专题03 等腰三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角并证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十一 作等腰三角形 题型十二 等腰三角形的性质与判定 题型十三 三角形边角的不等关系 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质综合 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是），点在坐标平面内，以，，为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为，则满足条件的点的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 3．已知，，是的三边长． (1)若，，满足，则的形状为　　　； (2)若，，满足，试判断的形状； (3)化简：． 【经典例题二 等边对等角并证明】 【例2】如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 3．如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【经典例题三 三线合一】 【例3】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 1．如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等腰底边，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于F，E．点D为的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 3．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【经典例题四 根据三线合一证明】 【例4】如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（　　） A． B． C． D． 1．如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 2．如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是 （只填写序号） 3．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【经典例题五 格点图中画等腰三角形】 【例5】如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 1．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 3．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【经典例题六 找出图中的等腰三角形】 【例6】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 3．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【经典例题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例7】已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 1．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    3．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【经典例题八 根据等角对等边证明边相等】 【例8】如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，，连接，，则的周长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．12 2．如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 3．在梯形中，，连接，且，在对角线上取点，使，连接．    (1)求证：； (2)若平分，且，求的长． 【经典例题九 根据等角对等边求边长】 【例9】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 1．如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 3．如图，已知在中，厘米，厘米，点D为的中点，点P在线段上以3厘米/秒如果点P在线段上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形与三角形是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？ 【经典例题十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例10】如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【经典例题十一 作等腰三角形】 【例11】以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A．只有① B．只有② C．①② D．①②③ 1．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 3．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【经典例题十二 等腰三角形的性质与判定】 【例12】如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，于点，于点，交于点．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有 ． 3．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【经典例题十三 三角形边角的不等关系】 【例13】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 2．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【经典例题十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 1．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题十五 等边三角形的判定】 【例15】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 1．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 3．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【经典例题十六 等边三角形的判定和性质综合】 【例16】如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 1．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 3．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，正确说法的个数有（    ） ①三个角对应相等的两个三角形全等；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 6．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 11．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）已知在中，． (1)求m的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长． 12．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 13．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分，平分，且与相交于点，过作，分别交、于、． (1)试判断、、之间的关系，并说明理由； (2)若的周长比的周长大，到的距离为，的面积为________． 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角并证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十一 作等腰三角形 题型十二 等腰三角形的性质与判定 题型十三 三角形边角的不等关系 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、∵， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、∵， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、∵，， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是），点在坐标平面内，以，，为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为，则满足条件的点的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题应该分几种情况讨论，已知的边可能是底边，也可能是腰．当是底边时，则点可能位于的两侧，就有两个满足条件的三角形；当是腰时再分点是顶角顶点或点是顶角顶点，两种情况讨论．本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；正确地进行分类，要考虑到所有的可能情况是解题的关键． 【详解】解：(1)当是底边时，过作与成夹角的直线，这样的直线有条，再作的垂直平分线交前直线与点，点可能位于的两侧，就有两个满足条件的三角形即为，； (2)当是腰时且点是顶角顶点时，点一定在经过点且与成角的直线上，这样的直线有两条，则以点为圆心为半径作弧，与两条直线有两个交点，则 可作出两个满足条件的三角形，此时点为，．同理当是腰时且点是顶角顶点时也有个满足条件的三角形，此时点为，． 因此满足条件的点共有个， 故选：D． 2．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， ∴， ∴； 当该等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或， 故答案为：或． 3．已知，，是的三边长． (1)若，，满足，则的形状为　　　； (2)若，，满足，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2)为等腰三角形或等边三角形 (3) 【分析】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，整式的加减． （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）根据等式的性质，得出或或，进而得出结论； （3）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）解：∵， ∴或， ∴或或， ∴为等腰三角形或等边三角形； （3）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴ ． 