专题突破：利用空间向量解决线段点的存在探究性问题-2024-2025学年第一学期高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题突破：利用空间向量解决线段点的存在探究性问题 1．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 4．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 5．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 6．在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点. (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且，在棱上求一点，使得平面. 7．如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．    (1)求证：直线平面． (2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 9．如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来；(2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点． (1)记平面交于点，求证：平面； (2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． (1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小； (3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 12．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点． (1)求证：平面；(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 13．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且． (1)证明:平面．(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，.    (1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置； (2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 15．如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 16．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 17．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点. (1)证明：平面. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在异于端点的一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 20．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 21．如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)求证：直线直线； (3)直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面. (1)证明：； (2)已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. 23．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 24．如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别是、的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 25．如图，直三棱柱中，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得二面角的平面 角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$