专题04 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线定理重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优） 题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度 题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度 题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积 题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型五 根据30度角直角三角形的性质证明 题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型十一 折叠问题 题型十二 旋转问题 题型十三 动点问题 知识点1：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 知识点2：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 【例1】如图，在中，，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（    ） A．18 B．15 C．9 D．12 1．如图，在中，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线分别交于点D，E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在中，，作边的垂直平分线，交直线于点，交于点．若，且，，则的长为 ．    3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 【例2】在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 1．在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ． 3．如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 【例3】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 1．在中，，则的面积是（    ）． A．20 B． C．50 D．60 2．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于 ． 3．已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 【例4】如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 1．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 2．如图，在每个小正方形边长为l的网格中，是等边三角形，且顶点，均在格点上．点是三角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线上画出点，使的值最小，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例5】如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 1．如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 3．如图，与都是等边三角形，B、C、E三点在同一条直线上，若，求的长． 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例6】如图，在中，，，，是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交BC于点D，E为的中点，若，则的长是 ． 3．如图，在中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 【例7】在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 1．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，点C为动点，，E是的中点，连接，当的长度最大时，此时的大小是 ． 3．如图，在和中，，，，，，连接，求的大小． 【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 【例8】如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是 ． 3．如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 【例9】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 1．如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 2．在中，斜边上的中线和高分别是6和5，则的面积 ．    3、．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 【例10】如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 1．如图，，已知的面积为60，且，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 2．如图，将矩形放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点分别在轴，轴上滑动，矩形的形状保持不变．若，则顶点到坐标原点的最大距离为 ． 3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【经典例题十一 折叠问题】 【例11】如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则的度数为（    ） A．108° B．74° C．72° D．54° 1．如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 2．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    3．实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【经典例题十二 旋转问题】 【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含角的直角三角板做实验，如图，，，分别是，的中点，标记点的位置后，将三角板绕点逆时针旋转，点旋转到点，在旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．当在内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．    3．已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时，求证； (2)如图②，当点P与点O不重合时，求证； (3)直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【经典例题十三 动点问题】 【例13】如下图，已知点P是角平分线上的一点， M是的中点，，如果点C是上一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 1．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 3．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 1．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 4．如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中， ，平分，与交于点D，，与交于点E，，那么为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 9．如图，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，D为垂足，，则 ． 10．如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 11．如图，已知线段，点P是线段上的一个动点，以为边作等边，以为直角边，在同侧构造Rt，为直角，点A是的中点，连接，则的最小值为 ． 12．如图，在中，，，，将沿着BC翻折得到，J是直线CM上一点，K是射线AC上一点，若满足，，则 ．（提示：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）    13．如图，是等边三角形，，点M从点B出发沿射线运动，运动速度为每秒1个单位，在运动的过程中要使为直角三角形，则点M的运动时间为 秒． 14．如图，在四边形中，，，相交于点E，点G，H分别是，的中点，若，则 ．    15．如图，． (1)在中， ______， ______； (2)求证：是等边三角形． 6．【课本再现】 本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】 书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明． 【定理应用】 (1)如图（1），在中，，，交于点，，则的长为(    ) A．8    B．4    C．12    D．6 (2)如图（2），在中，，，．点是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则=________； ②当折痕时，求点的位置(即求的长)． 17．如图，在中，是高，是中线，垂直平分，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 38．已知：如图，，、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上． ①过点A作的高，证明：； ②如图3，若平分，交于点G，，求的长． 20．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．    （1）通过画图，数学小组的同学发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．    