精品解析：山东省德州市云天职教2023-2024学年高二下学期期末数学试题

云天职教2023-2024学年第二学期 2022级非实习《数学》期末试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，共120分. 2．本试卷共三个大题，共4页. 一、单项选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 11 2. 设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 已知 三点在一条直线上，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 4. 已知向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且与平行，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图所示，在平行四边形中，点，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，，，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或3 C. 或 D. 1或3 8. 已知两向量，满足，，则的最大值与最小值分别为（ ） A. 10， B. 10，2 C. 6， D. 4， 9. 若一个椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 11. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，它们的离心率之和是3，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 13. 中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 14. 椭圆的离心率为，则k的值为（ ） A. 4或 B. 或4 C. D. 4 15. 抛物线上纵坐标为3的点到焦点的距离为4，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 16. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 17. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 18. 已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 19. 正方体的棱长为2，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与的夹角是 D. 20. 已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（将正确答案写在横线处，每题4分，共20分） 21. 已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，则，如果，，那么等于________． 22. 若，且，则实数m的值是________． 23. 抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 24. 已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线轴，且，则该双曲线的离心率是________ 25. 已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ①②④ 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 26. 如图，正四面体中，是的中点，求异面直线与所成的角的余弦值． 27. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 28. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且，，，经过双曲线的焦点的直线l与双曲线交于A，B两点，且直线l的倾斜角为45度． （1）求双曲线的标准方程； （2）求． 29. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E，F分别为PC，BD的中点. 求证： （1）平面PAD； （2）平面PDC. 30. 已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，渐近线为，且过点. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点的直线与双曲线交于A、B两点，且M是弦AB的中点，求直线的一般式方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云天职教2023-2024学年第二学期 2022级非实习《数学》期末试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，共120分. 2．本试卷共三个大题，共4页. 一、单项选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及向量模长公式即可得解. 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 故选：A. 2. 设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的夹角为锐角，得到内积的要求即可求解. 【详解】夹角为锐角 故选：A . 3. 已知 三点在一条直线上，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 又因为三点共线，. . 故选：B. 4. 已知向量，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知向量，通过相加运算，转换为所求向量，再利用余弦定理，即可求出结果. 【详解】由题意知，， 所以； 又因为，所以； 故选：D. 5. 已知，，且与平行，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量线性运算的坐标表示表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，， 则， ， 因为与平行， 所以，即， 解得. 故选：B. 6. 如图所示，在平行四边形中，点，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则即可求解. 【详解】由题意可知，, 因为是平行四边形， 则， 故选：A 7. 在中，已知，，，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或3 C. 或 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由题意得， 因为， 所以，即， 解得或. 故选：D. 8. 已知两向量，满足，，则的最大值与最小值分别为（ ） A. 10， B. 10，2 C. 6， D. 4， 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量的积运算求出的范围，即可求得的最大值与最小值. 【详解】设两向量，夹角为，，所以， ， 所以，，即， 故的最大值与最小值分别为，. 故选：B. 9. 若一个椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的定义可知，再由得出的关系，即可得出离心率. 【详解】已知一个椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列， 则，即，， 所以， 整理得，因为， 则等式两边同时除以，得， 又由，所以，解得或， 因为，所以舍去，所以. 故选：B. 10. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义得，据此求解的值. 【详解】由椭圆可得， 椭圆中左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点， 由椭圆的定义得，即， 故. 故选：B 11. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程求参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则，即，解得：，即； 故选：C. 12. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，它们的离心率之和是3，则该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线右焦点与抛物线焦点相同，双曲线和抛物线的离心率列方程求解即可写出双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同， 所以双曲线的右焦点坐标为，即， 由题，双曲线与抛物线的离心率之和是3，抛物线的离心率为， 得，解得，所以， 所以该双曲线的标准方程是. 故选：A. 13. 中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标求得c，再根据渐近线方程求得，代入中即可求出a、b的值，从而确定双曲线的方程. 【详解】解：由焦点坐标，得且焦点在x轴， 由渐近线方程得， 即，且 ， 则双曲线方程为. 