专题06 实数（八大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题06 实数（八大题型，40题） 目录 题型一：无理数的大小估算 1 题型二：无理数整数部分的有关计算 5 题型三：实数与数轴 9 题型四：实数的大小比较 12 题型五：实数的混合运算 16 题型六：程序设计与实数运算 19 题型七：新定义下的实数运算 22 题型八：与实数运算相关的规律题 26 一、题型一：无理数的大小估算 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的整数部分是 ，介于整数 和 中间． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图，小正方形的边长为1，设，则下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是13的平方根，④．其中正确的是 （填序号）． 4．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 二、题型二：无理数整数部分的有关计算 6．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 7．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 8．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整数部分，求的值． 10．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 三、题型三：实数与数轴 11．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图所示，，则数轴上点A所表示的数a的值为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 14．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 15．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 四、题型四：实数的大小比较 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）在实数，，，，中，最小的是（  ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 18．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，，那P，Q的大小关系（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 五、题型五：实数的混合运算 21．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 22．（23-24八年级上·广东韶关·期中）计算： (1) (2) 23．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： (1) (2) 24．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）计算： (1) (2) 25．（23-24八年级上·四川眉山·期末）（1）计算：． （2）计算：． 六、题型六：程序设计与实数运算 26．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 27．（23-24八年级上·河北邢台·期中）下图是一个无理数筛选器的工作流程图．    （1）当为9时，值为 ； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ． 28．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为324时，则输出y的值是 ．    29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 七、题型七：新定义下的实数运算 31．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）规定：表示，之间的一种运算．运算法则如下：，，（，，，），例如：， ，则的值为的值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，表示最接近x的整数（，n整数）例如：，，，则的值（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 34．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）在形如的式子中，我们已经研究过已知和，求，这种运算就是乘方运算．现在我们研究另一种情况：已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果（，，），则叫做以为底的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)根据定义计算： ①______；②______；③______；④如果，那么______． (2)设，，则，（，，均为正数），因为，所以所以，即．这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：______．（其中均为正数，，）______（，，均为正数）． (3)结合上面的知识你能求出的值吗？ 35．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）我校以“心善如水，行善如流”为校训，集中体现学校的文化传承和精神风貌．校训要求我们要有波澜不惊的心境，泽润万物的心态；帮助他人，要像流水那样自然．在自然数中又这样一类三位数N，它的百位与个位数字之和是十位的3倍，我们称这类自然数为“善行数”，例如：，因为，所以323是“善行数”． (1)判断：211，955是否为“善行数”？并说明理由； (2)对于“善行数”N，当百位与十位数字之和是6的倍数时，记为，百位与个位数字之差的绝对值记为，求满足为自然数且为偶数的所有N． 八、题型八：与实数运算相关的规律题 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知有依次排列的两个数，，将第一个数乘2的积加上第二个数得到第三个数记为，即；将第二个数乘2的积加上第三个数得到第四个数记为，即；将第三个数乘2的积加上第四个数得到第五个数记为，即，……，以此类推，下列说法：①：②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（23-24八年级上·福建漳州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 38．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 39．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数（八大题型，40题） 目录 题型一：无理数的大小估算 1 题型二：无理数整数部分的有关计算 5 题型三：实数与数轴 9 题型四：实数的大小比较 12 题型五：实数的混合运算 16 题型六：程序设计与实数运算 19 题型七：新定义下的实数运算 22 题型八：与实数运算相关的规律题 26 一、题型一：无理数的大小估算 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，找出整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． 【详解】， ， 整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． ，， ， 故答案为：1． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的整数部分是 ，介于整数 和 中间． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， ∵， ∴， ∴介于整数和中间， 故答案为：，，． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图，小正方形的边长为1，设，则下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是13的平方根，④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，无理数的识别与估算．根据勾股定理求出的长，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，即：， ∴是无理数，实数，是13的平方根，故①②③正确； ∵， ∴，即：，故④错误； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估测，解题的关键是熟练掌握无理数的估测方法，准确进行计算． （1）根据即可得出的整数部分和小数部分； （2）根据题意求出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）解：∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∵， ∴． 