带正电 D．小球在N点受到绳的拉力最大，在M点受到绳的拉力最小 7．如图所示，足够长的倾角为30°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有与斜面平行向上的匀强电场，一质量为0.1kg、带正电的物块（视为质点）以一定的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为、方向沿斜面向下，取重力加速度大小，则在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块的机械能和电势能之和减小 B．物块受到的电场力大于0.2N C．电场力做的功小于物块克服摩擦力与克服重力做的功之和 D．物块的机械能守恒 8．如图所示，带电量为的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。将质量为、带电量为的小滑块从斜面上A点静止释放，经过B点时加速度为零，后继续运动至D点。已知O、A两点等高，，重力加速度大小取，静电力常量，下列关于小滑块的说法正确的是（　　） A．经过C点时机械能最小 B．从A到D过程中电势能和动能之和变小 C．电荷量q为 D．在D点时的速度为 9．如图所示，带正电的小球A固定在竖直坐标轴的原点处，在h和2h处产生的电场强度大小分别为和。带电小球B在h处由静止释放，恰好能运动到2h处。已知单个点电荷Q周围空间某点的电势（取无穷远处电势为零），r为该点到点电荷的距离。两个小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球B带正电 B． C．小球B在处速度最大 D．若小球B在处由静止释放，到达处的速度大小为 10．如图所示，空间某水平面内固定一均匀带电圆环，电荷量为Q，其圆心为O。P、Q是圆环轴线上关于圆心O对称的两点，间距为L，有一电荷量为q的小球恰能静止在P点，P点与圆环上任意一点的连线与间的夹角均为。已知静电力常量为k，重力加速度为g，现给小球一沿方向的初速度，下列说法正确的是（    ） A．小球从P点运动到O点的过程中，做加速运动 B．小球的质量为 C．小球运动到Q点时的加速度为0 D．小球运动到Q点的速度大小为 11．空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q），在A点速度为v1，方向水平向右，至B点速度为v2，v2与水平方向间夹角为，A、B间高度差为H，以下判断不正确的是（　　） A．A、B两点间电势差 B．小球由A至B，电势能的减少量为 C．小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加 D．小球重力在B点的瞬时功率为mgv2cos 12．如图所示，可视为质点的带电滑块b固定在绝缘粗糙的水平面上，另一可视为质点的带电滑块a由M点以初速度v0沿水平面向左运动，当其运动到图中的N点时速度最小，为v。已知滑块a所带的电荷量为+q、质量为m，整个过程所受的摩擦力恒为Ff，滑块b所带的电荷量为−Q，xMN = d，静电力常量为k。则下列说法正确的是（　　） A．滑块a由M向N运动的过程中，库仑力逐渐增大，加速度逐渐减小 B．滑块a由M向N运动的过程中，克服摩擦力做功的值等于电势能的减少量 C．N点到滑块b所在位置的距离为 D．滑块b形成的电场中，M、N两点的电势差大小为 三、解答题 13．研究人员利用电场控制带电物体的运动，如图所示，实验区域内充满与水平面夹角斜向上的匀强电场，电场强度大小。BC为竖直固定的绝缘光滑半圆弧轨道，O为圆心，半径，圆弧BC与绝缘光滑水平面AB平滑连接并相切于B点，间距离。一质量、电荷量的带正电小球，轻放于水平面上A点，一段时间后，小球从C点飞出，立即撤去圆弧轨道。不考虑空气阻力，重力加速度，求： (1)小球通过C点时的速度大小； (2)小球通过C点时对圆弧轨道的压力大小； (3)小球从圆弧轨道C点飞出后，运动到距C点1.5m处所用的时间。 14．如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球从A点开始到达B点的过程中电场力做的功； (2)小球从A点开始到达C点的过程中，小球的电势能变化了多少； (3)小球从A点开始到达C点的过程中对轨道的最大压力。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型 ——划重点之高二期中期末复习精细讲义 考点1 电场中的功能关系 考点2 重电复合场中的直线及类抛体运动模型 考点3 重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 考点1：电场中的功能关系 1.求电场力做功的四种方法 定义式法 WAB＝Flcosα＝qEdcosα（此公式只适用于匀强电场）可变形为：W＝qEd（d＝lcos α） d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。 非匀强电场中可判断大小。 