故选：B. 14. 椭圆的离心率为，则k的值为（ ） A. 4或 B. 或4 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】按椭圆的焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率公式求解k的值即可. 【详解】椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得； 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得. 故选：B. 15. 抛物线上纵坐标为3的点到焦点的距离为4，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解. 【详解】抛物线，即 ∵纵坐标为3的点到焦点的距离为4，即纵坐标为3的点到准线的距离为， ，则抛物线方程为 ， 即. 故选:C. 16. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线的标准方程表示离心率，通过乘积为，得，进而求得双曲线渐近线方程. 【详解】∵椭圆离心率，双曲线离心率 ， ∴， ∵， ∴ 双曲线渐近线方程， 整理得：. 故选:A. 17. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与直线的位置关系分析，逐项排除即可. 【详解】对A，若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c可能异面或共面，故A项错误， 对B，若，，则有可能平行，故B项错误； 对C，由平行线的传递性，若，，则，故C项正确， 对D，若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c有可能为异面直线，故D项错误. 故选：C. 18. 已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】C 【解析】 【分析】由平面与直线的位置关系，直线与直线的位置关系，面面平行的性质及判断逐项判断即可得解. 【详解】选项，若，则或，故错误. 选项，若，则或直线异面，故错误. 选项，若，则，故正确. 选项，若，只有相交，才有，故错误. 故选：. 19. 正方体的棱长为2，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与的夹角是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中，可得平面，从而，故A错误；由直线与平面所成的角可判断B错误；连接，可得是等边三角形，可判断C错误；根据三棱锥的体积公式，可得D正确. 【详解】 如图，在正方体中， ，在平面内， 所以平面， 又因为平面，所以， 即异面直线与所成的角为，故A错误； 因为平面， 所以直线在平面内的射影为， 即直线与平面所成的角. 在正方形中，可得，故B错误； 对C选项，连接，由于 ，，都是正方形的对角线， 所以是等边三角形，即直线与的夹角是，故C错误； 对D选项，，故D正确. 故选：D 20. 已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】 如图,令， 则， 因为，则为二面角的平面角， 则 则， 所以 所以为等边三角形， 则 故选：B. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（将正确答案写在横线处，每题4分，共20分） 21. 已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，则，如果，，那么等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算，用，表示即可. 【详解】O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，， 所以. 故答案为：. 22. 若，且，则实数m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用再向量夹角得到两向量反向平行，再利用向量平行的坐标表示求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为,所以与反向平行， 又， 所以，解得， 当时，，向量同向，舍去； 当时，，向量反向，满足题意； 综上，. 故答案为：. 23. 抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离. 【详解】如图： 设P点到准线距离为，则由定义 若值最小，即值最小，此时，P、A、B三点共线， ∵抛物线方程为， ∴抛物线的准线为， ∴距离最小值为点到准线的距离， 则的最小值为． 故答案为:. 24. 已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线轴，且，则该双曲线的离心率是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出，然后利用勾股定理求出，代入离心率公式即可. 【详解】因为是双曲线的左焦点，设右焦点为， 因为点P在双曲线上，且， 则，则， 直线轴，则为直角三角形， 则，，化简得，， 则该双曲线的离心率是； 故答案为：. 25. 已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断. 【详解】， ①若，则时，是的垂线，而，故，①正确； ②若，若不在内，则，是过的平面，则平行或相交，②错； ③当时，，令是的交线，，则l与m异面，③错误； ④当时，而，则，又，则，④正确． 故选：A. 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 26. 如图，正四面体中，是的中点，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意根据异面直线所成角平移在同一平面内求解即可. 【详解】取中点，连接， 可知就是与所成角， 设，则，， 所以. 故答案为: . 27. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程求解； （2）运用向量垂直的条件，结合向量的夹角公式，计算即可求夹角. 【小问1详解】 设， 因为，且， 得或， 故或. 【小问2详解】 由题意可求，且， 得， 故， 因为是单位向量，得. 28. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且，，，经过双曲线的焦点的直线l与双曲线交于A，B两点，且直线l的倾斜角为45度． （1）求双曲线的标准方程； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，由双曲线的定义得，在中，由勾股定理求得，再由求得，即可写出双曲线的标准方程； （2）先由题意求出直线l的直线方程，联立双曲线方程和直线方程，由韦达定理和向量内积的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 ，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上， 可得，故， 又因为，故，即，故， 所以， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为，故， 又直线l的倾斜角为45度，则斜率为，故直线l的方程为：， 联立双曲线方程和直线方程得，整理得， 设，则， ， 故. 29. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E，F分别为PC，BD的中点. 求证： （1）平面PAD； （2）平面PDC. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，再证明平面PAD； （2）先证明，再证明平面PDC. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为正方形，为的中点，所以共线， 为的中点，又为的中点， 所以，又平面PAD，平面PAD， 故平面PAD； 【小问2详解】 因为，侧面底面ABCD，且侧面底面ABCD交线为， 又侧面，所以侧面， 又侧面，所以， 因为，所以， 所以，又，平面PDC， 所以平面PDC. 30. 已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，渐近线为，且过点. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点的直线与双曲线交于A、B两点，且M是弦AB的中点，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线渐近线方程假设出双曲线的标准方程，再将所过点代入即可得解； （2）利用点差法，结合直线的点斜式，同时整理求得直线的一般式方程，再进行检验即可得解. 【小问1详解】 因为双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，渐近线为， 所以可设双曲线方程为， 将代入双曲线方程得，解得， 所以双曲线方程，即. 【小问2详解】 依题意，设， 则，两式相减，得， 整理得， 又点是弦AB的中点，则， 所以， 所以所求直线为，整理得， 联立，消去，得， 显然，即直线与双曲线有两个交点，满足题意， 所以直线的一般式方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $