专题07 二次根式（十三大题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题07 二次根式（十三大题型，65题） 目录 题型一：求二次根式中的参数 1 题型二：二次根式有意义的条件 3 题型三：利用二次根式的性质化简 6 题型四：复合二次根式的化简 9 题型五：二次根式的乘法 16 题型六：二次根式的除法 18 题型七：化为最简二次根式 22 题型八：同类二次根式 26 题型九：二次根式的加减运算 28 题型十：二次根式的混合运算 31 题型十一：分母有理化 34 题型十二：已知字母的值，化简求值 38 题型十三：二次根式的应用 42 一、题型一：求二次根式中的参数 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 3．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 4．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 5．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 二、题型二：二次根式有意义的条件 6．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）已知，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ． 9．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，都是实数，且，则 ． 10．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）已知：，化简并求的值． 三、题型三：利用二次根式的性质化简 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 12．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 13．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 14．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简． (1)； (2) (3) (4) 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 四、题型四：复合二次根式的化简 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 17．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 18．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： (1)； (2)计算：； (3)若，则求的值． 19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 20．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 五、题型五：二次根式的乘法 21．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 23．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）已知，，则 ． 24．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算 (1)； (2) 25．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）已知，，．求值： (1)； (2)． 六、题型六：二次根式的除法 26．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（    ）    A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 27．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 28．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）计算的结果为 ． 29．（23-24八年级上·福建宁德·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 30．（22-23八年级下·福建福州·期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：，，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： (1)举些例子比较与的大小，并提出猜想；至少举例，举例要全面哦 (2)利用学过的知识证明你的猜想． 七、题型七：化为最简二次根式 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（   ）    A． B． C． D． 33．（22-23八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 35．（23-24八年级上·河南南阳·期中）已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根． 八、题型八：同类二次根式 36．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 38．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）下列各组二次根式中，能合并的是(   ) A．和 B．和 C．和 D．和 39．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 40．（22-23八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 九、题型九：二次根式的加减运算 41．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． 43．（23-24八年级上·上海·阶段练习）计算： ； 44．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）若，为实数，且．求的值． 45．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 十、题型十：二次根式的混合运算 46．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 47．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 48．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1) (2)； 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 50．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 (1) (2) 十一、题型十一：分母有理化 51．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 52．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，=，或中的一种）； (4)若，求的值． 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）化简：； （2）若，求的值． 54．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值． 55．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （1） （2） （3） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用下面的方法化简：（4） (1)请参照（3）（4）的方法用两种方法化简； (2)化简：． 十二、题型十二：已知字母的值，化简求值 56．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）先化简，再求值：，其中． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）若，，求． 58．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 59．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 60．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，. 十三、题型十三：二次根式的应用 61．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 62．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ． 63．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 64．（23-24八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 65．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．    (1)从高空抛物到落地所需时间是______s，从高空抛物到落地所需时间是______s； (2)是的多少倍？ (3)经过，高空抛物下落的高度是多少？ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次根式（十三大题型，65题） 目录 题型一：求二次根式中的参数 1 题型二：二次根式有意义的条件 3 题型三：利用二次根式的性质化简 6 题型四：复合二次根式的化简 9 题型五：二次根式的乘法 16 题型六：二次根式的除法 18 题型七：化为最简二次根式 22 题型八：同类二次根式 26 题型九：二次根式的加减运算 28 题型十：二次根式的混合运算 31 题型十一：分母有理化 34 题型十二：已知字母的值，化简求值 38 题型十三：二次根式的应用 42 一、题型一：求二次根式中的参数 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 2．（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 3．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义可知，直接列出所有可能的值再求和即可． 【详解】是整数，则自然数所有可能的值为， 所以所有可能的值的和为． 故答案为： 【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确． 4．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】51 【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， ∴n的最小值为：51， 故答案为：51． 【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 二、题型二：二次根式有意义的条件 6．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）已知，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查二次根式的性质、求算术平方根，根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】∵， 且， ∴， ， ∴， . 故选：B. 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方，代数式求值等知识．确定的值是解题的关键． 由题意得，，，可求，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，解不等式组得到，进而得到，代入代数式计算即可求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）已知：，化简并求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．根据二次根式有意义的条件得到，则，再利用约分得到原式，然后通分得到原式，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ． 三、题型三：利用二次根式的性质化简 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 【答案】C 【分析】此题考查了实数的绝对值和二次根式的性质，利用绝对值和二次根式的性质化简后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 12．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的概念，二次根式的化简，绝对值化简，根据数轴得到，得到，，根据二次根式的性质和绝对值化简即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，则，， ∴ ． 14．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用平方差公式进行计算即可求解； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，代数式求值等，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件可求得的值，进而求得，继而根据二次根式的性质对所求式子进行化简求值，即可解题． 【详解】解：由题可知：，， ， 即， ， ， 原式． 四、题型四：复合二次根式的化简 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的化简和二次根式的加减运算，如果被开方数中的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替移到根号外面；如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再将因式开方后移到根号外面，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面．（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先利用平方差公式进行分解，再根据二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的性质进行化简即可； （4）先根据完全平方公式对分母进行变形，再根据二次根式的性质进行化简即可； （5）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可； （6）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 17．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 18．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： (1)； (2)计算：； (3)若，则求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够灵活运用是解题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可得解； （2）根据前面几个式子可猜想出其中的变化规律，直接利用规律进行化简，然后再求和即可得解； （3）对依次进行分母有理化可得，再通过移项、平方等变形可得、，然后将其代入所求代数式，进行化简即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 。 19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 20．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 五、题型五：二次根式的乘法 21．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式乘法，算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键． 分别根据二次根式乘法，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 22．