精品解析：浙江省湖州市长兴、安吉、德清三县联考2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

2023学年第二学期三县联考高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷分问卷和答卷两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，并涂好准考证号码. 3.答题时，请在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效. 一、单项选择题（共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分， 共50分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求得. 【详解】因为集合，集合，所以. 故选：B. 2. 若,则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可得解. 【详解】因为. 所以与的大小关系无法确定,与的大小关系无法确定. 所以. 故选:. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值和充要条件的定义可判断. 【详解】若，则，即； 取，满足，即； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和对数函数有意义的条件列出方程组进行求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 5. 下列函数中，在上是减函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对各选项函数单调性分析即可判断. 【详解】A选项的反比例函数的定义域为，不符题意. B选项的正弦函数在上是减函数 ，不符题意. C选项的对数函数在上是增函数，不符题意. D选项的函数化简为，是底数为的指数函数，在上是减函数，符合题意. 故选：D. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 . 故选：C 7. 若的展开式中只有第4项的系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质即可解得. 【详解】由题，只有一项二项式系数最大， 则为偶数，，解得， 故选：B 8. 已知集合，则集合M与N的关系是（ ） A.  B. C. D.  【答案】A 【解析】 【分析】根据两个集合的几何意义得出集合M是N的真子集，即可求解. 【详解】由题意，集合表示的是圆心在原点，半径为1的圆上的点的集合， 集合表示的是圆心在原点，半径为1的圆上的点及其内部的点的集合， 所以. 故选：A 9. 若的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式转化为的最小值，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，即， 故， 故实数的取值范围是. 故选：B 10. 二项式的展开式中所有的偶数项二项式系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的二项式系数之和为、二项式系数的性质，即可求解. 【详解】因为的二项式系数之和为， 所以， 又， 所以偶数项二项式系数之和. 故选：D 11. 关于的不等式的解集为，则和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解含参数的绝对值不等式，再结合条件求出和即可. 【详解】因为不等式的解集是，所以， 由可得， 即. 所以， 故选：B. 12. 已知集合，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元一次不等式的解法、交集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以集合， 又，且， 所以. 故选：A 13. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】在中，，由正弦定理可知，展开后逆用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】在中，若， 所以由正弦定理可知， 又， ， 即， 所以， 因为， 所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 14. 学校技能大赛有5名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能有（ ） A. 125种 B. 243种 C. 60种 D. 10种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可得解. 【详解】每一项冠军的情况都有5种， 故5名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能的种数是. 故选：A. 15. 已知，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 16. 设为实数，且则的最小值是（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】根据基本不等式的性质有， 又因， 则. 故选：C. 17. 湖州某比赛项目招募志愿者，现从某职业学校旅游专业6名优秀学生和2名老师中选3人作为志愿者，其中至少1有位老师的选法有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类计数原理，至少有1位老师的选法分为两类，3人中有1位老师或2位老师，结合组合数公式即可求解. 【详解】由题意，至少有1位老师的选法分为两类，3人中有1位老师或2位老师， 故3人中有1位老师的选法有种， 3人中有2位老师的选法有种， 故至少1有位老师的选法有种. 故选：D 18. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，代入得，代入得，两式作差即可求解. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故选：D 19. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解. 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D. 20. 将函数的图象向右平移个单位，所得的图象过点，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变换得出函数的关系式，代入点，利用正弦型函数的性质即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象， 因为所得的图象过点， 所以， 所以，即， 又， 故当时，的最小值为. 故选：C 二、填空题(共7小题，每小题4分，共28分) 21. 设集合，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的补集运算求出集合，进而求出的值. 【详解】因为集合，，， 所以，所以，所以. 故答案为：. 22. 若，则的最小值是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意函数，已知， 根据基本不等式有， 故答案为：. 23. 在实数集上定义运算*：.若关于x的不等式的解集为，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，再根据一元二次不等式的解集求出参数即可解得. 【详解】由题，，又知其解集为， 则和是方程的两个根， 代入得到，解得， 故答案为：. 24. 现有5张《飞驰人生2》连号的电影票，需要分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则不同分法的种数为 _________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和排列数的计算即可解得. 【详解】由题，将电影票分为四组，其中一组为连号，则共有种分组方法， 将连在一起的两张票分给甲乙两人，则共有种分法， 将剩余的三张票分给剩下的三人，则共有种分法， 故共有种分法， 故答案为：. 25. 若函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 26. 的展开式中项的系数为___________. 【答案】55 【解析】 【分析】先分析展开式中项的来源，然后分别计算系数再相加即可. 【详解】的展开式中项一方面来源于的展开式中的项， 另一方面来源于的展开式中的项与中的项相乘得到； 的展开式的通项为，令，得， 可得的展开式中的系数为；令，解得， 可得的展开式中的系数为， 所以的展开式中含项的系数为 . 故答案为：55. 27. 在中，，则的边长等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又， 由正弦定理得， 即. 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分. 解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则、组合数公式、诱导公式、特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 . 29. 