电势差法 WAB＝qUAB＝q（φA－φB）此公式适用于任何电场 ①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定电场力做正功还是负功 ②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝，若UAB>0，则φA－φB>0，即φA>φB；若UAB<0，则φA－φB<0，即φA<φB 动能定理法 W电＋W其他＝ΔEk 此公式适用于任何电场 功能关系法 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB 此公式适用于任何电场 2.电场中的功能关系 各种力做功 对应能的变化 定量的关系 只有电场力做功 动能和电势能之间相互转化，动能（Ek）和电势能（Ep电）的总和守恒 ①W电＝－ΔEp电＝ΔEk ②电场力做正功，电势能减少，动能增加 ③电场力做负功，电势能增加，动能减少 只有电场力和重力做功 电势能、重力势能、动能之和保持不变 W电+WG＝－（ΔEp电+ΔEp重）=ΔEk 多个力做功 多种形式的能量转化，要根据不同的力对应不同形式的能量分析 W电＋W其他＝ΔEk 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机 械能变化 机械能守恒ΔE＝0 W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功 机械能的改变量（ΔE） 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和 因摩擦而产生的内能（Q） 滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移） W合：合外力的功 （所有外力的功） 动能的改变量（ΔEk） 合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 3.电场中功能关系问题的分析方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1）受力情况分析和运动情况分析。 （2）分析各力做功的情况，做正功还是负功。 （3）分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。 （4）选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。 4.解题思路—单个物体或连接体 （1）处于平衡状态： ①利用整体法或隔离法进行受力分析； ②列平衡方程； ③寻找连接体间的关联量。 （2）运动状态： ①利用隔离法进行受力分析； ②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程； ③寻找连接体间的关联方程。 【典例1】如图所示，半圆槽光滑且绝缘，固定在水平面上，圆心是，最低点是，直径水平，、是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），固定在点，从点由静止释放，沿半圆槽运动经过点时速度为零，则下列说法错误的是（    ） A．小球从到的过程中，动能先增大后减小 B．小球从到的过程中，库仑力增大 C．小球从到的过程中，重力势能减少量等于电势能增加量 D．小球从到的过程中，电势能一直减小 【答案】D 【详解】BD．小球从N到P的过程中，a、b两小球距离逐渐变小，根据库仑定律可知，库仑力增大，且库仑斥力对小球一直做负功，则a球电势能一直增加，故B正确，不满足题意要求；D错误，满足题意要求； A．小球从N到P的过程中，重力沿曲面切线的分量逐渐减小到零且重力沿曲面切线的分量是动力，库仑斥力沿曲面切线的分量由零逐渐增大且库仑斥力沿曲面切线的分量是阻力，则从N到P的过程中，a球速率先增大后减小，动能先增大后减小，故A正确，不满足题意要求； C．在从N到P的过程中，由于初末动能均为0，根据能量守恒可知，重力势能减少量等于电势能增加量，故C正确，不满足题意要求。 故选D。 【典例2】如图所示，一块足够大的粗糙绝缘薄板竖直固定，且与等量异种点电荷连线的中垂面重合，A、O、B为薄板上同一竖直线上的三点，O在点电荷的连线上，，一个带电小物块（可视为质点）从A点以初速度竖直向下运动，最后静止在B点，不考虑物块电荷量的变化，则物块从A运动到B的过程中（　　） A．速度一直减小，经过O点时的速度为 B．加速度先减小后增大，经过O点时加速度最小 C．电势能先减小后增大，经过O点时电势能最小 D．机械能一直减小，AO段损失的机械能比OB段损失的机械能多 【答案】A 【详解】A．根据叠加场的对称性可知，小物块从A到O过程与从O到B过程中克服摩擦力做功相同，设每段摩擦力做功为、在O时物块的速度为、，对AO段和OB段，根据动能定理可得 联合解得 A正确； B．由于小物块最后静止在B点，因此小物块受到重力、电场力、薄板支持力和摩擦力的作用，可知小物块带正电，从A到O的过程中，电场强度越来越大，则电场力越来越大，由于小物块在水平方向上受力平衡，可知小物块对薄板的压力增大，从而滑动摩擦力增大，根据 可知，加速度增大。根据叠加场的对称性可知，从O到B的过程中，电场强度越来越小，电场力越来越小，滑动摩擦力逐渐减小，加速度逐渐减小。因此A运动到B的过程中加速度先增大后减小，经过O点时加速度最大，B错误； C．由于AB是一等势线，小物块从A到B电势能不变，C错误； D．由于物块在AO段和OB段损失的机械能都为克服摩擦力做的功，因此AO段和OB段损失的机械相同，D错误； 故选A。 【典例3】如图所示，质量均为的滑块不带电，B带正电电荷量为套在固定竖直杆上，B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过铰链及长度为的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施加水平向右电场强度为的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知均视为质点，重力加速度为，不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（　　） A．A的机械能最小时，B的加速度大小为 B．A运动到最低点时，B的速度为零 C．A、B组成的系统机械能不守恒 D．A运动到最低点时，滑块A速度大小为 【答案】D 【详解】A．杆先对A做负功后对A做正功，当杆的作用力为0时，A的机械能最小，此时B仅受电场力，故B的加速度大小为 ，故A正确； B．根据关联问题可知，A到最低点时B的速度为0，故B正确； C．A、B组成的系统因有电场力做功，故机械能不守恒，故C正确； D．A落地的瞬时，B的速度为0，根据系统能量守恒有 解得 故D错误。 故选D。 【典例4】（多选）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C（均可视为点电荷），质量为m，带电量为，A、B之间与B、C之间各装有一根长为L的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质铰链连接。A、C放在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图（a）所示。现解除锁定，直至B刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为g，以无限远处为零电势点，距离电荷量为Q的点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（　　） A．初始时刻，A、B、C系统所具有的电势能为 B．B落地时，A、B、C系统所具有的电势能为 C．该过程中，A、B、C系统的机械能守恒 D．B落地时的速度大小为 【答案】AD 【详解】A．电势能等于将电荷移到无穷远，电场力做的功，故A、B、C系统的电势能可认为分别将C、B小球搬到无穷远电场力做的功。初始时刻，先将C球移到无穷远，电场力做功等于 再将B球移到无穷远，电场力做功等于 故系统的电势能等于做的总功，即 故A正确； B．B球刚好要落地时，将C球移到无穷远，电场力做功等于 再将B球移到无穷远，电场力做功等于 故系统的电势能等于做的总功，即 故B错误； C．该过程，系统电势能减小，因此机械能增加，故C错误； D．由能量守恒有 解得 故D正确。 故选AD。 【典例5】（多选）如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别是2m和m。劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ的绝缘斜面处于沿斜面向上的匀强电场中。开始时，物体B受到沿斜面向上的外力的作用而保持静止，且轻绳恰好伸直。现撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度，不计一切摩擦。则在此过程中（　　） A．物体B所受电场力大小为 B．B的速度最大时，弹簧的伸长量为 C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为 D．物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量 【答案】AB 【详解】A．当施加外力时，对B分析，根据平衡条件可知电场力平行斜面向下，则有 解得 故A正确； B．当B受到的合力为零时，B的速度最大，对A分析有 对B分析有 则有 结合上述解得 故B正确； C．当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，当撤去外力F的瞬间物体A、B受到的合外力为 解得 故C错误； D．结合上述可知，B向下运动过程中，B所受电场力做正功，电势能减小，可知，弹簧、A、B与地球构成的系统的机械能增大，则物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量不等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量，故D错误。 故选AB。 考点2：重电复合场中的直线及类抛体运动模型 1.重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 2.重电复合场中的类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。 3.