12.3 乘法公式 知识考点梳理（课件）2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

12.3.1 两数和乘以这两数的差 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ■考点 平方差公式 公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 语言描述 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差 示例 注意 公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式 12.3.1 两数和乘以这两数的差 1. 平方差公式 考点清单解读 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 2. 平方差公式的常见变形 位置变化 （b+a）（-b+a）=a2-b2 位置变化 （-a-b）（a-b）=b2-a2 系数变化 （2a+3b）（2a-3b）=4a2-9b2 指数变化 （a2+b2）（a2-b2）=a4-b4 项数变化 （a+b+c）（a-b-c）=a2-（b+c）2 考点清单解读 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 归纳总结 平方差公式的探究：图1 中阴影部分的面积 S=a2-b2，图 2 中阴影部分的面积 S=（a+b）（a-b），故可得（a+b）（a-b）=a2-b2. 考点清单解读 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 典例 下列各式中不能用平方差公式计算的是 （ ） A．（-x+2）（x+2） B．（-3-x）（x+3） C．（2x-y）（2x+y） D．（-2x-y）（-2x+y） 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 ［解题思路］ 选项 分析 判断 A 原式=（2-x）（2+x）=22-x2 能 B 原式=-（x+3）（x+3）=-（x+3）2 不能 C 原式=（2x）2-y2 能 D 原式=（-2x）2-y2 能 ［答案］ B 考点清单解读 返回目录 ■题型 利用平方差公式进行化简求值 例 1 先化简，再求值：2（-1+3x）（3x+1）-2（2x+3）（2x-3），其中x=-2. 12.3.1 两数和乘以这两数的差 ［解析］运用平方差公式计算的方法： 重难题型突破 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 ［答案］ 解:原式=2(3x-1)(3x+1)-2(2x+3)(2x-3)=2[(3x)2-1]-2[(2x)2-9]=2(9x2-1)-2(4x2-9)=18x2-2-8x2+18=10x2+16, 把 x=-2 代入,得原式=10×4+16=56. 重难题型突破 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 变式衍生 先化简，再求值：（2n-2）（4+22n）（-2-2n），其中 n=2. 解：原式=（2n-2）（-2-2n）（4+22n） =-（2n-2）（2n+2）（4+22n） =-［（２ｎ）２－４］（２２ｎ＋４） =-（22n-4）（22n+4） =-（24n-16） =16-24n， 把 n=2 代入，得原式=16-28=16-256=-240. 重难题型突破 返回目录 ■错误运用平方差公式 例 计算：（3x-2y-7）（3x+2y-7）． 12.3.1 两数和乘以这两数的差 ［答案］ 解：原式=（3x-7）2-（2y）2 =（3x-7）（3x-7）-（2y）2=9x2-42x+49-4y2． ［易错］ 解：原式=（3x）2-（2y-7）2 =（3x）2-（2y-7）（2y-7）=9x2-4y2+28y-49． ［错因］ 运用平方差公式时，找错相同项和相反项. 易错易混分析 返回目录 12.3.1 两数和乘以这两数的差 易错警示 运用平方差公式时，首先要分清相同项和互为相反数的项. 领悟提能 在套用公式时，若底数不是单个字母或数时，注意带上括号. 易错易混分析 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 方法技巧点拨 12.3.2 两数和（差）的平方 ■考点一 两数和的平方公式 两数 和的 平方 公式 语言叙述 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 2 倍 公式 （a+b）2=a2+2ab+b2 巧记 首平方，末平方，首末两倍中间放 示例 12.3.2 两数和（差）的平方 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 归纳总结 公式常见变形 （1）（-a-b）［－（ａ＋ｂ）］=（a+b）2 =a2+2ab+b2； （2）（a+b+c）2=［（a+b）＋c］２； （3）a2+b2=（a+b）2-2ab； （4）（a+b）3=（a+b）2（a+b）. 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 典例 1 计算： （1）（3x+y）2； （2）30042． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 ［解析］（1）利用两数和的平方公式展开即可得到结果； （2）将 3004 分解为 3000+4，再运用两数和的平方公式计算即可. ［答案］ 解：（1）原式=（3x）2+2×3x·y+y2 =9x2+6xy+y2； (2)30042=(3000+4)2 =30002+2×3000×4+42 =9000000+24000+16 =9024016. 考点清单解读 返回目录 ■考点二 两数差的平方公式 两数 和的 平方 公式 语言叙述 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2 倍 公式 （a-b）2=a2-2ab+b2 巧记 首平方，末平方，首末两倍中间放 12.3.2 两数和（差）的平方 考点清单解读 返回目录 续表 注意 （1）在公式中，字母 a 和 b 可以是含字母的代数式，也可以是单独的数，在运用公式进行运算时，应注意区分哪个是 a，哪个是 b （2）对形如两数差的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看成一项，然后再用公式 12.3.2 两数和（差）的平方 考点清单解读 返回目录 续表 公式 变形 （-a+b）2=［-（a-b）］2=（a-b）2=a2-2ab+b2 （-a+b）2=（b-a）2 （a-b-c）2=［a-（ｂ＋ｃ）］2=［（a-b）-c］2 a2+b2=（a-b）2+2ab （a-b）2=（a+b）2-4ab （a+b）2=（a-b）2+4ab 12.3.2 两数和（差）的平方 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 归纳总结 利用两数差的平方公式时，当公式中的 a，b 不是单独的数或单独的字母时，要注意添加括号. 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 典例2 计算： （1） 2； （2）1 9992. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 ［解析］（1）利用两数差的平方公式展开即可得到结果； （2）将 1 999 分解为 2 000-1，再运用两数差的平方公式计算. ［答案］ 解：（1）原式＝2-2= ; （2）1 9992=（2 000-1）2 =2 0002-2×2 000×1+12 =4 000 000-4 000+1 =3 996 001. 考点清单解读 返回目录 ■题型 利用两数和（差）的平方公式探索规律 12.3.2 两数和（差）的平方 例 设一个两位数 a3 可表示为 10a+3，当 a 取不同的值时，a3 的平方如下： 第 1 个等式：13×13=169=（10×1+6）×10×1+9； 第 2 个等式：23×23=529=（10×2+6）×10×2+9； 第 3 个等式：33×33=1 089=（10×3+6）×10×3+9…… （1）请写出第 4 个等式：______________； （2）根据上述规律，请写出 a3 的平方的一般性规律，并予以证明． 重难题型突破 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 ［答案］ 解：（1）43×43=1 849=（10×4+6）×10×4+9 （2）a3 的平方的一般性规律为（a3）2=（10a+3）2=（10a+6）×10a+9； ∵ 左边=（10a+3）2=（10a）2+60a+9， 右边=（10a+6）×10a+9=（10a）2+60a+9， ∴（10a+3）2=（10a+6）×10a+9 成立． 重难题型突破 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 解题通法 求解规律探索题的方法：一般先从题目所给的几个等式出发找到存在的共同规律（从特殊到一般），再用文字或含有字母的关系式表示这个规律，最后还需要验证其正确性（从一般到特殊）. 重难题型突破 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 ■方法：整体代入法 巧用完全平方公式变形，整体代入求值，应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知条件代入求值. 方法技巧点拨 返回目录 12.3.2 两数和（差）的平方 例 将两数和（差）的平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 进行变形，可以解决很多的数学问题．请尝试解决： （1）若 a+b=5，ab=2，求 a2+b2 的值； （2）若 a+b=10，a2+b2=502，求 ab 的值． ［答案］解：（1）∵a+b=5，ab=2，∴a2+b2 =（a+b）2-2ab=52-2×2=25-4=21； （2）∵a+b=10，a2+b2=（a+b）2-2ab=502，∴102-2ab=502，∴2ab=100-2 500，∴2ab=-2 400，∴ab=-1 200． 方法技巧点拨 返回目录 $$