第12讲 特殊二次函数的图像（1个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第12讲 特殊二次函数的图像（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2022秋•黄浦区校级月考）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 2．（2020秋•金山区期末）抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是　　．（填“上升”或“下降” 3．（2022秋•台山市校级期中）对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线． （3）结合图象，当时，的取值范围 　　． 题型二、y=ax²+k的图象和性质 4．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 题型三、y=a（x-h）²的图象和性质 6．（2020·上海普陀·一模）在下列对抛物线的描述中，正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点在轴上 C．对称轴是直线 D．与轴的交点是 7．（2023·上海崇明·一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 题型四、y=a（x-h）²+k的图象和性质 8．（22-23九年级·上海·假期作业）关于抛物线以下说法正确的是（    ） A．抛物线在直线右侧的部分是上升的 B．抛物线在直线右侧的部分是下降的 C．抛物线在直线右侧的部分是上升的 D．抛物线在直线右侧的部分是下降的 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是 （填“>”或“<”或“=”）． 10．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式． 题型五、y=ax²的图象和性质 11．（2024·上海普陀·一模）下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 12．（2023·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是 的（填“上升”或“下降”）． 13．（23-24九年级上·课后作业）已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 分层练习 一、单选题 1．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 2．抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( ) A．(1，－5) B．(－1，－5) C．(－1，－4) D．(－2，－7) 3．已知二次函数，则有（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 4．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D．该抛物线与x轴有两个交点 5．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与y轴交点的坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 6．已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为（ ） A．y=2(x+1)2+8 B．y=18(x+1)2-8 C．y=2(x-1)2+8 D．y=2(x-1)2-8 二、填空题 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数的图象的顶点坐标为 . 9．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 10．二次函数的最小值是 ． 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．若二次函数y＝（m+2）的图象开口向下，则m＝ ． 13．当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是 ． 14．二次函数、的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）． 15．已知点都在二次函数的图象上，则从小到大排列 ． 16．已知点A(4，y1)，B(0，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－1)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ． 17．如图，抛物线＝﹣3与＝＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，﹣＝4；④2AB＝3AC．其中正确结论是 ．（填序号） 18．填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 三、解答题 19．（1）计算：． （2）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 ； ②图象的对称轴为直线 ； ③图象与y轴的交点坐标为 ； ④当x＝ 时，函数y有最小值，最小值为 ． 20．（1）化简：； （2）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，求的值． 21．已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点． （1）求证：点、不能同时在抛物线上； （2）点在抛物线上吗？为什么？ 22．在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y． (1)用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率． 23．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 24．小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 … (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 特殊二次函数的图像（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2022秋•黄浦区校级月考）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 【分析】分类讨论正比例函数和二次函数的图象性质即可得出正确答案． 【解答】解：当时，的函数图象经过原点和一，三象限，的图象开口向下，与轴交于正半轴． 当时，函数图象经过原点和二，四象限，的图象开口向上，与轴交于负半轴． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数性质才能灵活解题． 2．（2020秋•金山区期末）抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是　上升　．（填“上升”或“下降” 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴为轴， 在对称轴左侧随的增大而增大， 抛物线在轴左侧的部分是上升的， 故答案为：上升． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2022秋•台山市校级期中）对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线． （3）结合图象，当时，的取值范围 　　． 【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （3）根据函数图象回答即可． 【解答】解：（1）． 抛物线的顶点式为故答案为：． （2）列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 函数图象如图所示： （3）根据函数图象可知：当时，的取值范围． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得的取值范围是解题的关键． 题型二、y=ax²+k的图象和性质 4．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：A. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； B. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； C. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项符合题意； D. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、二、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 题型三、y=a（x-h）²的图象和性质 6．（2020·上海普陀·一模）在下列对抛物线的描述中，正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点在轴上 C．对称轴是直线 D．与轴的交点是 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据函数y=a（x-h）2的性质逐项排查即可． 