12.3　角的平分线的性质　课件　 2024—2025学年人教版数学八年级上册

问题情境 有一空矿场地，据测定它恰好位于一条公路和一条铁路所成角的平分线上。市政府决定利用此空旷场地投资兴建一个批发市场。那么这个批发市场到公路、铁路的距离哪个更近些呢？ 公路 铁路 P 12.3 角的平分线的性质 1、角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 温故知新 2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 温故知新 活动1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ o B C A 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！ E 活动2 A Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ O 活动3 作法： ⑴ 以O为圆心,任意长为半径作弧, 交OA于M,交OB于N. ⑵ 分别以M,N为圆心,大于 的长为 半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC 射线OC即为所求. 活动4 （1）平分平角∠AOB （2）通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长 得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ （3）结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到 过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 A B O C D M N 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 活动5 A 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知： 如图，OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上, PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为点D,E. 求证： PD=PE. 命题 这个命题的条件和结论是什么? 如何用几何语言表达? O P B A E D C 证明： ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在△PDO 和△PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP, OP = OP, ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴ PD ＝ PE. 用文字语言表示为： A O B P E D PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∵OP平分∠AOB ∴PD=PE. 用符号表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 说一说 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 1. 如图， △ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P. 求证：点P 到三边AB,BC,CA的距离相等. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上， ∴ PD = PE. 即点P 到三边AB，BC,CA的距离相等. 证明：过点P 作PD,PE,PF 分别垂直于AB，BC,CA, 垂足分别为D,E,F. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 巩固练习 C P B A E D F N M 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF， 求证：CF=EB。 1.用尺规作角的平分线. 2.定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （符号语言）: ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 3.证明线段相等的方法多样化 本节小结 A O B P E D 1 2 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等且离公路， 铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 课后思考 1.必做题： （1）教材第51页习题12.3第 2、4题. （2）教材第56页复习题12 、 13题. 2.选做题： （1）教材第55页复习题12第 5题. （2）作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 与同伴进行交流. 布置作业 感谢聆听！ $$