直线及类抛体运动的条件总结 【典例6】某空间有平行于纸面的匀强电场，一带电荷量为（）的质点（重力不计）在如图所示的恒定拉力F的作用下由M点开始沿直线匀速运动到N点。图中电场未画出，拉力F和直线MN间的夹角为，M、N两点间的距离为d，则下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．M、N两点的电势差为 C．带电质点由M点运动到N点的过程中，电势能减少了 D．若要使带电质点由N点向M点做匀速直线运动，则F必须反向 【答案】B 【详解】A．带电质点做匀速直线运动，质点受拉力F和电场力两个力的作用，则这两个力等大反向，电场线方向沿F方向，场强大小 A错误。 B．在带电质点由M点运动到N点的过程中，根据动能定理得 解得 B正确。 C．带电质点由M点运动到N点的过程中，电场力做功 电势能增加了，C错误。 D．带电质点在匀强电场中受到的电场力恒定不变，根据平衡条件，若要使带电质点由N点向M点做匀速直线运动，拉力F的方向应保持不变，D错误。 故选B。 【典例7】（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为L，两极板间距离为d。一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上极板的右端点和下极板的左端点接触，如图所示。一质量为m、带电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中带电小球的加速度大小为2g B．若，则带电小球垂直落在挡板上 C．此过程所需的时间为 D．在此过程中电场力对带电小球做的功为mgd 【答案】AB 【详解】A．带电小球所受电场力与重力同向，根据牛顿第二定律可得小球在此运动过程中的加速度大小 A正确； B．小球做类平抛运动，画出小球的运动轨迹，如图所示，设挡板的倾角为，小球落在挡板上时的速度偏向角为，若小球垂直落在挡板上，有 根据类平抛运动的相关推论及几何知识可得 而 可得 B正确； C．小球在此过程中，在竖直方向上有 解得 C错误； D．在此过程中电场力对带电小球做的功 D错误。 故选AB。 【典例8】（多选）空间存在一匀强电场，将一质量为、带电荷量为的小球从一水平线上的点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为，经历时间回到点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的点，为小球运动轨迹的最高点．电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A．第一次抛出后，小球做匀变速曲线运动 B． C．电场沿水平方向时，电势差 D．电场强度的最小值为 【答案】BC 【详解】A．第一次抛出后，小球回到A点，说明重力与电场力的合力恰好与的方向相反，小球做匀变速直线运动，故A错误； B．两次小球的竖直加速度相同，则第一次 第二次 解得 故B正确； C．电场沿水平方向时，小球在水平方向做初速度为零的匀加速运动，则 根据 可知，电势差 故C正确； D．当电场力方向与第一次抛出时的初速度方向垂直时场强最小，则此时 电场强度的最小值为 故D错误。 故选BC。 【典例9】（多选）如图所示，水平放置的平行板电容器上下极板分别带有等量异种电荷，电荷量大小均为，两极板间距为，质量为电荷量为的带负电微粒从上极板的边缘以初速度射入，恰好沿直线从下极板边缘射出，重力加速度为。则（　　） A．两极板间的电压 B．微粒的机械能减小 C．电容器的电容 D．保持不变，仅将极板向下平移，微粒仍沿直线从极板间射出 【答案】BCD 【详解】A．因为带电微粒做直线运动，则微粒受力平衡，根据平衡条件有 得 负电荷受电场力方向向上，所以电场方向竖直向下，则 所以 故A错误； B．重力做功mgd，微粒的重力势能减小，由于微粒做匀速直线运动，动能不变，根据能量守恒定律得知，微粒的重力势能减小了，故B正确； C．电容器的电容 故C正确； D．在不变时，仅将极板向下平移，由 知电场强度不变，微粒仍受力平衡，微粒仍沿直线从极板间射出，故D正确。 故选BCD。 【典例10】（多选）如图所示，在空间中水平面MN的下方分布着方向竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方距MN高度为h的A点以一定的初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平。已知A、B、C三点在同一直线上，AB=2BC，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球从B点运动到C点的时间为从A点运动到B点的时间的2倍 C．匀强电场的电场强度大小为 D．小球从B点到C点电势能增加了 【答案】AD 【详解】A．从B到C小球在竖直方向上做减速运动，即所受合力竖直向上，因此可以判断小球所受电场力竖直向上，小球带负电，故A正确； B．小球在水平方向做匀速直线运动，A、B、C三点在同一直线上，而小球从A到B与从B到C的水平位移之比为2:1，则小球从A到B与从B到C的运动时间之比为2:1，所以小球从A点运动到B点的时间为从B点运动到C点的时间的2倍，故B错误； C．在竖直方向上，小球从A到B做匀加速运动，加速度大小为g，从B到C做匀减速运动，竖直位移之比为2:1，而时间之比为2:1，所以加速度之比为1:2，即B到C加速度大小为2g，根据牛顿第二定律有 解得 故C错误； D．小球从B点到C点，电势能增加量为 故D正确。 故选AD。 考点3：重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 1.模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 2.解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 3.模型图 【典例11】（多选）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到D点时的动能最小 B．小球运动到B点时的机械能最大 C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为 D．若，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动 【答案】BD 【详解】A．小球除受重力外，还受到水平向右的电场力，根据等效重力场的思想，D点并非等效最高点，故小球运动到D点时的动能并非最小，A错误； B．小球具有机械能和电势能，且机械能和电势能之和保持不变，B点电势最低，小球带正电，电势能也最小，因此小球在B点机械能最大，B正确； C．小球所受电场力为 设重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为，则 C错误； D．为使小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，需要小球恰好能够经过等效最高点M点，如图所示 对小球处于M点时进行分析，根据牛顿第二定律得 对小球从C到M的过程分析，根据动能定理得 联立解得 D正确。 故选BD。 【典例12】（多选）如图所示，绝缘光滑轨道ABCD竖直放在与水平方向成的匀强电场中，其中BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为m、电荷量为的小球（大小忽略不计），放在水平面上A点由静止开始释放，恰好能通过半圆轨道最高点D，落地时恰好落在B点。下列说法正确的是（    ） A．电场强度 B．起点A距B点的距离 C．过D点的速度为 D．AB两点的电势差为 【答案】BD 【详解】A．当小球通过D点时，设速度为v，由牛顿第二定律得 小球通过D点后的运动：水平方向做匀变速直线运动，落地时恰好落在B点，即 根据牛顿第二定律 竖直方向做匀加速直线运动 根据牛顿第二定律 又 联立解得 故A错误； B．由A到D的过程，由动能定理得 联立解得 故B正确； C．在D点由重力和电场力的竖直分力共同提供向心力，则 解得过D点的速度为 故C错误； D．AB两点的电势差为 故D正确。 故选BD。 【典例13】（多选）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得初速度的大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为 D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】AB 【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析如图 小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 解得 A正确； B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 则小球从初始位置运动到A点的过程中，由动能定理可得 联立解得小球获得初速度的大小为 B正确； C．由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端电场力做负功，故机械能减小，减小的机械能为 C错误； D．小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，D错误。 故选AB。 【典例14】如图所示，ABCD是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径AC方向建立x轴，竖直直径BD方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球落回到A点时的速率； (2)电场强度的大小； (3)小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球离开D点时的速率为，由D落回到A的时间为t，则由平抛运动规律有 解得 小球落回到A时的速率为，根据动能定理有 解得 （2）小球从A到D的过程中，根据动能定理有 解得 （3）小球通过轨道最低点B处时的速率为，轨道对小球的支持力为F，则有 根据合力提供向心力有 解得 小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小 【典例15】如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直固定放置，其半径为，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，半圆轨道最低点与一水平粗糙绝缘轨道相切于点。