5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： (1)的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； (2)已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键． （1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可； （3）先估算出的取值范围，再确定、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为； （2）解：∵， ， ， ∴的整数部分为3，小数部分为； ， ， ∴的整数部分为5，小数部分为， ， 故答案为：1； （3）解：， ， ， ∴的整数部分为，小数部分为， ， ∴9的平方根为． 二、题型二：无理数整数部分的有关计算 6．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 7．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义、估算无理数的大小，求得a、b、c的值是解题的关键． （1）先依据算术平方根、立方根的定义得到关于a，b的方程，从而可求得a，b的值，然后估算出的范围可得到c的值，然后代入计算即可； （2）根据（1）可求出的值，最后再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又c是的整数部分， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 8．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】此题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，正确得出各无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据得出a，根据得出b，再把a，b的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得y，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的小数部分， ∵， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整数部分，求的值． 【答案】5或11 【分析】此题考查立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法， 利用立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，是解决问题的关键． 【详解】解：∵的立方根是3，则， ∴， ∵是9的平方根，则， ∴或， ∵c是的整数部分， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，等于5或11． 10．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．根据平方根，立方根的意义求出x的值，的值，再估算出的值，求出z的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵x是的立方根， ∴， ∴， ∵8是的算术平方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵z是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 三、题型三：实数与数轴 11．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图所示，，则数轴上点A所表示的数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，勾股定理求出的长，两点间的距离求出的值即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 12．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数． 【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C对应的实数是， 故选：A． 13．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简： ． 【答案】a 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 15．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示实数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故点A对应的数是． 故答案为：． 四、题型四：实数的大小比较 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）在实数，，，，中，最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则：正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：，，，， ∵正数大于，负数小于，正数大于负数， ∴最小的数是， 故选：D． 17．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图1，将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，   ， 由勾股定理得：． （2）如图2，    ， 由勾股定理得，． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， 故选：A． 18．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出，，即可得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 19．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，，那P，Q的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查实数大小比较，熟练掌握积的乘方和同底数幂相除的运算法则是解题的关键． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键． （1）两数平方，然后比较大小即可； （2）对和求立方，然后比较大小即可； （3）两数平方，然后估算无理数即可得解； （4）比较分子的大小即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）解：∵， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：∵， ， ， ． 五、题型五：实数的混合运算 21．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，实数的运算等知识，先利用积的乘方法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则化简，然后把代入计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 22．（23-24八年级上·广东韶关·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的乘法，掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘方、算术平方根，然后合并解题即可； （2）设，转化为，化简合并解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）设， 则原式 ． 23．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1)-6 (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的四则混合运算、零次幂、负整数次幂、整式的四则混合运算等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键． （1）先根据绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂化简，然后再计算即可； （2）先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（23-24八年级上·四川眉山·期末）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算： （1）先进行乘方，开方，去绝对值，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行平方差公式和多项式除以单项式的运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式； （2）． 