【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系为________，其中的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 含30度角的直角三角形、直角三角形斜边的中线定理重难点题型专训（13大题型+20道拓展培优） 题型一 根据30度角直角三角形的性质求长度 题型二 根据30度角直角三角形的性质求角度 题型三 根据30度角直角三角形的性质求面积 题型四 根据30度角直角三角形的性质求最值 题型五 根据30度角直角三角形的性质证明 题型六 根据直角三角形斜边上的中线定理求长度 题型七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度 题型八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长 题型九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积 题型十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型十一 折叠问题 题型十二 旋转问题 题型十三 动点问题 知识点1：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 知识点2：直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 【例1】如图，在中，，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（    ） A．18 B．15 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的特征，根据直线m恰好垂直平分线段，得到，由，，利用三角形内角和定理求出，根据含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求解． 【详解】解：直线m恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 1．如图，在中，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线分别交于点D，E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，以及含直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由等腰三角形的性质可得出，由垂直平分线的性质可得出，由等边对等角得出，进一步求出，由含直角三角形的性质可求出． 【详解】解：如图，连接． ， ， ． 由作图可知，垂直平分线段． ， ． ． ， ． 故选：B． 2．在中，，作边的垂直平分线，交直线于点，交于点．若，且，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】连接，利用垂直平分线的性质，证明，，利用直角三角形的性质计算即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三条性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ ，， ∴． ∵直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3．    3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 【经典例题二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 【例2】在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， 根据题意，， ∴此种情况不符合题意； 综上，的值为． 故选：． 1．在和中，，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， 根据题意，， ∴此种情况不符合题意； 综上，的值为． 故选：． 2．如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出，确定．过点M作于点N，再由角平分线的性质确定，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：解：根据题意得：． ∵， ∴． ∴． 过点M作于点N， ∵， ∴． ∴， ∴在中，． 故答案为：． 3．如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【答案】(1) (2)①t的值为或2；② 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可得出答案； （2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可； ②分两种情况：当点P在边上时，当点P在边的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ， ， ①分两种情况：当时，如图所示：    ∵， ∴， ， 即， 解得：； 当时，如图所示：    ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：当是直角三角形时，求t的为或2； ②当点P在边上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当点P在边的延长线上时，如图所示： ∵， ∴当是等腰三角形时，一定是顶角， ∴， ∴， 解得：， ∵点Q在上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 综上分析可知，当是等腰三角形时，的度数是． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【经典例题三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 【例3】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 1．在中，，则的面积是（    ）． A．20 B． C．50 D．60 【答案】C 【分析】 本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 如图：将沿对折，点B落到点D处，作于点E，由直角三角形的性质可得，最后根据的面积为三角形的一半即可解答． 【详解】 解：如图：将沿对折，点B落到点D处，作于点E， ∴, ∴， ∴的面积为． 故选C． 2．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点作于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 平分，，，， ，，， ， ，, ，， ，， 的面积； 故答案为：9． 3．已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②是， 【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． （1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可． （2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）解：为等边的角平分线 ， ， 是等边三角形， ， （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又 ②过作于点， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值， 【经典例题四 根据30度角直角三角形的性质求最值】 【例4】如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，过点P作于点，由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值；再根据作图可知是的角平分线，，最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点， 由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值， 由作图可知是的角平分线， ，即， 又， ， 线段的最小值为6， 故选C． 1．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 2．如图，在每个小正方形边长为l的网格中，是等边三角形，且顶点，均在格点上．点是三角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线上画出点，使的值最小，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 由网格的特点可知，则， ∴， ∴， 故当三点共线，且时有最小值． 3．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例5】如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作于D点，由等边三角形的性质得，则．根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” 可得，则可得．由等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】 过M点作于D点， 则， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 中，，， ， ． 故选：B 1．如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义判断A；根据和都是的余角判断B；根据含的直角三角形性质判断C；根据和都是的余角，是的外角，是的外角，判断D． 【详解】A、由作图知，平分， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时， ， ， ∴C不一定正确，C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键． 2．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 3．如图，与都是等边三角形，B、C、E三点在同一条直线上，若，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，根据等边三角形的性质得出，求出，求出；根据很角的直角三角形性质得出，求出即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，， ∴， B、C、E三点在同一条直线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 【例6】如图，在中，，，，是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，由，是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 1．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，的平分线交BC于点D，E为的中点，若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解得． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴． 故答案为：5． 3．如图，在中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键． （1）由是边的中点，得 ，由，得，，可得，即可证明结论成立； （2）由是边的中点，，得 ，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵是边的中点， ∴ ． 又∵， ∴，， 在与中， ， ∴ ∴； （2）解：∵是边的中点，， ∴ ． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 根据直角三角形斜边上的中线定理求角度】 【例7】在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解掌握这些知识点是解本题的关键．证明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，点为对角线的中点， ∴， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 1．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质．根据直角三角形性质得到，再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，，进而得到，即可解题． 【详解】解：，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，点C为动点，，E是的中点，连接，当的长度最大时，此时的大小是 ． 【答案】/75度 【分析】取的中点O，连接、、，根据三角形的三边关系可得当C、O、E共线时，的长度最大，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接、、， ∴， 当C、O、E共线时，的长度最大， 如图，∵，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 中，点O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在和中，，，，，，连接，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，从而得出，再证明，可得，再求出，最后由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接． 中，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． ． ． ． 【经典例题八 根据直角三角形斜边上的中线定理求周长】 【例8】如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 1．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8， ∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4， ∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE＝AC＝5， ∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 2．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是 ． 【答案】14 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出EM=FM=BC，再求△EFM的周长就不难了． 【详解】∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=8， ∴在Rt△BCE中，EM=BC=5， 在Rt△BCF中，FM=BC=5， 又∵EF=4， ∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+4=14． 故答案是：14． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质． 3．如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)证明见解析． (2)9． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）由（1）可得，再可推导出，再证明为等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴与都为直角三角形， 又∵为的中点， ∴，， ∴． （2）由（1）可知， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 【经典例题九 根据直角三角形斜边上的中线定理求面积】 【例9】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CD，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点， ∴AB=2CD， ∵CD=6， ∴AB=12， ∵CE⊥AB于点E，CE=5， ∴△ABC的面积= 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三 角形的性质是解题的关键. 1．如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（    ） A．660 B．50 C．40 D．30 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CD，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点， ∴AB=2CD， ∵CD=6， ∴AB=12， ∵CE⊥AB于点E，CE=5， ∴△ABC的面积= 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三 角形的性质是解题的关键. 2．在中，斜边上的中线和高分别是6和5，则的面积 ．    【答案】30 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边长为，再根据三角形的面积公式可得答案； 【详解】∵ 中，斜边上的中线为 6 ， ∴斜边长为 ， ∵斜边上的高为 5 ， ∴的面积为： ， 故答案为：30 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3、．如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出，进而求出∴，作，垂足为G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，点D是的中点． ，， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ∵ ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 作，垂足为G， ∵ ∴， ∴， ∴． 【经典例题十 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 【例10】如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接连接，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 是直角三角形 为的中点， ， 是等边三角形 点在线段的垂直平分线上 同理，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ， ， 则在和中， ． ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、垂线段最短，解题的关键在于画出正确辅助线． 1．如图，，已知的面积为60，且，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】作交于点H，连接，根据题意可得，根据得，在中，可得，根据（当点C、O、H共线时取等号）即可得． 【详解】解：如图所示，作交于点H，连接，    ∵的面积为60， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵（当点C、O、H共线时取等号）， ∴的最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形三边长关系，解题的关键是掌握这些知识点并适当添加辅助线． 2．如图，将矩形放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点分别在轴，轴上滑动，矩形的形状保持不变．若，则顶点到坐标原点的最大距离为 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，由三角形三边关系及特殊情况得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定；在中，由勾股定理可得，从而有，即可确定答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ， 在中，由三角形三边关系可得；当三点共线时可以取“”，即， 在中，；在中，，，则由勾股定理可得， ，即当三点共线时，有最大值，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及中点定义、三角形三边关系、直角三角形性质、勾股定理等知识，准确作出辅助线，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键． 3．（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称尺规作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定． （1）方法1，延长到D使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； 方法2，取中点M，连接，根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； （2）作点B关于的对称点，然后过点作的垂线交于点Q，交于点P，即可求解． 【详解】（1）证明： 方法1，如图，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法2，如图，取中点M，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）如图：此时最小． 【经典例题十一 折叠问题】 【例11】如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则的度数为（    ） A．108° B．74° C．72° D．54° 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 1．