【详解】解：∵ ∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x轴上，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-1）， 所以A、C、D选项错误，B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数y=a（x-h）2的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关键． 7．（2023·上海崇明·一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出、值，再比较即可 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数图像上的两点值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横坐标代入二次函数解析式求出值． 题型四、y=a（x-h）²+k的图象和性质 8．（22-23九年级·上海·假期作业）关于抛物线以下说法正确的是（    ） A．抛物线在直线右侧的部分是上升的 B．抛物线在直线右侧的部分是下降的 C．抛物线在直线右侧的部分是上升的 D．抛物线在直线右侧的部分是下降的 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分先下降，后上升，则选项A，B错误； 抛物线在直线右侧的部分是上升的，则选项C正确，选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是 （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为． 10．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由对称轴可求得m的值，再把与y轴的交点坐标代入可求得a的值． 【详解】∵抛物线y＝a（x＋m）2， ∴对称轴为x＝−m， ∵抛物线对称轴是x＝2， ∴m＝−2， ∴抛物线解析式为y＝a（x−2）2， ∵抛物线与y轴的交点是（0，8）， ∴8＝a（0−2）2， 解得a＝2． ∴这个二次函数的解析式是y=2(x−2)2 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 题型五、y=ax²的图象和性质 11．（2024·上海普陀·一模）下列关于抛物线和抛物线的说法中，不正确的是(   ) A．对称轴都是y轴 B．在y轴左侧的部分都是上升的 C．开口方向相反 D．顶点都是原点 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：抛物线和抛物线， 它们的对称轴都是轴，故选项A不符合题意； 抛物线在轴左侧的部分是下降的，抛物线在轴左侧的部分都是上升的，故选项B符合题意； 它们的开口方向相反，故选项C不符合题意； 顶点都是原点，故选项D不符合题意； 故选：B． 12．（2023·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小． 故答案为：下降． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 分层练习 一、单选题 1．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，直接利用二次函数的性质分析得出答案，正确掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，则函数有最大值，即当时，的最大值为，故正确； 函数的对称轴为直线，即轴，故正确； 当时，随的增大而减小，故错误； 由可知函数的顶点坐标为，故正确； 故选：． 2．抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( ) A．(1，－5) B．(－1，－5) C．(－1，－4) D．(－2，－7) 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数顶点公式进行解题. 【详解】 顶点为（-1，-5）. 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点公式的计算是解题关键. 3．已知二次函数，则有（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线顶点式解析式特征，结合抛物线图象的性质，开口向上的抛物线，在对称轴的右边，随的增大而增大，据此解题即可． 【详解】 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 根据抛物线图象的性质，当时，随的增大而增大 A、B、D都不正确， D正确 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D．该抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图像与表达式之间的关系判断即可； 【详解】解： ∴该函数图像开口向上，选项A正确，不符合题意； 顶点坐标为 ；选项B错误，符合题意； 对称轴为直线；当时，y随x的增大而增大；选项C正确，不符合题意； 令，得： 变形得： ∴方程有两个不相等的实数根； 即：该抛物线与x轴有两个交点；选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与表达式之间的关系是解题关键． 5．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与y轴交点的坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数图象与系数的关系逐项分析即可． 【详解】解：A. 二次函数图象的对称轴是直线，故不正确； B. 二次函数图象的顶点坐标为，故不正确； C. 当x=0时，，∴二次函数的图象与y轴交点的坐标是，故不正确； D. ∵-4<0，∴图象开口向下，∵对称轴是直线，∴二次函数图象的当时，y随x的增大而增大，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 6．已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为（ ） A．y=2(x+1)2+8 B．y=18(x+1)2-8 C．y=2(x-1)2+8 D．y=2(x-1)2-8 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】根据题图可设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣8， 将（3,0）代入得，0=4a﹣8， 解得a=2， 则二次函数解析式为y=2(x-1)2-8. 故选D. 【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数解析式，解此题的关键在于已知二次函数的顶点坐标，则可设出函数的顶点式，再利用待定系数法求解即可. 二、填空题 7．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线的顶点坐标为直接写出即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是熟记抛物线的顶点坐标为． 8．二次函数的图象的顶点坐标为 . 【答案】(3，1) 【分析】根据二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k）,可判断顶点坐标为（3，1）. 【详解】解：∵为顶点式解析式， ∴顶点坐标为（3，1）. 故答案为（3，1） 【点睛】本题考查抛物线顶点式解析式与顶点坐标的关系，注意解析式的形式. 9．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 10．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵，开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标； 【详解】是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 故答案为 【点睛】考查二次函数的性质，在顶点式中，顶点坐标是． 12．若二次函数y＝（m+2）的图象开口向下，则m＝ ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义可得m2-3=2，解方程可求出m的值，根据二次函数图象开口向下，可得二次项系数m+2＜0，进而可确定m的值． 【详解】∵y＝（m+2）是二次函数， ∴m2-3=2， 解得：， ∵二次函数y＝（m+2）的图象开口向下， ∴m+2＜0， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质．二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2；当a＜0时，二次函数图象开口向下；当a＞0时，二次函数图象开口向上；熟练掌握二次函数的定义及性质是解题关键． 13．当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线：， ∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小； ∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 14．二次函数、的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 15．已知点都在二次函数的图象上，则从小到大排列 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】分别计算自变量为 、、 对应的函数值， 然后比较函数值的大小即可； 【详解】解：当 当 当     所以 ； 故答案为 ； 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征： 二次函数图象上点的坐标满足其解析式 16．