六、题型六：程序设计与实数运算 26．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，实数的运算．根据选项中，的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．理解题意，根据输入的，的值选择对应的代数式是解决问题的关键． 【详解】解：A．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； B．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； C．当输入，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； D．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项符合题意． 故选：D． 27．（23-24八年级上·河北邢台·期中）下图是一个无理数筛选器的工作流程图．    （1）当为9时，值为 ； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数和算术平方根下的流程图运算， （1）将代入，根据流程图的运算规则运算即可； （2）根据负数没有算术平方根，即可解答， 熟知负数没有算术平方根是解题的关键． 【详解】解：（1）解：将代入，，不是无理数，进行第二次计算， 为无理数，故输出为； （2）负数没有算术平方根， 输入的满足的条件为， 故答案为：；． 28．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为324时，则输出y的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，关键是掌握立方根，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”，由此即可求解． 【详解】解：输入x的值为324时，324的算术平方根是18，18是有理数，18的算术平方根是，则输出y的值是． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 七、题型七：新定义下的实数运算 31．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）规定：表示，之间的一种运算．运算法则如下：，，（，，，），例如：， ，则的值为的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂指数的运算，正确理解新定义的算法是解题的关键．根据题意将化成即可得出结论． 【详解】解： 故选：A 32．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案． 【详解】解：∵， 则，故正确； 则， ；故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 33．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，表示最接近x的整数（，n整数）例如：，，，则的值（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算、新定义下的实数运算，根据题中定义和无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴由题意， ， 故选：C． 34．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）在形如的式子中，我们已经研究过已知和，求，这种运算就是乘方运算．现在我们研究另一种情况：已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果（，，），则叫做以为底的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)根据定义计算： ①______；②______；③______；④如果，那么______． (2)设，，则，（，，均为正数），因为，所以所以，即．这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：______．（其中均为正数，，）______（，，均为正数）． (3)结合上面的知识你能求出的值吗？ 【答案】(1)①4；②1；③0；④2 (2)； (3)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，弄清题中对数的定义及性质是解本题的关键． （1）原式各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据对数的运算性质化简即可得到结果； （3）原式利用对数的运算性质化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）①；②；③；④如果，那么； 故答案为：①4；②1；③0；④2； （2）；（， ，均为正数）； 故答案为：；； （3）原式． 35．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）我校以“心善如水，行善如流”为校训，集中体现学校的文化传承和精神风貌．校训要求我们要有波澜不惊的心境，泽润万物的心态；帮助他人，要像流水那样自然．在自然数中又这样一类三位数N，它的百位与个位数字之和是十位的3倍，我们称这类自然数为“善行数”，例如：，因为，所以323是“善行数”． (1)判断：211，955是否为“善行数”？并说明理由； (2)对于“善行数”N，当百位与十位数字之和是6的倍数时，记为，百位与个位数字之差的绝对值记为，求满足为自然数且为偶数的所有N． 【答案】(1)211是“善行数”，955不是“善行数”，见解析 (2)或758 【分析】本题主要考查了数字规律探索，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握概念． （1）根据“善行数”的定义进行判断即可； （2）设，则，(k是正整数)，得出、422、758、844、930，、2、1、4、9，为自然数且为偶数，求出或758． 【详解】（1）解：∵， ∴ 211是“善行数”； ∵， ∴955不是“善行数”． （2）解：“善行数”N，设，则，(k是正整数)， ∴、2、3、4、5、6、7、8、9， 当时，、4、3、2、1、0， 当时， 、8、7、6、5、4、3， 当时，； 又∵c是的自然数， ∵、422、758、844、930， 又∵、2、1、4、9， ∴ 、211、758、211、103， 又∵ 为自然数且为偶数， ∴或758． 八、题型八：与实数运算相关的规律题 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知有依次排列的两个数，，将第一个数乘2的积加上第二个数得到第三个数记为，即；将第二个数乘2的积加上第三个数得到第四个数记为，即；将第三个数乘2的积加上第四个数得到第五个数记为，即，……，以此类推，下列说法：①：②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减以及数字的变化类规律探索，根据题意将等式变形寻找出规律逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：，，，，，，故①正确； ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ； ，故③错误； 令，则， ， ，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 37．（23-24八年级上·福建漳州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 【答案】27 【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得 故答案为：27． 【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 38．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点是解题的关键． 39．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 【答案】(1)2，6 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：2；6； （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是： （1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中的发现即可解决问题． （3）根据（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：观察题中所给式子可知， 第四个式子为：． 故答案为：． （2）由（1）中的发现可知， 第个式子为：． 故答案为：为正整数）． （3）原式 ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 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