精品解析：安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考（9月）数学试卷

六安一中2025届高三年级第二次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角，的顶点均为坐标原点，始边均为x轴正半轴，终边分别过点，，则（ ） A. 或 B. 3或 C. D. 5. 已知函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 当时，取得最大值，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知,则( ) A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 在上单调递增 C. 时 D. 其图象关于点对称 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 当时， D. 不等式的解集为 11. 在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段的三等分点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____． 13. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 14. 若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）已知，求的值. 16. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足． （1）若，求的大小； （2）求的取值范围． 18 设函数. （1）求函数单调递减区间. （2）已知函数， ①证明：函数是周期函数，并求出的一个周期； ②求函数的值域. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，判断函数在上零点的个数； （3）已知在上恒成立，求实数λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安一中2025届高三年级第二次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 3. 已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据万能公式得到方程，求出，从而得到命题是命题的充分不必要条件. 【详解】， 解得， 故，所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知角，顶点均为坐标原点，始边均为x轴正半轴，终边分别过点，，则（ ） A. 或 B. 3或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求得，根据角终边经过的点和正切值的范围，缩小的范围，利用和角公式和倍角公式，求得的值并检验即得. 【详解】依题意，，由，可得 由可得则（*）， 因，不妨设，则有，解得或， 由（*）知是第二或第四象限角，故. 故选：C. 5. 已知函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由得，根据题意得，进而可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在上没有零点，所以，解得. 又因为，所以. 故选：B 6. 当时，取得最大值，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切值即可. 【详解】因为 ， 故当取得最大值时，若，则， 则. 故选：D. 7. 已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数,利用其单调性即可比较a,b,c的大小. 详解】，，， 设， ,令,得， 当单调递增， 当单调递减， 所以， 所以,即,所以， 所以,即,所以， 所以. 故选：A 8. 已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出，的周期即可求解. 【详解】依题意，因为为偶函数， 所以，所以， 所以为奇函数且， 因为， 令，则有， 解得， 因为， 所以，又 所以 由， 得，所以是以4为周期的周期函数， 所以， 由，得， 又，所以， 所以 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 时 D. 其图象关于点对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，根据可判断A；利用整体代换的方法，根据的范围，求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点对称，的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到， 再把图象向右平移个单位长度，得到， 最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到. 对于A，，故A正确； 对于B，在单调递增， 当时，， 在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，， ，故C错误； 对于D，当时，函数满足， 函数关于点对称， 关于点对称，故D错误. 故选：AB. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：分析可得，结合的单调性分析判断；对于D：取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故C正确； 对于选项D：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故D错误. 故选：BC. 11. 在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长. 【详解】由题，，所以， 若CD是高，，得，故A错误； 若CD是中线，，所以， 所以，故B正确； 若CD是角平分线，则， 即，得，故C正确； 若D为线段AB的三等分点，或， ，或， 所以或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值． 解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足， 并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1． Rt△AOC中，r=AO==， 从而弧长为 α×r=2×=， 故答案为． 考点：弧长公式． 13. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【详解】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 14. 若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据极值的定义整理方程，整理等式表示函数，利用函数单调性求得值域，可得答案. 【详解】因为，所以. 因为函数有两个极值点， 所以是方程的两个根，则有， 所以，同理可得. 设，则， 由，则，即， 由，则，即， 所以，令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，又，所以，又， 所以. 由，则，令， 则在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，即，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，，），函数和它导函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数与的图象可得，，再通过图象过点，得到 （2）根据倍角公式对进行化简即可求解. 【小问1详解】 ， 由图象可以得到：， 因为图象过点，， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由，得， ， . 16. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足． （1）若，求的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解. （2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解. 【小问1详解】 方法一：，由为锐角三角形且，所以． 方法二： ． 由为锐角三角形且，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由正弦定理知： ， 所以．令，则， 所以，其中． 又由为锐角三角形，，， ，因为，所以，所以，则， ，所以在上单调递减，则． 即的取值范围是． 18. 设函数. （1）求函数单调递减区间. （2）已知函数， ①证明：函数是周期函数，并求出的一个周期； ②求函数的值域. 【答案】（1） （2）①证明见解析，；② 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，然后结合正弦函数的性质求出函数的单调递减区间； （2）①先求出，然后结合诱导公式得，. ②由题意，根据周期性先求出函数在一个周期的值域即可，求导函数，结合余弦函数的性质求得函数的单调性，然后利用单调性求解值域即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 令，得， 所以函数的单调递减区间是． 【小问2详解】 ①， ， 故的是函数的一个周期．（答案不唯一） ②， 由于是函数的一个周期，不妨设， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 又因为， 据此可得：，所以. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，判断函数在上零点的个数； （3）已知在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） （2）有且仅有一个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得斜率，即可得直线方程， （2）求导，根据在上单调递增．结合零点存在性定理可得上有且仅有一个零点；进而根据上无零点即可求证， （3）构造函数，求导，对进行分类讨论，结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 ，则，， 故切线方程为 小问2详解】 当时，，则， 当时，，所以，即在上单调递增． 又，所以在上有且仅有一个零点； 当时，所以在上无零点． 综上，在上有且仅有一个零点． 【小问3详解】 由，即， 整理得， 令，则， 当时，对任意有，又， 所以，此时在上单调递增，故，符合题意． 当时，令，则， 所以，在上恒成立，即在上单调递增． 又． 当，即时，在上有， 此时在上单调递增，，符合题意． 当，即时，若，即， 由零点存在定理，存在使，故上． 所以在上递减，此时，不合题意． 若，即，此时对恒有且不恒为0． 即在上单调递减，所以，不合题意． 综上，λ取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$