如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【详解】如图，连接，， ∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，    ∴，， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等． 2．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据，，边的中点是，得到，根据沿折叠，点与边的中点恰好重合，得到，得到四边形的周长为，解答即可． 【详解】解：由，，边的中点为， ∴， ∵沿折叠，点与边的中点恰好重合， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：4． 3．实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【答案】(1)①，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)25 【分析】（1）通过折叠,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=，倍长CD至点E，连接BE，先证，由全等的性质得到，再进一步证明，证得CE=AB,从而证得CD= （2）由垂线段最短知：AB边上中线长，又，所以，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25 【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =，下面证明 下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE， 在和中， 在和中， ∴CE=AB ∴CD=； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）由垂线段最短知：AB边上中线长 ,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时， 面积最小为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力． 【经典例题十二 旋转问题】 【例12】数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含角的直角三角板做实验，如图，，，分别是，的中点，标记点的位置后，将三角板绕点逆时针旋转，点旋转到点，在旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆，如图所示：在CB的延长线上时，线段取得最大值． 【详解】由题意可知点的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆， ∵， ∴， 如图所示：在CB的延长线上时，线段取得最大值． 最大值为： 故选C. 【点睛】考查含角的直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 1．如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质等知识点，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，即可判定①②，推出，求出，即可判定③，由，而只有是的中位线时，，即可判定④，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】中，，，是中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ①②正确，符合题意； ， ， ， ③正确，符合题意； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 不是的中位线， ， 故④错误，不符合题意； 即正确的有①②③， 故选：A． 2．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．当在内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．    【答案】①②③⑤ 【分析】根据同角的余角相等求出，可判定②正确，然后利用“角边角”证明，可判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍得出，可知随着点E的变化而变化，判定④错误，根据，，可证，判定⑤正确． 【详解】∵，P是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，，点P是的中点， ∴，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ④∵，的值不断变化， ∴的值不固定， ∴不能得出EF=AP，故④错误； ⑤∵，同理可证， ∴，故⑤正确． 故正确的序号有①②③⑤ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时，求证； (2)如图②，当点P与点O不重合时，求证； (3)直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图2中的结论为：，图3中的结论为：，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）由即可得出结论． （2）延长交于点G，证明得，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （3）图2中的结论为：，延长交于点G，只要证明，是等边三角形，即可解决问题． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， （3）图2结论为． 证明如下： 延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 选图3的结论为： 证明如下： 延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴∠AEO=∠G， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十三 动点问题】 【例13】如下图，已知点P是角平分线上的一点， M是的中点，，如果点C是上一个动点，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于C′，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质解答． 【详解】作于C′，则为的最小值，    ∵，M是的中点， ∴， ∵P是角平分线上的一点，， ∴， ∴cm， ∵P是角平分线上的一点，， ∴ 故的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 1．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键． 2．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，点为中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 是等边三角形 ， 垂直平分 同理可得：垂直平分 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图1，在中，，，为中点，为射线上一动点．    (1)连接，求证：是等边三角形． (2)当点在线段上（如图1所示的位置）， ①尺规作图：连接，在右侧作等边，直线与直线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） ②连接，在①的条件下，求证：． (3)点在射线运动的过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析 (3)的值为或或或 【分析】（1）根据直角三角形的性质及等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据等边三角形的定义，按照题目要求求解即可得到结论；②连接，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，得到，根据等边三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （3）分四种情形：如图中，当时，设，如图中，当时，设，如图中，当时，设，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为中点， ， ， 是等边三角形； （2）①解：如图所示：   等边即为所求； ②证明：连接，如图所示：   ，， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ； （3）解：如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则， ， ； 如图中，当时，设，    则有， ， ； 如图中，当时，设，则，   ，， ，解得， 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、尺规作图作相等线段、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质及角的和差倍分关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故选：C ． 3．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，为锐角三角形或钝角三角形，取斜边中点，利用等边三角形的判定与性质结合直角三角形的性质，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1， 由题意得，高线， ∴， 取中点为点K， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即顶角是， 如图2， 由题意得腰长，高线， ∴， 同上可求， 顶角， 所以，此三角形的顶角是或． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设的度数为，根据已知条件可以判断，根据三角形外角定理可得到：，同理，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用、等腰三角形的性质，掌握基本定理是解题的关键． 【详解】解：连接，设的度数为， ∵，E为对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， 同理可得到：，， 在等腰三角形中，； 解得， ∴， 故选：A． 5．如图，在中， ，平分，与交于点D，，与交于点E，，那么为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作边的中线，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案； 【详解】解：作边的中线， ∵，是边的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是作出辅助线得到． 