串讲02 代数式（考点串讲，5个常考点+11种重难点题型+6个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

七年级新苏科版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲02 代数式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 六大易错易混经典例题+针对训练 精选7道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 代数式的相关概念 一、字母表示数 1.用字母表示几何图形的周长、面积、体积 2.用字母表示现实生活中的一些数量关系 二、代数式 1.代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式． 2.代数式的值 一般地，用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 3.代数式求值的方法步骤 第一步：用具体数值代替代数式里的字母，计算出结果，简称为“代入”； 第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”. 4 4. 字母表示数的书写要领： 表示数与字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的前面，如n×2应写成2n，不能写成n2； 带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式; 后面带单位的相加、减的式子要用括号括起来; 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； 除法运算要写成分数形式. 5 考点透视 考点二：整式的有关概念 1.单项式：都是数或字母的____，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 积 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式：几个单项式的____叫做多项式． 5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 6.整式：___________________统称整式． 和 单项式与多项式 7 考点透视 考点三：同类项、合并同类项 1.同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也______的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变． 相同 相同 [注意] (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项； (2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并． 考点透视 考点四：整式的加减 1．去括号法则 (1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，原括号里各项的符号都_______； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，原括号里各项的符号都要______. 不改变 改变 2. 整式的加减及化简求值 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项． 考点透视 考点五：探索与表达规律 1.数字变化规律问题： 分母是一系列偶数，分子是一系列奇数. 偶数：2n(n为自然数）；奇数：2n+1(n为自然数）或2n-1(n为正整数） 2、无论系列奇数，还是系列偶数。均是最基础的一类“等差数列”（相邻数字之间差不变） 3、许多规律探索问题中，还有一类——“等比数列”（相邻数字之间商不变） “图形规律探索”试题大致常用四种解决方法： 一是数图法；二是分类法；三是去重法；四是补形法。 另一种就是观察图形的结构，用“分类、去重、补形”的方法去进行思考，直接从图形中寻找规律或者将此图形的规律转化为其他图形的规律，最终利用规律解决问题。 2.图形变化规律问题： 11 题型剖析 题型一：代数式的相关概念 【例1】下列式子书写规范的是（    ） A． B．x4y C． D．-x2y 【详解】解：A、系数用假分数表示，正确写法为，故此选项不符合题意； B、数要在字母的前面，正确写法为4xy，故此选项不符合题意； C、数要在字母的前面，正确写法为，故此选项不符合题意； D、-x2y书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】下列式子x2，，p＜0，ab，S=πr2，-5，.其中是代数式的有 个． 【详解】解：∵p＜0，S=πr2中含有<、=，则它们不是代数式， ∴x2，，ab，-5，是代数式， ∴代数式有5个， 故答案为5. 13 题型剖析 题型二：列代数式 【例2】小明和小华各收集了一些邮票，已知小华收集了 x 枚邮票，小明收集的邮票数量比小华的2倍少5枚，则两人一共收集邮票(　A　) A. (3 x －5)枚 B. (3 x ＋5)枚 C. 枚 D. 枚 A 【变式2-1】 如图，将边长为3 a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两 块长方形.若拿掉边长为2 b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块长方形，则这块长方形较长的一边长为(　A　) A. 3 a ＋2 b B. 3 a ＋4 b C. 6 a ＋2 b D. 6 a ＋4 b A 15 题型剖析 题型三：求代数式的值 【例3】当 a ＝2， b ＝－3时，代数式( a － b )2＋2 ab 的 值为(　A　) A. 13 B. 27 C. －5 D. －7 A 【变式3-1】已知当 x ＝0时，代数式 ax3＋ bx ＋ c 的值为5. (1)求 c 的值； 解： (1)当 x ＝0时， ax3＋ bx ＋ c ＝ a ×0＋ b ×0＋ c ＝ c ＝5，所以 c 的值是5. (2)当 x ＝1时，该代数式的值为3.