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的最小值为3， 故选：D． 23．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）已知，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，熟记运算法则是解本题的关键．先计算出，，再将变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：8． 24．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算乘方，算术平方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可； （2）先分别计算二次根式的乘法，化简绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，化简绝对值，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，零指数幂．熟练掌握算术平方根，化简绝对值，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，零指数幂是解题的关键． 25．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）已知，，．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟练掌握完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式计算求解即可； （2）先通分，然后代值，利用平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意知， ． 六、题型六：二次根式的除法 26．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（    ）    A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法、乘除运算．熟练掌握二次根式的减法、乘方、乘除运算是解题的关键． 根据二次根式的减法、乘除运算，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，错误， ，，，正确， ∴该次作业嘉嘉的得分为75分， 故选：C． 27．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 28．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】// 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键． 29．（23-24八年级上·福建宁德·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据二次根式的乘法和绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可； （）根据二次根式的除法法则运算，然后再合并同类二次根式即可； 此题考查了二次根式的乘除运算和化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ． 30．（22-23八年级下·福建福州·期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：，，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： (1)举些例子比较与的大小，并提出猜想；至少举例，举例要全面哦 (2)利用学过的知识证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论； （2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可． 【详解】（1）例如：，而， ； ，而， ； ，而，， ； ； （2），，而， ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 七、题型七：化为最简二次根式 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 32．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，    ，， ，， ，， 则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，    ，， ，， 所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，    ，，， ， 则所走的最短路径的长是； ， 所走的最短路径的长是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段． 33．（22-23八年级下·广东东莞·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可． 【详解】、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟记被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 34．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 35．（23-24八年级上·河南南阳·期中）已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个数，无理数的估算等等，正确根据题意求出的值是解题的关键． 根据立方根的定义得到，估算出得到，根据平方根的定义得到，据此求出或，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵的立方根是2， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵是9的平方根， ∴， ∴或， ∴的算术平方根为或． 八、题型八：同类二次根式 36．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：． 37．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 38．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）下列各组二次根式中，能合并的是(   ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】首先把二次根式化简，化简后被开方数相同的能够合并． 【详解】、和，不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除； 、，，不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除； 、，，是同类二次根式，可以合并，符合题意； 、不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了最简二次根式的条件及合并同类二次根式，解题的关键是熟记同类二次根式． 39．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 40．（22-23八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 九、题型九：二次根式的加减运算 41．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【详解】解：A、原式，所以A选项错误； B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C． 42．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的化简，开立方，绝对值化简，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则正确计算，即可解题． 【详解】解： ． 43．（23-24八年级上·上海·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，将原式中的二次根式化简后再合并即可 【详解】解： 44．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）若，为实数，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴即， ∴， ∴，， ∴ ． 45．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、根据二次根式的性质化简等知识点，灵活运用二次根式的性质化简成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质、绝对值、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 十、题型十：二次根式的混合运算 46．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 【答案】10或14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，把平方后，根据正整数a，b，c求解即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ∵正整数a，b，c， ∴， ∴或或或， ∴或， 故答案为：10或14． 47．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）小明从第③步开始出错的； 故答案为③； （2）原式 ． 48．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算括号内的加减运算，再计算除法运算； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）利用零指数幂、绝对值、立方根和算术平方根计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，再进行加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先化简二次根式，再根据运算法则运算即可； （2）先化简二次根式，绝对值的意义，再根据运算法则运算即可． 本题考查了二次根的混合运算，绝对值的意义，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 十一、题型十一：分母有理化 51．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 52．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，=，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)7． 【分析】（1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据有理化因式的定义即可解决问题． （3）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题． （4）根据题干所给示例进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，， 显然， 又∵和都是正数， ∴ 故答案为：． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）9；（2）5． 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化． （1）先分母有理化，再进行加减法即可； （2）先得到，再求出，整体代入求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， ，， ， 原式． 54．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，代数式求值．先将的值进行分母有理化，再代入代数式求值即可．掌握分母有理化，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴，， ∴． 55．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （1） （2） （3） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用下面的方法化简：（4） (1)请参照（3）（4）的方法用两种方法化简； (2)化简：． 【答案】(1)，化简过程见解析 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理数，理解题中解法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照（3）（4）方法求解即可； （2）根据题干中运算方法化简每项，再二次根式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：方法（3）：； 方法（4）： ； （2）解： ． 十二、题型十二：已知字母的值，化简求值 56．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，已知字母的值，化简求值．根据整式的混合运算法则，进行化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 ． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）若，，求． 【答案】15 【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式．根据分母有理化分别把、化简，把原式利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】解：，， 则，， ∴． 58．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 59．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键． （1）根据，得到，进而得到，整体代入求值即可； （2）根据，推出，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 60．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，. 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，把除法转化为乘法，约分化简，再代入求值． 【详解】解： ； 把，代入上式得， 原式． 十三、题型十三：二次根式的应用 61．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的应用，根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， ， 故答案为：18． 62．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可． 【详解】解：根据，的三边长分别为5，6，7， ， 故答案为：． 63．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 64．（23-24八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 【答案】(1) (2)元 【分析】此题主要考查了二次根式的应用； （1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积：， 壁纸的面积：， 整个电视墙的总费用：（元）． 65．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．    (1)从高空抛物到落地所需时间是______s，从高空抛物到落地所需时间是______s； (2)是的多少倍？ (3)经过，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则以及根据性质化简，是解题关键． （1）将，分别代入式子进行计算即可； （2）由（1）中得出的式子直接计算即可； （3）将代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ； （3），， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$