第一章 3 勾股定理的应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 广东专用）

3　勾股定理的应用 第一章　勾股定理 数学 八年级上册 北师版 原创新课堂 1. 最短路径： 在立体图形中，求两点间的最短路线问题，应先将其______________________，再计算______________________． 展开成平面图形 两点确定的线段长 2. 底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是____． 10 3. 勾股定理的应用： 应用勾股定理解决实际问题，先将实际问题转化为__________，然后利用_____________，列方程求解． 数学模型 勾股定理 4. 如图，A，C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB＝50m，BC＝40m，则A，C之间的距离为____． 30m 【典例导引】 知识点一：立体图形中的最短路径问题 5. 【例1】 如图，有一个长方体盒子，它的长是70 cm，宽和高都是50 cm.在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，那么它爬行的最短路线是怎样的？ 解：可能的最短路线有三条： 路线1，如图①所示，AB2＝502＋(70＋50)2＝16900； 路线2，如图②所示，AB2＝502＋(70＋50)2＝16900； 路线3，如图③所示，AB2＝(50＋50)2＋702＝14900， 因为16900>14900，所以最短路线为路线3 【变式训练】 6. (2022·东莞模拟)如图，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A处爬到点B处吃食，求爬行的最短路程(π取3). 解：沿AC将圆柱的侧面展开，如图． 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100， ∴AB＝10 cm， 答：爬行的最短路程为10 cm 知识点二：应用勾股定理解决实际问题 7. 【例2】 (北师八上P13)如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝DB＝3m，CD＝1m，求滑道AC的长． 解：设AC的长为x米， 则AB＝AC＝x米，AE＝(x－1)米， 在Rt△ACE中， 由勾股定理得AC2＝CE2＋AE2， 即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5， ∴滑道AC的长为5米 8. (北师八上P14)如图，一座城墙BC的高为11.7 m，墙外有一条宽为9 m的护城河AB，那么一架长为15m的梯子能否到达墙的顶端C？ 解：设这把梯子能够到达的墙的最大高度是h米， 则根据勾股定理得h2＝152－92＝144， ∴h＝12(米)， ∵12＞11.7， ∴一架长为15米的云梯能够到达墙的顶端 9. 【例3】 如图所示，在平静的湖面上，有一株红莲，高出水面1 m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2 m，求水深是多少？ 解：由题意得CD＝1 m，设AC＝x 则AB＝AD＝1＋x， 在Rt△ABC中， AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋22＝(1＋x)2， 10. (北师八上P18)如图，一架云梯长AC＝25米，斜靠在一面墙上，云梯底端与墙的距离BC＝7米． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果这架云梯的顶端下滑了4米至A′处，那么它的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 解：(1)根据勾股定理：AB＝24(米)， 这架云梯的顶端距地面有24米 (2)根据题意，得A′B＝24－4＝20(米)， ∴BC′＝15(米)， ∴CC′＝BC′－BC＝15－7＝8(米)； 如果这架云梯的顶端下滑了4米到A′， 那么它的底端在水平方向滑动了8米 11. 【例4】 如图，轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求A，B两船离开港口O一个半小时后的距离． 解：由题意可得：BO＝1.5×12＝18(海里)， AO＝1.5×16＝24(海里)， ∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°， 在Rt△AOB中，根 据勾股定理得AB＝30海里， 答：A，B两船离开港口O一个半小时后的距离为30海里 12. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？ 解：根据题意可知： ∠BAC＝180°－42°－48°＝90°， AC＝16×0.5＝8(海里)， 在Rt△ABC中， 根据勾股定理得AB＝15海里， 答：乙船的航速是30海里/时 ∵底面半径为2 cm，∴BC＝ eq \f(4π,2) ＝2π≈6(cm)， 解得x＝ eq \f(3,2) ， 故水深是 eq \f(3,2) m 乙船的航速是： eq \f(15,0.5) ＝30(海里/时). $$