求－ a － b 的值. 解： (2)把 x ＝1代入 ax3＋ bx ＋5＝3中， 得， a ＋ b ＋5＝3，即 a ＋ b ＝－2， 所以－ a － b ＝－( a ＋ b )＝2. 17 【变式3-2】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1 500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折(九折即原价的90％). (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是 x ( x ＞50)人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (1 500＋240 x ) (270 x －1 350) 18 (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？ 说说你的理由. 解： (2)采用方案二省钱.理由：方案一：把 x ＝80代 入1 500＋240 x ＝1 500＋240×80＝20 700(元). 方案二：把 x ＝80代入270 x －1 350＝270×80－1 350 ＝20 250(元). 因为20 250＜20 700，所以采用方案二省钱. 19 题型剖析 题型四：数字类规律探索 【例4】按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，……，第n个单项式是（    ） A．(n+1)an B．(n+1)a2n C．na2n D．2nan 【详解】解：由题意可知，第n个单项式的系数为n+1，最高次幂为， ∴第n个单项式是(n+1)an， 故选：A． 【变式4-1】 如图，每个图形中的四个数都是按相同规律填写的.根据此规律可确定 x 的值为(　C　) A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 C 21 题型剖析 题型五：图形类规律探索 【例5】下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，请你观察、分析并解决下列问题：    (1)第5个图中的正方形的个数是______； (2)求第n个图中正方形的个数． 【详解】（1）解：第1个图中正方形的个数是：4=3×1+1， 第2个图中正方形的个数是：7=3×2+1， 第3个图中正方形的个数是：10=3×3+1， … 则第n个图中正方形的个数是：3n+1， 即第5个图中的正方形的个数是：3×5+1=16， 故答案为：16； （2）解：由（1）得，第n个图中正方形的个数是3n+1． 23 【变式5-1】如图，将若干个三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2023个图形是 ． 【详解】解：观察图形的变化可知：从第3个图形开始，每6个图形一组进行循环， 即(2023-2)÷6=336······5． 所以第2023个图形是圆． 故答案为：○． 24 题型剖析 题型六：整式的相关概念 【例6】下列说法正确的是（    ） A．单项式a既没有系数，也没有次数 B．单项式5×108m的系数是5 C．式子是单项式 D．有理数-2023是单项式 【详解】A、单项式a系数是1，次数是1，故原说法错误； B、单项式5×108m的系数是5×108，故原说法错误； C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误； D、有理数-2023是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确． 故选：D． 【变式6-1】已知多项式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式，单项式6x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同，则m+n的值为 ． 【详解】解：因为多项式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式， 所以2+m+1=6， 解得：m=3， 因为单项式6x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同， 所以2n+5-m=6， 所以2n+5-3=6， 解得：n=2， 所以m+n=3+2=5． 故答案为：5． 26 【变式6-2】下列说法正确的是（   ） A．0不是代数式 B．x2和都是多项式 C．x2-2x+6的项分别是x2，2x，6 D．xy-5x2y+y-7的次数是3 【详解】解：A、0是代数式，故该选项说法错误，不符合题意； B、x2不是多项式，是多项式，故该选项说法错误，不符合题意； C、x2-2x+6的项分别是x2，-2x，6，故该选项说法错误，不符合题意； D、xy-5x2y+y-7的最高项次项-5x2y的次数是3次，所以xy-5x2y+y-7的次数是3，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 27 【变式6-3】多项式-2+xm-1y+xm-3-nx2ym-3是关于x，y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x降幂顺序排列． 【详解】（1）解：多项式的第一项-2，是常数项；第二项xm-1y的次数为m；第三项xm-3的次数为m-3；第四项-nx2ym-3的次数为m-1； ∵多项式-2+xm-1y+xm-3-nx2ym-3是关于x，y的四次三项式， ∴n=0，m-1+1=4， ∴m=4，n=0． （2）解：根据（1），得原式=x3y+x-2． 