已知，且,求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角基本关系式求出的值，代入展开式即可求值; （2）根据二倍角公式展开，代入的值即可求值. 【小问1详解】 又 【小问2详解】 将，代入有： 30. 已知函数 . （1）求的定义域； （2）若求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数成立的条件，结合一元二次不等式进行求解即可. （2）根据对数函数的单调性，建立不等关系进行求解即可. 【小问1详解】 由题得：真数，解得：或， 所以定义域为：或. 【小问2详解】 由题得：， 则，即，解得：， 所以的取值范围. 31. 已知展开式中各项二项式系数之和为． （1）求的值. （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）由二项展开式中二项式系数和公式即可得解. （）由二项展开式的通项公式即可得解. 【小问1详解】 二项式系数之和. ∴解得. 【小问2详解】 . 令得. ∴所求常数项为. 32. 如图，在平面四边形中，，，，.求： （1）的度数； （2）的边上高的大小. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题目条件及正弦定理直接求解的度数即可. （2）先由求出面积，再用余弦定理求出，最后用等面积法即可求出上高. 【小问1详解】 在平面四边形中，，，， 由正弦定理可得，解得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以边上高等于. 33. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为8，对称轴方程是，且在y轴上的截距为. （1）求的解析式； （2）若函数的定义域为，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数与x轴的两个交点间的距离和对称轴方程求得交点坐标，设出交点式方程，代入，即可求解； （2）利用函数的定义域为，则不等式对一切实数均成立，结合判别式恒小于等于零，即可求解. 【小问1详解】 因为二次函数与x轴的两个交点间的距离为8，对称轴方程是， 所以交点坐标为， 设二次函数的解析式为，且， 又函数在y轴上的截距为， 代入得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数， 又函数的定义域为， 则不等式对一切实数均成立， 故，即， 解得， 所以实数k的取值范围. 34. 已知 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式、两角差的正弦公式化简得，结合最小正周期公式即可求解； （2）求出的取值范围，结合正弦型函数的单调性和最值即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ，，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当，即时，最大值为， 当，即时，最小值为. 35. 某餐饮公司为提高员工的综合技能，聘请某专业培训机构对员工进行技能提升培训.培训机构在对每位员工培训时，要向该公司收取相关的培训费，双方约定按以下方案进行培训费用结算： ①若参加培训的员工人数不超过30人时，每人培训费用为800元； ②若参加培训的员工人数超过30人时则给予优惠，每多1人，每人的培训费用就减少10元，但参加培训的人数最多不超过70人. 设参加培训的员工人数为（人），每位员工的培训费用为（元）. （1）写出与之间的函数关系式； （2）若培训机构此次培训固定成本为12000元，设培训机构的培训利润为（元），请问当培训人数为多少人时，培训机构的培训利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当培训人数为55人时，培训机构的培训利润最大，最大利润是18250元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答； （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 当时，每人培训费：， 当时，每人培训费：， . 【小问2详解】 由题得：利润， ， 若，当时，Q有最大值元； 若，当时， Q有最大值元； 因为， 所以当培训人数为55人时，培训机构的培训利润最大，最大利润是18250元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期三县联考高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷分问卷和答卷两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，并涂好准考证号码. 3.答题时，请在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效. 一、单项选择题（共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分， 共50分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若,则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在上是减函数是（ ） A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 若的展开式中只有第4项的系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知集合，则集合M与N的关系是（ ） A.  B. C. D.  9. 若的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二项式的展开式中所有的偶数项二项式系数之和为（ ） A. B. C. D. 11. 关于的不等式的解集为，则和的值是（ ） A. B. C. D. 12. 已知集合，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 13. 在中，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 14. 学校技能大赛有5名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能有（ ） A. 125种 B. 243种 C. 60种 D. 10种 15. 已知，则是（ ） A. B. C. D. 16. 设为实数，且则的最小值是（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 17. 湖州某比赛项目招募志愿者，现从某职业学校旅游专业6名优秀学生和2名老师中选3人作为志愿者，其中至少1有位老师的选法有（ ）种 A. B. C. D. 18. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 19. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 20. 将函数的图象向右平移个单位，所得的图象过点，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题(共7小题，每小题4分，共28分) 21. 设集合，，，则___________. 22. 若，则的最小值是______________. 23. 在实数集上定义运算*：.若关于x的不等式的解集为，则实数__________. 24. 现有5张《飞驰人生2》连号的电影票，需要分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则不同分法的种数为 _________种. 25. 若函数，则_________. 26. 的展开式中项的系数为___________. 27. 在中，，则的边长等于_______. 三、解答题（共8小题，共72分. 解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 29. 已知，且,求： （1）； （2）. 30. 已知函数 . （1）求的定义域； （2）若求的取值范围. 31. 已知展开式中各项二项式系数之和为． （1）求的值. （2）求展开式中的常数项． 32. 如图，在平面四边形中，，，，.求： （1）的度数； （2）的边上高的大小. 33. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为8，对称轴方程是，且在y轴上的截距为. （1）求的解析式； （2）若函数的定义域为，求实数k的取值范围. 34. 已知 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值与最小值. 35. 某餐饮公司为提高员工的综合技能，聘请某专业培训机构对员工进行技能提升培训.培训机构在对每位员工培训时，要向该公司收取相关的培训费，双方约定按以下方案进行培训费用结算： ①若参加培训的员工人数不超过30人时，每人培训费用为800元； ②若参加培训的员工人数超过30人时则给予优惠，每多1人，每人的培训费用就减少10元，但参加培训的人数最多不超过70人. 设参加培训的员工人数为（人），每位员工的培训费用为（元）. （1）写出与之间的函数关系式； （2）若培训机构此次培训固定成本为12000元，设培训机构的培训利润为（元），请问当培训人数为多少人时，培训机构的培训利润最大，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $