第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册单元测试（北师大版 广东专用）

第一章《直角三角形的边角关系》 单元测试卷 (时间：90分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 计算cos 45°的值为( D ) A． B．1 C． D． 2. 已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于( C ) A．15° B．30° C．45° D．60° 3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，则sin C的值为( D ) A． B． C． D． 　　　 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝4b，则cos B的值是( D ) A． B． C． D． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为( A ) A．2 B．8 C．4 D．4 6. 在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tan α的值为( C ) A． B． C．2 D． 　　　　 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值是( B ) A． B． C． D． 8. 如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为( A ) A． B． C．30° D．60° 9. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( B ) A．(4＋3sin α)m B．(4＋3tan α)m C．(4＋)m D．(4＋)m 　　　 10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是( A ) A．8(3－)m B．8(3＋)m C．6(3－)m D．6(3＋)m 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 计算：cos60°＋tan45°＝____． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AB＝15，则AC的值是__12__． 　　　 13. 有一斜坡的坡度为1∶，则坡角α＝__30°__． 14. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan A－|＋(cos B－)2＝0，则△ABC是__等边__三角形． 15. 如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为3 m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端离地面的高度下降了____m．(结果保留根号) 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 计算： (1)sin 30°＋； 解：原式＝ (2)sin230°＋cos260°－tan245°. 解：原式＝－ 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，求tan A和sin B的值． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝，∴tan A＝＝，sin B＝＝ 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形． 解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，又∵AC＝15，∴AB＝＝＝10，BC＝＝＝5 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长． 解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AC＝5，sin C＝＝，∴AD＝AC·sin C＝3，在Rt△ACD中，CD＝＝4.在Rt△ABD中，∵AB＝3，∴BD＝＝3，∴BC＝BD＋CD＝7 20. 如图，某水库大坝横截面为梯形，∠B＝30°，∠C＝45°，坝顶AD＝ m，CD＝20 m，求坝底BC的长(结果保留根号). 解：过点A，D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，在Rt△CDF中，∵∠C＝45°，∴DF＝CF.∵CD＝20 m，sin 45°＝，∴DF＝CF＝10 m，在Rt△BEA中，∵∠B＝30°，∴BE＝AE.∵AE＝DF＝10 m，∴BE＝10 m.在矩形ADFE中，FE＝AD＝ m，∴BC＝BE＋FE＋FC＝10＋＋10＝(11＋10)m 21. 周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30 m，求这栋楼的高度．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 解：过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝CD＝30 m，在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30 m，∴BE＝AE＝30 m，在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30 m，∴CE＝tan 37°×30≈22.5(m)，∴BC＝BE＋CE＝52.5(m).答：这栋楼的高度大约为52.5 m 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处． (1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米，参考数据：≈1.732)； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计) 解：(1)延长CB交点A所在的水平线于点D，则CD⊥AD，根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，∴AB＝BC＝900米，∵∠BAD＝30°，∴BD＝450米，∴AD＝BD＝450(米)，∴AC＝2AD＝900≈1559(米).答：湖岸A与码头C的距离约为1559米　(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，∴150x＋(400x－900)＝1559，∴x≈4.5，答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船 23. 如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB＝AC＝6，cos B＝，AD∶DB＝1∶2. (1)求△ABC的面积； (2)求CE∶DE的值． 解：(1)∵AB＝AC＝6，cos B＝，AH是△ABC的高，∴BH＝4，∴BC＝2BH＝8，AH＝＝2，∴△ABC的面积是＝＝8 (2)作DF⊥BC于点F，∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∴＝，＝，∵AD∶DB＝1∶2，BH＝CH，∴AD∶AB＝1∶3，∴BH∶HF＝3∶1，∴＝＝＝，即CE∶DE＝3∶1 学科网（北京）股份有限公司 $$