28 题型剖析 题型七：同类项 【例7】若-x3ya+b与x2a+by是同类项，则a-b的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：由题意得： 解得 所以a-b=3 故选：C 【变式7-1】若单项式-2xm-ny3与-5x6y2m+n是同类项，则这两个单项式的和是 ． 【详解】解：∵单项式-2xm-ny3与-5x6y2m+n是同类项， ∴， 解得， ∴这两个单项式为：-2x6y3，-5x6y3 ∴-2x6y3+(-5x6y3)=-7x6y3． 故答案为：-7x6y3． 30 题型剖析 题型八：整式的加减运算 【例8】已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么式子a+b-2c的值是（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【详解】∵a=x+20，b=x+19，c=x+21 ∴a+b-2c， =x+20+x+19-2(x+21) =-3． 故选：B． 【变式8-1】若整式-2x2+3与另一个整式的和为4x2+5x-1，则这个整式为 ． 【详解】解：依题意， (4x2+5x-1)-(-2x2+3)=4x2+5x-1+2x2-3 =6x2+5x-4 故答案为：6x2+5x-4． 32 【变式8-2】求 的值， 其中 解： 当 时， 原式 33 【变式8-3】计算： (1)5a2-2a-1-4(3-2a+a2)； (2)5x2-[x2-2x-2(x2-3x+1)]． 【详解】（1）解：原式=5a2-2a-1-12+8a-4a2 =a2+6a-13； （2）解：原式=5x2-x2+2x+2(x2-3x+1) =5x2-x2+2x+2x2-6x+2 =6x2-4x+2． 34 题型剖析 题型九：整式的化简求值 【例9】先化简，再求值： (1)－6 x ＋3(3 x2－1)－(9 x2－ x ＋3)，其中 x ＝－ ； 解： 原式＝－5 x －6. 当 x ＝－ 时，原式＝－5× －6＝－ . (2)3 x2－ ＋2 y ，其中 x ＝－2， y ＝ . 解： 原式＝ x2－ x ＋3 y . 当 x ＝－2， y ＝ 时， 原式＝(－2)2－ ×(－2)＋3× ＝ . 36 【变式9-1】 已知 A ＝2 x2＋12 x ＋3， B ＝－7 x2－8 x －1. (1)化简 A －3 B ； 解： (1) A －3 B ＝2 x2＋12 x ＋3－3(－7 x2－8 x －1)＝ 23 x2＋36 x ＋6. (2)当 x ＝－1时，求 A －3 B 的值. 解： (2)当 x ＝－1时， A －3 B ＝23×(－1)2＋36×(－1) ＋6＝－7. 37 题型剖析 题型十：整式加减的无关型问题 【例10有这样一道题： “计算(2 x3－3 x2 y －2 xy2)－( x3－2 xy2＋ y3)＋(－ x3＋3 x2 y － y3)的值，其中 x ＝ ， y ＝－1”.甲同学把“ x ＝ ”错抄成“ x ＝－ ”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果. 解： 因为原式＝2 x3－3 x2 y －2 xy2－ x3＋2 xy2－ y3－ x3＋3 x2 y － y3 ＝－2 y3， 所以原式的值与 x 的取值无关. 当 x ＝ ， y ＝－1时， 原式＝－2×(－1)3＝2. 【变式10-1】如果一个整式的值与 x 的取值无关，那么也就是说这个整式关于 x 除常数项外各项系数为0.若代数式4 x2－ mx －3 y ＋4－(8 nx2－ x ＋2 y －3)的值与字母 x 的取值无关，求代数式－ m2＋2 mn － n2－2( mn －3 m2)＋3(2 n2－ mn )的值. 解： 4 x2－ mx －3 y ＋4－(8 nx2－ x ＋2 y －3) ＝(4－8 n ) x2＋(1－ m ) x －5 y ＋7. 由题意可知4－8 n ＝0，1－ m ＝0， 所以 m ＝1， n ＝ . 所以－ m2＋2 mn － n2－2( mn －3 m2)＋3(2 n2－ mn )＝5 m2＋5 n2－3 mn ＝5＋5× －3×1× ＝ . 39 【变式10-2】已知：A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+ab-1 (1)求4A-(3A-2B)的值； (2)若A+2B的值与a的取值无关，求b的值． 【详解】（1）解：4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B， ∵A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+ab-1， ∴原式=A+2B=2a2+3ab-2a-1+2(-a2+ab-1)=5ab-2a-3； （2）解：∵A+2B的值与a的取值无关，∴5ab-2a-3与a的取值无关， 即：(5a-2)a-3与a的取值无关，∴5a-2=0， 解得：a=． 40 题型剖析 题型十一：整式加减的应用 【例11】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 解：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆珠笔共花费（4x+3y）元. 小红和小明一共花费（单位：元） （3x+2y）+（4x+3y） =3x+2y+4x+3y =7x+5y 【变式11-1】已知轮船在静水中前进的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时 (1)则轮船顺水航行时的速度为______千米/时． (2)若某船顺水航行3小时，逆水航行2小时，则轮船共航行多少千米？ 【详解】（1）轮船顺水航行的速度=静水航行速度+水流速度=(m+a)千米/时， 故答案为：(m+a)． （2）逆流航行速度=静水航行速度－水流速度=(m-a)千米/时， 顺水航行3小时路程=3(m+a)，逆水航行2小时路程=2(m-a) 3(m+a)+2(m-a) =3m+3a+2m-2a =5m+a 答：轮船共航行(5m+a)千米． 