一小滑块（可视为质点）带正电且电荷量为，质量为，与水平轨道间的滑动摩擦力大小为，现将小滑块从水平轨道的点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点。已知电场强度大小为，重力加速度大小为，求： (1)小滑块在最高点的速度大小； (2)点距半圆轨道最低点的水平距离； (3)小滑块通过半圆轨道中点时，小滑块对轨道的压力的大小。 【答案】(1) (2)R (3)12mg 【详解】（1）小滑块在最高点H时，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律有 解得 （2）小滑块从M点到H点过程中，由动能定理得 解得 L=R （3）根据题意，小滑块从P点到H点过程中，由动能定理有 在P点，设轨道对小滑块的弹力为F′，由牛顿第二定律有 解得 F′=12mg 由牛顿第三定律可得，在P点小滑块对轨道的弹力大小为 F=F′=12mg 一、单选题 1．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（　　） A．电场强度的最小值等于 B．电场强度的最大值等于 C．带电油滴的机械能不可能增加 D．静电力可能对带电油滴不做功 【答案】D 【详解】AB．带电油滴的运动轨迹为直线，在电场中受到重力mg和静电力F，其合力必定沿此直线向下，根据三角形定则作出合力，如图 由图可知，当静电力F与油滴轨迹垂直时，静电力F最小，场强最小，则有 得到 由图可知，电场强度无最大值，故AB错误； D．当时，静电力方向与速度方向垂直，静电力不做功，带电油滴的电势能一定不变；这种情况下只有重力做功，带电油滴的机械能不变，故D正确； C．当时，静电力方向与速度方向成锐角时，静电力做正功，带电油滴的机械能增加，故C错误。 故选D。 2．一质量为m，电荷量为q的带负电的小球，以初速度从匀强电场中的A点水平抛出后经过某一定点B，如图所示，电场强度大小为，方向竖直向下。下列说法正确的是（　　） A．可以计算经过B点的时间 B．可以计算经过B点时的竖直方向的速度 C．初速度为，要使小球仍能经过B点，电场强度大小为 D．只要能够经过B点，过B点时的速度偏向角为一定值，与初速度大小无关 【答案】D 【详解】AB．小球所受合力 加速度 A、B间的水平或竖直距离未知，无法计算经过B点的时间和竖直速度，故AB错误； C．小球经过B点，竖直方向位移 解得 故C错误； D．由 AB两点位置确定，偏向角大小就确定，故D正确。 故选D。 3．如图所示，空间内存在方向与竖直方向夹角为60°的匀强电场，用绝缘细绳悬挂质量为m、电荷量为q的带电小球，平衡时绝缘细绳与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．电场强度大小为 C．剪断绝缘细绳后小球做匀变速曲线运动 D．撤去电场的瞬间，小球的瞬时加速度为 【答案】D 【详解】A．小球受到重力、绳的拉力与电场力处于平衡，根据平衡条件可知，电场力的方向一定与电场强度方向相同，则小球带正电，故A错误； B．对小球进行受力分析，如图所示 则有 解得 故B错误； C．剪断绝缘细绳后，小球受到重力与电场力，结合上述可知，合力大小一定，方向沿绳的反方向，由于初速度为0，则小球将做匀加速直线运动，故C错误； D．撤去电场的瞬间，小球随后将做圆周运动，初速度为0，撤去电场瞬间，所需向心力为0，即沿半径方向所受合力为0，则有 解得 故D正确。 故选D。 4．真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为m、带电的小球在B点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长度为l，重力加速度为g，，。下列说法正确的是（    ） A．小球带负电 B．电场强度的大小 C．若将小球从A点由静止释放，则小球从A点运动到C点的过程中电势能增加了0.75mgl D．若将小球从A点由静止释放，则小球运动到C点受到细线的拉力大小为3mg 【答案】C 【详解】AB．小球在B点处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示 小球所受电场力方向与电场强度方向相同，可知小球带正电，根据平衡条件有 解得 故AB错误； C．若将小球从A点由静止释放，小球将做圆周运动到达C点，电场力做负功，电势能增加了 故C正确； D．根据动能定理有 小球在C点，根据牛顿第二定律有 解得 故D错误。 故选C。 5．如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势沿x轴的分布如图所示，、、、是x轴上的四个点，质量为m、带电量为的粒子（不计重力），以初速度从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．