【经典例题二 等边对等角并证明】 【例2】如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由，，可得，则，即可判断选项A；再利用证，即可判断选项D；根据得，则，再利用证，得，，进而可得，即可判断选项C；在中，，即可判断选项B． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，则， ∴，则，故A正确； ∴， ∴，故D正确； ∵，则， ∴，则， 在和中， ∴， ∴，， ∴，则，故C正确； 在中，，故B错误； 故选：B． 1．如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由，，可得，则，即可判断选项A；再利用证，即可判断选项D；根据得，则，再利用证，得，，进而可得，即可判断选项C；在中，，即可判断选项B． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，则， ∴，则，故A正确； ∴， ∴，故D正确； ∵，则， ∴，则， 在和中， ∴， ∴，， ∴，则，故C正确； 在中，，故B错误； 故选：B． 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角． （1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（1）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ， 在和中， ，， ． （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 因此的度数为． 【经典例题三 三线合一】 【例3】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 1．如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质， 三角形内角和定理以及角平分线的定义， 根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，可得出， 结合三角形内角和定理可得出， 最后再根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．如图，等腰底边，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于F，E．点D为的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接交与点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解∶连连接交与点，连接， ∵为等腰三角形，点D为底边的中点， ∴． ∵，的面积为12， ∴，． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴， 故当、、在一条直线上时，取最小值， 即的周长取得最小值． ∴的周长的最小值为． 故答案为：8． 3．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 【经典例题四 根据三线合一证明】 【例4】如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交于点N，证明三角形全等，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点N， ， 为的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 1．如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，由此即可判断①正确；假设成立，可求出，根据已知条件即可判断②错误；先证出，是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； 假设成立， ∵，， ∴，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一），结论③正确； ∴， ∴， ∴， ∴，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 2．如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，三线合一判断①，证明判断②，三角形的外角，等边对等角，判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵，D是中点， ∴，平分，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 条件不足，无法得到平分，故④错误； 故答案为：①②③． 3．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明得出，即可得证； （2）由角平分线的性质定理得出，即可证明，，由等腰三角形的性质得出，即可证明，． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴，即， ∴平分； （2）解：由（1）可得：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴； ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 【经典例题五 格点图中画等腰三角形】 【例5】如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 1．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 2．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 3．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    【经典例题六 找出图中的等腰三角形】 【例6】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 3．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 【经典例题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例7】已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定；A选项，可证是的垂直平分线，可证是等腰三角形；B，由可证，可得，可证是等腰三角形；D,根据三角形的面积公式可得，即可证明是等腰三角形；C选项无法证明是等腰三角形，据此分析，即可求解． 【详解】解：如图所示，    解：A、，， 是的垂直平分线， ∴， 是等腰三角形， 故A不符合题意； B、，，， ， 是等腰三角形， 故B不符合题意； C、无法判断是等腰三角形，故C符合题意； D、，是边上的高， 是的垂直平分线， 是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 1．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解： 为，的中点， ，， 又， ，， ， ， ，， 设， ，， ，， ， 解得， ， 故答案为：2． 3．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题八 根据等角对等边证明边相等】 【例8】如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得． 本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：B 1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，，连接，，则的周长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等角对等边，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】边的垂直平分线交于， ， ， ， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 3．在梯形中，，连接，且，在对角线上取点，使，连接．    (1)求证：； (2)若平分，且，求的长． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、、、和和性质（对应边、对应角相等）是解题的关键． （1）由平行可得到，结合条件可证明； （2）由条件可证明，结合（1）的结论可得到，可求得的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：平分， ，且由（1）可知， ， ， 又由（1）可得， ． 【经典例题九 根据等角对等边求边长】 【例9】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出． 根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 1．如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出． 根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形． 【详解】解：， ，， 又和的平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 3．如图，已知在中，厘米，厘米，点D为的中点，点P在线段上以3厘米/秒如果点P在线段上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形与三角形是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)Q的运动速度是厘米/秒时，与全等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等； （2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． 【详解】（1）解：与全等， 理由如下： 依题意得：， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ； （2）， ， 又， ， ∴点P，点Q运动的时间（秒）， （厘米/秒）． 【经典例题十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例10】如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个； 若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个； 线段的垂直平分线与x轴有1个交点； ∴符合条件的C点有：（个）， 故答案为：4． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【经典例题十一 作等腰三角形】 【例11】以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A．