6．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，，两式相加，即可证明，掌握直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，，垂足为，， ，， ， ． 故选：． 7．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 9．如图，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，D为垂足，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质．注意求得是关键．由于为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 10．如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由直角三角形斜边中线的性质，得出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，已知线段，点P是线段上的一个动点，以为边作等边，以为直角边，在同侧构造Rt，为直角，点A是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等． 连接，并延长至，由直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，当时，最小，，则可得出答案． 【详解】解∶ 连接，并延长至， ∵，为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 当时，最小， ∴， 故答案为：4． 12．如图，在中，，，，将沿着BC翻折得到，J是直线CM上一点，K是射线AC上一点，若满足，，则 ．（提示：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）    【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形性质，折叠性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．分类讨论，当点在线段上时，以及当点在射线的延长线上时，分别作图，运用全等三角形的判定与性质，以及线段的和差关系，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：如图，    当点在线段上时，作于，于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 如图，当点在射线的延长线上时，    由上得，， ， ， 综上所述：或． 故答案为：或 13．如图，是等边三角形，，点M从点B出发沿射线运动，运动速度为每秒1个单位，在运动的过程中要使为直角三角形，则点M的运动时间为 秒． 【答案】2或8 【分析】本题考考查了等边三角形的性质，勾股定理，含有角的直角三角形的三边关系，分类讨论，即或，两种情况，即可解答，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图所示， ，是等边三角形，， 为的中线， ， ； ②当时，如图所示， ，为等边三角形， ， ， ， ， 综上所述，点M的运动时间为2或8秒， 故答案为：2或8． 14．如图，在四边形中，，，相交于点E，点G，H分别是，的中点，若，则 ．    【答案】/80度 【分析】连接和，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据等腰三角形性质求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接和，如图所示，    ∵H为的中点，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出是解此题的关键． 15．如图，． (1)在中， ______， ______； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)，2 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定： （1）等边对等角，求出的度数，根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可； （2）根据3个角都是60度的三角形是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，2； （2）由（1）知：， ∴， ∴是等边三角形． 6．【课本再现】 本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】 书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明． 【定理应用】 (1)如图（1），在中，，，交于点，，则的长为(    ) A．8    B．4    C．12    D．6 (2)如图（2），在中，，，．点是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则=________； ②当折痕时，求点的位置(即求的长)． 【答案】【定理探索】详见解析；【定理应用】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理； [定理探索] 延长到，使，进而证明是等边三角形，即可得证； [定理应用]（1）先根据等边对等角得出，进而得可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解； （2）①设，根据折叠的性质得出，进而根据，求得，在中，根据三角形内角和定理，即可求解； ②在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，当时根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】[定理探索]已知：在中， 求证： 证明：如图，延长到，使 又 垂直 在中， 又 是等边三角形 又 即 [定理应用]（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 故选：C．     （2）①解：设 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， 即 解得： ∵， ∴ 故答案为：． ②解：在中 ． ， 在中 是直角三角形 又 17．如图，在中，是高，是中线，垂直平分，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质、掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，证明结论； （2）根据等腰三角形想的性质得到，根据三角形的外角性质列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．已知：如图，，、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定和性质； （1）由直角三角形斜边中线的性质推出，由等腰三角形的性质即可证明； （2）由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质求出，得到是等边三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，，   ，、分别是、的中点， ，， ， 是中点， ； （2）解：，、分别是、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 19．已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上． ①过点A作的高，证明：； ②如图3，若平分，交于点G，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据“”易证，即可证明结论； （2）①由（1）知：，根据等腰三角形三线合一的性质可知，点是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明结论； ②延长A交于点K，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，易证，得到，再根据三角形外角的性质，得到，从而证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：①由（1）知：， ，， 点是的中点， ， ，即， B，D，E三点在同一直线上， ； ②解：如图，延长A交于点K， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形外角的性质等知道，作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．    （1）通过画图，数学小组的同学发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．    【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系为________，其中的取值范围为________． 【答案】（1）见详解，（2）探究1：，，探究2：与的关系有，或，或， 【分析】（1）作出直角三角形斜边的中线，即可求解； （2）探究1：根据“美丽线”的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解； 探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）作图如下：    直线即为所求． 根据斜边的中线等于斜边的一半，可得：， ∴直线将分割成两个等腰三角形； （2）探究1：∵在中，，， ∴， 如图所示，设为的“美网线”，    当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴为钝角， ∴在中，， ∴，， ∴， 整理得，， ∴与的关系为：， ∴， ∵，， ∴， 解得： ∴取值范围为：； 探究2：①如图所示，是的“美丽线”，    ∴，， ∵，，， ∴，整理得，， 同探究1，可得：取值范围为：； ②如图所示，是三角形的“美丽线”，    ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，即； ③如图所示，当，是三角形的“美丽线”，    ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与的关系有，或，或，． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“美丽线”、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，理解新定义“美丽线”，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$