从到点的过程中，粒子的电势能先增大后减小 C．若粒子能到达处，则的大小至少应为 D．若，则粒子在运动过程中的最大动能为 【答案】D 【详解】A．在图像，图线的斜率表示电场强度的大小，由图可知处图线的斜率小于处图线的斜率，则处的电场强度小于处的电场强度，故A错误； B．粒子从运动到的过程中，电势不断降低，负电荷的电势能不断增大；故B错误； C．粒子能运动恰好运动到处，就能运动到处。设粒子恰能运动运动到处，初速度最小，根据动能定理得 解得： 所以若小球能运动到处，则初速度v0至少为，故C错误； D．当带电粒子运动到处时，电场力做正功最大，粒子的速度最大，根据动能定理得： 解得最大动能为 故D正确。 故选D。 二、多选题 6．如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为M，最低点为N，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球从M点运动到N点的过程中，电势能增大 B．小球从M点运动到N点的过程中，机械能减少，是因为静电力做负功 C．小球带正电 D．小球在N点受到绳的拉力最大，在M点受到绳的拉力最小 【答案】AB 【详解】C．小球在竖直平面内做匀速圆周运动，受到重力、静电力和细绳的拉力，所以静电力与重力平衡，则知小球带负电，故C错误； AB．由图可知M点电势高于N点的电势，小球带负电，所以小球在M点的电势能低于N点的电势能，则小球从M点运动到N点的过程中，电势能增大，根据电场力做功与电势能变化的关系可知，电场力做负功，根据能量守恒定律可知，小球的机械能减少，故AB正确； D．小球在竖直平面内做匀速圆周运动，拉力提供向心力，所以拉力大小不变，故D错误。 故选AB。 7．如图所示，足够长的倾角为30°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有与斜面平行向上的匀强电场，一质量为0.1kg、带正电的物块（视为质点）以一定的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为、方向沿斜面向下，取重力加速度大小，则在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块的机械能和电势能之和减小 B．物块受到的电场力大于0.2N C．电场力做的功小于物块克服摩擦力与克服重力做的功之和 D．物块的机械能守恒 【答案】ABC 【详解】A．在物块向上运动的过程中，物块克服摩擦力做功，机械能和电势能之和减小，故A正确； B．设物块的质量为，受到的电场力大小为，受到的摩擦力大小为，根据牛顿第二定律有 可得 故B正确； C．物块的加速度方向沿斜面向下，有 根据克服摩擦力和重力做的功与电场力做的功的关系，有 即电场力做的功小于物块克服摩擦力与克服重力做的功之和，故C正确； D．物块受到的外力中，电场力大于摩擦力，物体机械能不守恒，故D错误。 故选ABC。 8．如图所示，带电量为的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。将质量为、带电量为的小滑块从斜面上A点静止释放，经过B点时加速度为零，后继续运动至D点。已知O、A两点等高，，重力加速度大小取，静电力常量，下列关于小滑块的说法正确的是（　　） A．经过C点时机械能最小 B．从A到D过程中电势能和动能之和变小 C．电荷量q为 D．在D点时的速度为 【答案】AC 【详解】A．小滑块由A到C电场力做负功，机械能减小，由C到D电场力做正功，机械能增大，所以经过C点时机械能最小，故A正确； B．小滑块由A到B电场力做负功，电势能增大，速度增大，动能增大，所以电势能和动能之和增大，故B错误； C．由题意知小滑块在B点处的加速度为零，沿斜面方向受力分析 由于 OA=OD 则 解得 故C正确； D．小滑块由A到C电场力做负功，由C到D电场力做正功，即小滑块在A、D两点电势能相等，根据 解得 故D错误。 故选AC。 9．如图所示，带正电的小球A固定在竖直坐标轴的原点处，在h和2h处产生的电场强度大小分别为和。带电小球B在h处由静止释放，恰好能运动到2h处。已知单个点电荷Q周围空间某点的电势（取无穷远处电势为零），r为该点到点电荷的距离。两个小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球B带正电 B． C．小球B在处速度最大 D．若小球B在处由静止释放，到达处的速度大小为 【答案】AD 【详解】A．小球B在h处静止释放后向上运动，所受电场力方向向上，则小球B带正电，A正确； B．点电荷电场强度 有 B错误； C．小球B由h运动到2h过程中，有 整理得 小球B速度最大时，重力和电场力平衡，当小球B与小球A间的距离为时，小球B的合力为零，速度最大，C错误； D．小球由-h运动到-2h过程中，重力和电场力均做正功，且数值相等，有 解得 D正确。 故选AD。 10．如图所示，空间某水平面内固定一均匀带电圆环，电荷量为Q，其圆心为O。P、Q是圆环轴线上关于圆心O对称的两点，间距为L，有一电荷量为q的小球恰能静止在P点，P点与圆环上任意一点的连线与间的夹角均为。已知静电力常量为k，重力加速度为g，现给小球一沿方向的初速度，下列说法正确的是（    ） A．小球从P点运动到O点的过程中，做加速运动 B．小球的质量为 C．小球运动到Q点时的加速度为0 D．小球运动到Q点的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．根据对称性可知O点场强为0，无穷远处为零，因此从O沿OP到无穷远处，场强先变大后变小，无法确定最大值的位置在P点的上方还是下方，因此小球从P点运动到O点的过程中，可能一直加速，也可能先减速后加速运动，A错误； B．P点的场强 由于小球处于平衡状态，则 可得 B正确； C．小球运动到Q点时，根据对称性可知，电场力和重力大小相等且都向下，加速度为2g，C错误； D．从P到Q的过程中，电场力做功为零，根据动能定理 可得小球在Q点的速度 D正确。 故选BD。 11．空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q），在A点速度为v1，方向水平向右，至B点速度为v2，v2与水平方向间夹角为，A、B间高度差为H，以下判断不正确的是（　　） A．A、B两点间电势差 B．小球由A至B，电势能的减少量为 C．小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加 D．小球重力在B点的瞬时功率为mgv2cos 【答案】AD 【详解】AB．小球由A点运动至B点过程中，重力和电场力做功，由动能定理得 得电场力做功 所以电势能减小量为 由电场力做功 得A、B两点间的电势差 故A错误，B正确； C．电场力做正功，机械能增大。故C正确； D．小球运动到B点时所受重力与速度方向不同，则其重力的瞬时功率 故D错误。 本题选错的，故选AD。 12．如图所示，可视为质点的带电滑块b固定在绝缘粗糙的水平面上，另一可视为质点的带电滑块a由M点以初速度v0沿水平面向左运动，当其运动到图中的N点时速度最小，为v。已知滑块a所带的电荷量为+q、质量为m，整个过程所受的摩擦力恒为Ff，滑块b所带的电荷量为−Q，xMN = d，静电力常量为k。则下列说法正确的是（　　） A．滑块a由M向N运动的过程中，库仑力逐渐增大，加速度逐渐减小 B．滑块a由M向N运动的过程中，克服摩擦力做功的值等于电势能的减少量 C．N点到滑块b所在位置的距离为 D．滑块b形成的电场中，M、N两点的电势差大小为 【答案】AC 【详解】A．滑块a由M向N运动的过程中，受向左的库仑力和向右的摩擦力，由题意可知，开始时库仑力小于摩擦力，在滑块a向左运动的过程中库仑力逐渐增大，滑块a的加速度逐渐减小，且在N点时加速度为0，故A正确； B．滑块a由M向N运动的过程中，库仑力一直做正功，摩擦力一直做负功，由功能关系可知 Wf为滑块a克服摩擦力做的功，则克服摩擦力做的功不等于库仑力做的功，即克服摩擦力做功的值不等于电势能的减少量，故B错误； C．当滑块a位于N点时速度最小，加速度为0，所受合力为0，则 解得 故C正确； D．滑块a由M向N运动的过程中，根据动能定理有 解得 故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．研究人员利用电场控制带电物体的运动，如图所示，实验区域内充满与水平面夹角斜向上的匀强电场，电场强度大小。BC为竖直固定的绝缘光滑半圆弧轨道，O为圆心，半径，圆弧BC与绝缘光滑水平面AB平滑连接并相切于B点，间距离。一质量、电荷量的带正电小球，轻放于水平面上A点，一段时间后，小球从C点飞出，立即撤去圆弧轨道。不考虑空气阻力，重力加速度，求： (1)小球通过C点时的速度大小； (2)小球通过C点时对圆弧轨道的压力大小； (3)小球从圆弧轨道C点飞出后，运动到距C点1.5m处所用的时间。 【答案】(1) (2)0.36N (3)或 【详解】（1）对小球受力分析，由题可得 故小球从A点运动到点过程，根据动能定理，可得 解得 （2）小球通过点时，竖直方向上，由牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律可得 （3）小球从圆弧轨道点飞出后，做水平方向的匀减速直线运动，有 当小球位于点左侧，即时，得 当小球位于点右侧，即时，得 14．如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球从A点开始到达B点的过程中电场力做的功； (2)小球从A点开始到达C点的过程中，小球的电势能变化了多少； (3)小球从A点开始到达C点的过程中对轨道的最大压力。 【答案】(1) (2)减少3mgR (3)，方向与竖直方向成45°角斜向右下 【详解】（1）小球从A点开始到达B点的过程中电场力做的功为 （2）小球从A点开始到达C点的过程中，根据功能关系可知 解得 即小球的电势能减少了3mgR。 （3）小球在光滑绝缘圆弧轨道上运动时，设电场力与重力的合力与竖直方向的夹角为，则有 可得 可知当小球运动到圆弧轨道的中点时，小球的速度最大，根据动能定理可得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为，方向与竖直方向成45°角斜向右下。 学科网（北京）股份有限公司 $$