42 易错易混 易错点一：代数式的规范书写问题 【解析】解：A、正确书写格式为：18b,故此选项不符合题意； B、正确书写格式为： x,故此选项不符合题意； C、是正确的书写格式，故此选项符合题意； D、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意． 故选：C． C 1.下列各式符合代数式书写规范的是( ____ ) A.18×b B. C. D.m÷2n 易错易混 易错点二：列代数式 2.如图，一个瓶子内底面半径为r,瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．请用含r的代数式表示瓶内溶液的体积 　　；若瓶子的容积为1.25升，则瓶子内底面面积为 　　． 【解析】解：瓶内液体的体积为：πr2×20=20πr2(cm2)， ∵1升=1立方分米，∴1.25升=1.25立方分米=1250立方厘米， 由题意得：1250-20πr2=5πr2，解得πr2=50(cm)． 故答案为：20πr2 cm2；50cm. 易错易混 易错点三：求代数式的值 3.定义：对于一个数x,我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1．例 = ，[-2]=-1； 已知当a＞0，b＜0时有[a]=[b]+1，则代数式(b-a)3-3a+3b的值为 _____ ． -36 【解析】解：当a＞0，b＜0时，[a]=[b]+1， ∴a-1=b+1+1， ∴a-b=3， ∴(b-a)3-3a+3b=-(a-b)3-3(a-b) =-33-3×3 =-27-9 =-36， 故答案为：-36． 易错易混 易错点四：合并同类项 解：(1)3a+2b－5a－b =(3a－5a)+(2b－b) =(3－5)a+(2－1)b=－2a+b. (2)－4ab+ b2－9ab－ b2 =(－4ab－9ab)+( b2－ b2) =－13ab－ b2 4、练一练：合并同类项： (1)3a+2b-5a-b; (2) 易错易混 易错点五：整式相关概念混淆 5.下列各式是整式的是( ____ ) A.2a-b, B. C. ， ， D. ， ，(3a+b)2 【解析】解：∵2a-b和 是整式， 是分式，∴选项A不符合题意； ∵2和5πa2是整式， +3ab是分式，∴选项B不符合题意； ∵ ，- ，3a- 是整式，∴选项C符合题意； ∵ ，(3a+b)2是整式，- 是分式，∴选项D不符合题意， 故选：C． C 易错易混 易错点六：整式的化简求值 6.先化简，再求值：－(9x3－4x2＋5)－(－3－8x3＋3x2)，其中x＝2. 解：－(9x3－4x2＋5)－(－3－8x3＋3x2) ＝－8＋4－2 ＝－9x3＋4x2－5＋3＋8x3－3x2 ＝－x3＋x2－2. 当x＝2时，原式＝－23＋22－2 ＝－6. 押题预测 49 50 51 52 53 54 55 感谢您的观看 Thank you 56 1．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）关于x、y的单项式 与 是同类项，那么a、b的值分别为（    ） A．2、2 B．2、4 C．4、4 D．4、2 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 与 是同类项， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为a，将它的边长增加3得到一个新的正方形，增加的面积用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵正方形的边长是a， ∴边长增加3后为 ，∴增加的面积用代数式表示为 ， 故选D． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）观察下列图形：    它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 （ 为正整数）个图形中共有的点数是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：第1个图形有 个点， 第2个图形有 个点， 第1个图形有 个点， ……， 以此类推，第 （ 为正整数）个图形中共有的点数是 ，故选A． 4．若关于xy的多项式 中不含三次项， 的值为 ． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ∵关于 的多项式 中不含三次项， ∴ ，解得 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在下表从左到右的每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻格子中所填的有理数之和都为 ，则第2022个格子中应填入的有理数是 ． 【详解】解：根据题意，得 ，即 ， ，即 ， ∴ ，∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，由 ，∴ ， 故可以发现，这些有理数的顺序为：a， ，b， ，a， ，b， ，2，…， 四个一个循环，可以看出， ，∴ ，∴ ， ∴第2022个数是 ． 故答案为： ． （2）解：∵ ，∴ ， ， 解得： ， ，把 ， 代入 得： ． 把 ， 代入 得： ． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了多项式，形式如下： (1)求所捂住的多项式； (2)若 ，求所捂住的多项式的值． 【详解】（1）解：当 前面为“ ”时，所捂的多项式为： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； 当 前面为“ ”时，所捂的多项式为： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式 ． (1)求 的值； (2)若 的值与 的取值无关，求 的值． 【详解】（1）解： ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解：∵ ，又∵ 的值与y的取值无关， ∴ ，解得： ． $$