已知点A(4，y1)，B(0，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－1)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】分别计算出自变量为4，0和﹣3所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】∵点A（4，y1），B（0，y2），C（－3，y3）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象上的两点， ∴y1＝（x﹣1）2﹣1＝（4﹣1）2﹣1＝8；y2＝（x﹣1）2﹣1＝（0﹣1）2﹣1＝0，y3＝（x﹣1）2﹣1＝（﹣3﹣1）2﹣1＝15， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为y3＞y1＞y2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 17．如图，抛物线＝﹣3与＝＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，﹣＝4；④2AB＝3AC．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①④ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的性质得到y2的最小值为1，则可对①进行判断；把A点坐标代入y1=a（x+2）2-3中求出a，则可对②进行判断；分别计算x=0时两函数的对应值，再计算y2-y1的值，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性计算出AB和AC，则可对④进行判断． 【详解】解：∵y2=+1， ∴y2的最小值为1，所以①正确； 把A（1，3）代入y1=a(x+2)2-3得a(1+2)2-3=3， ∴3a=2，所以②错误； 当x=0时，y1=(x+2)2-3=-， y2=+1=， ∴y2-y1=+=，所以③错误； 抛物线y1=a (x+2)2-3的对称轴为直线x=-2，抛物线y2=+1 的对称轴为直线x=3， ∴AB=2×3=6，AC=2×2=4， ∴2AB=3AC，所以④正确． 故答案为①④. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质． 18．填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【答案】见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为： ， 当时，有最大值，最大值为0， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， 当时，有最小值，最小值为0， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故答案为：   向下  轴    0  大  0  减小   增大；    向上  轴    0  小  0  增大  减小． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练利用二次函数的解析式画出图象，并掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质是解题的关键． 三、解答题 19．（1）计算：． （2）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 ； ②图象的对称轴为直线 ； ③图象与y轴的交点坐标为 ； ④当x＝ 时，函数y有最小值，最小值为 ． 【答案】（1）1－；（2）①向上；②；③；④3， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次根式的加减运算 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值写出，再计算乘法及去绝对值，最后计算加减即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝1－ （2）① 二次函数得图象的开口方向是向上， ②图象的对称轴为直线； ③令时， 图象与y轴的交点坐标为； ④当时，函数y有最小值，最小值为； 故答案为：①向上；②；③；④3，． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加减以及二次函数的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及二次函数的性质是解题的关键． 20．（1）化简：； （2）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、异分母分式加减法 【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算即可得到答案； （2）联立方程组得，由可得a的值． 【详解】解：（1） = = =； （2）联立方程组，得 ∵二次函数与正比例函数的图象只有一个交点， ∴方程即有唯一的解， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，二次函数的图象与性质，根的判别式等知识，解题的关键是学会转化的思想思考问题． 21．已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点． （1）求证：点、不能同时在抛物线上； （2）点在抛物线上吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）不在，理由见解析． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、用反证法证明命题 【分析】（1）由抛物线y=a（x-1）2+k可知，抛物线对称轴为x=1，顶点为，假设点点同时在抛物线上，然后将C（-1，2），E（4，2）两点代入解析式中求得a的值，得出矛盾，从而假设不成立，不能同时在抛物线上； （2）假设A点在抛物线上，根据抛物线的性质得出点A为抛物线最低点，抛物线经过A，C，E三点，从而产生矛盾，排除A点在抛物线上． 【详解】解： （1） 对称轴为，顶点为 设点同时在抛物线上， 当时， 当时， 这与矛盾 假设不成立，不能同时在抛物线上 （2）不在 理由：若点在抛物线上 由（1）得，抛物线的顶点坐标为 为顶点 为最低点 又抛物线过中的三点 而B（0，-1），C（-1，2），D（2，-1），E（4，2） 抛物线只能过三点，这与（1）中的结论矛盾 假设不成立，点不在抛物线上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是利用反证法解题，掌握二次函数的性质，明确图象上点的坐标必须满足函数解析式． 22．在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y． (1)用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率及二次函数的定义．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果． （2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 4 1 2 4 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，； （2）解：共有9种情形，其中落在二次函数的图象上有2中，即点，， ． 23．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)当售价定为元时，每天的利润为140元 (3)当售价为 元时，利润最大为． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式； （2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值． 【详解】（1）解：设售价单价提高元，则 ； （2）解：由题可知售价为元， 即， 解得，， 故售价为：或， 需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件， 故售价定为10元， 当售价定为元时，每天的利润为140元； （3）解：， 当时，最大值为， 故售价为， 当售价为 元时，利润最大为． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键． 24．小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2)①直线；②，大；③ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质． （1）先把二次函数化为顶点式，然后分别求出当时，，当时，，最后画出函数图象即可； （2）①利用二次函数的性质求解即可； ②利用二次函数的性质求解即可； ③利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，，解得或（舍去）， 填表如下： x … 0 1 … y … 0 2 0 … 画出函数图象如下所示：    （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴它的对称轴是直线， 故答案为：直线； ②∵二次函数解析式为，， 该图象的顶点坐标为，该函数有最大值， 故答案为：，大； ③ 根据图象可知当，y随x的增大而减小． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$