第二章 一元二次方程 单元测试卷-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册单元测试（北师大版 广东专用）

第二章《一元二次方程》 单元测试卷 (时间：90分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( A ) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2. 方程(x＋3)2＝4的根是( A ) A．x1＝－1，x2＝－5 B．x1＝1，x2＝－5 C．x1＝x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝5 3. 用配方法解方程x2－8x＋5＝0，配方后正确的是( D ) A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 4. 方程x2＋4x＋3＝0的两个根为( D ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3 5. 解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0较简便的方法是( B ) A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 6. 下列一元二次方程有实数解的是( C ) A．2x2－x＋1＝0 B．x2－2x＋2＝0 C．x2＋3x－2＝0 D．x2＋2＝0 7. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0有实数根，则m的取值范围是( D ) A．m≥ B．m< C．m>且m≠1 D．m≥且m≠1 8. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为( C ) A．200(1－x)2＝162 B．200(1＋x)2＝162 C．162(1＋x)2＝200 D．162(1－x)2＝200 9. 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为( A ) A．－3 B．－1 C．－3或1 D．－1或3 10. 一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为( A ) A.1米 B．2米 C．40米 D．1米或40米 【解析】设通道的宽为x米，根据题意，得(52－2x)(30－2x)＝1400，解得x＝40(不合题意舍去)或x＝1，∴通道的宽为1米，故选：A 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则a＝__6__． 12. 方程(x＋2)2＝x＋2的解是__x1＝－2，x2＝－1__． 13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__2__． 14. 在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程__x2－5x＋6＝0__. 【解析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1＋4＝－b，然后求出b＝－5，c＝6，所以正确的一元二次方程为：x2－5x＋6＝0.故答案为：x2－5x＋6＝0 15. 对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝__3__． 【解析】解方程x2－5x＋6＝0得x＝3或x＝2，∵x1>x2，∴x1＝3，x2＝2，∴x1*x2＝32－3×2＝3.故答案为：3 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 选择适当的方法解下列方程： (1)x2＝2x－1； 解：x2＝2x－1，可化为(x－1)2＝0，开平方，得x－1＝0，解得x1＝x2＝1 (2)9x2－(x－1)2＝0. 解：9x2－(x－1)2＝0，可化为[3x＋(x－1)][3x－(x－1)]＝0，∴3x＋(x－1)＝0或3x－(x－1)＝0，解得x1＝，x2＝－ 17. 已知－1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，求a2－b2＋2b的值. 解：∵－1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，∴1－a－b＝0，∴a＋b＝1，∴a2－b2＋2b＝(a＋b)(a－b)＋2b＝a－b＋2b＝a＋b＝1 18. 已知关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0，试判断方程根的个数，并说明理由． 解：由关于x的一元二次方程x2＋kx－k－1＝0可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2，分情况讨论：(1)当k＝－2时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；(2)当k≠－2时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 比较x2＋1与2x的大小． (1)尝试(用“＜”“＝”或“＞”填空)： ①当x＝1时，x2＋1__＝__2x； ②当x＝0时，x2＋1__>__2x； ③当x＝－2时，x2＋1__>__2x； (2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由． 解：(2)x2＋1≥2x.理由：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x 20. 已知关于x的一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0.其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：∵x＝1是一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0的根，∴(b－c)－2a＋(c＋b)＝0，∴a＝b，∵b－c≠0，∴b≠c，∴△ABC为等腰三角形 (2)△ABC为直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴(－2a)2－4(b－c)(b＋c)＝0，∴a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形 21. 已知：关于x的方程x2－(8－4m)x＋4m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝x1x2，求出符合条件的m的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(8－4m)2－4×4m2＞0，解得m＜1 (2)根据题意，得x1＋x2＝8－4m，x1x2＝4m2，∵x1＋x2＝x1x2，∴8－4m＝4m2，整理得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∵m＜1，∴m＝－2，即m的值为－2 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门．已知每个门宽度都是2米，三边围栏材料的总长为60米． (1)如果要使车棚的面积为440平方米，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直于墙的一边长度应为多少米？ (2)这个车棚的面积能否达到600平方米？ 解：(1)设垂直于墙的一边长度应为x米，则平行于墙的边长为(60－2x＋2×2)米，由题意得：x(60－2x＋2×2)＝440，解得x＝10或x＝22(不合题意，舍去)，答：垂直于墙的一边长度应为10米 (2)由题意得：x(60－2x＋2×2)＝600，整理得：x2－32x＋300＝0，∵Δ＝(－32)2－4×1×300＝－176＜0，∴此方程无实数解，∴这个车棚的面积不能达到600平方米 23. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润＝销售价－进货价) 　　　类别 价格　　　 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A，B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A，B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意得：解得答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件 (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80－m)件B款钥匙扣，依题意得：30m＋25(80－m)≤2200，解得m≤40.设再次购进的A，B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝(45－30)m＋(37－25)(80－m)＝3m＋960.∵3>0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40＋960＝1080，此时80－m＝80－40＝40.答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元 (3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元，平均每天可售出4＋2(37－a)＝(78－2a)件，依题意得：(a－25)(78－2a)＝90，整理得：a2－64a＋1020＝0，解得a1＝30，a2＝34.答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 学科网（北京）股份有限公司 $$