只有① B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】根据尺规作图的几何意义，结合三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了角的平分线尺规作图，三角形全等的判定和性质，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握掌握尺规作图，平行线的性质，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】如图，根据作图，得到， ∴， ∴， 即平分， 故①正确；   ； 如图，根据作图，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故②正确；    如图，根据作图，得到， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故③正确； 故选D． 1．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ． 【答案】20° 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ． 故答案为：20° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 3．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 【经典例题十二 等腰三角形的性质与判定】 【例12】如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 1．如图，在中，，，于点，于点，交于点．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键，由题意得，，根据角度关系可得，进一步判定，得出，进一步得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有 ． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 则，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 故答案是：①③． 3．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 【经典例题十三 三角形边角的不等关系】 【例13】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【分析】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可． 【详解】∵|AC-BC|=2cm， ∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm， ∵BC=8cm， ∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 【经典例题十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 1．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 在中，， ∴， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题十五 等边三角形的判定】 【例15】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 1．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 2．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． ①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形； ②当时，， ∴， ∴为等边三角形； ③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形； ④当是等腰三角形时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 综上，正确的说法是①②④． 故答案为：①②④． 3．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等边三角形的判定等知识；利用完全平方公式凑成和或差的平方是解题的关键．由完全平方公式，条件可化为，利用非负数的性质即可求得a、b、c的值，从而可判定的形状． 【详解】解：∵， ， ， ，是等边三角形． 【经典例题十六 等边三角形的判定和性质综合】 【例16】如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 1．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，， ， ， 故①正确； 和的大小不确定， 点的位置不确定， 又是定值， 不一定平分， 故②错误； ， ， 又，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故③正确； 过作于，于， ， ， ，， ， ， ，， ， 故④正确； 故正确的有个， 故选：C． 2．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 3．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，正确说法的个数有（    ） ①三个角对应相等的两个三角形全等；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质以及轴对称图形的性质，根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质以及轴对称的图形的性质一一判断即可． 【详解】解：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形全等，故①错误， 等腰三角形至少有1条对称轴（等腰三角形有1条对称轴），至多有3条对称轴（等边三角形有3条对称轴），故②正确； 关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，故③正确； 一个锐角和一条边相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误． 综上，正确说法的有②，③ 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．连接，，首先根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理解得，进而可得，再证明，由全等三角形的性质可得，进一步可得，然后由折叠的性质可得，易得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，，如下图， ∵，的平分线与的中垂线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点沿折叠后与点重合， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题本题主要考查了平行线．熟练掌握两直线平行，内错角相等，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，，，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质推出，再根据平角的定义求解即可．掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 5．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，等边三角形的判定和性质．①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 6．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得、两点关于直线对称，连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，求出即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，为高， ∴、两点关于直线对称， 连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为， ∵E为的中点， ∴，即为的高， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由作图可知：为线段的垂线平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理先求出，再由三线合一定理和角平分线的定义得到垂直平分，，则，，再由线段垂直平分线的性质得到，则，据此求出的度数，再求出的度数，即可根据周角的定义求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵平分， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 11．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）已知在中，． (1)求m的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为48 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形三边关系求解即可； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ 解得： （2）当时，，解得： 此时的周长； 当时，，解得； ∵ ∴此种情况不合题意 综上所述，m的值为10，的周长为48 12．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 13．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可； （2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴平分 14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分，平分，且与相交于点，过作，分别交、于、． (1)试判断、、之间的关系，并说明理由； (2)若的周长比的周长大，到的距离为，的面积为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出，，根据等腰三角形的判定得出，，据此即可解答； （2）首先根据的周长比的周长大，可求出长，再根据角平分线的性质及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 即； （2）解：∵的周长为：， 周长为：， 又∵的周长比的周长大， ∴， 又∵平分，且到的距离为， ∴到的距离也为， ∴的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，求出是解此题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【详解】（1）∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为 ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$