第一章 1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 广东专用）

1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及应用 第一章　勾股定理 数学 八年级上册 北师版 原创新课堂 1. 勾股定理验证的第一种方法：分割为四个直角三角形和一个小正方形，如图： 2. 如图是“赵爽弦图”．用四块两直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成一个正方形，则小正方形的面积分别可表示为______________和__________；联立等式得到a，b，c之间的关系式为_________________． (b－a)2 a2＋b2＝c2 3. 勾股定理验证的第二种方法：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积．如图： 4. 将四块全等的直角三角形纸板拼成如图所示的图案． (1)大正方形的面积可以表示为____________； (2)大正方形的面积还可表示为____________________； (3)由(1)(2)可得到_________________． (a＋b)2 a2＋b2＝c2 【典例导引】 知识点一：勾股定理的验证 5. 【例1】 如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为a，b(a≥b)，斜边为c的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程． 证明：∵大正方形的面积等于c2， 小正方形的面积等于(b－a)2， ∴大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积， 即c2－(b－a)2＝2ab， 整理得a2＋b2＝c2 【变式训练】 6. (北师八上P7)1876年，伽菲尔德利用如图证明了勾股定理，其中∠A和∠B为直角，现在请你尝试写出他的证明过程． ∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2 知识点二：勾股定理的应用 7. 【例2】 (北师八上P5)如图，在某次军事演练中，侦察员小王在距离公路400 m的A处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，敌方汽车从C处行驶10 s后到达B处，测得AB＝500 m，若AC⊥BC，请你帮小王计算出敌方汽车的行驶速度． 解：由题意，得AC＝400米，AB＝500米， 在Rt△ABC中， 由勾股定理得BC＝300米， 300÷10＝30(米/秒)＝108(千米/小时)， 答：敌方汽车的行驶速度是108千米/小时 8. (佛山期中)某市“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在城市道路BC上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处(BC⊥AC)，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为100米，请问这辆小汽车是否超速？ 解：根据题意，得AC＝60 m，AB＝100 m，∠C＝90°， 在Rt△ACB中， 根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝1002－602＝802， 所以BC＝80 m，小汽车4秒行驶80米， 即小汽车行驶速度为72千米/时， 因为 72＞70，所以小汽车超速行驶 9. 【例3】 (北师八上P6)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元每千米，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 解：由题意可知，∠MNO＝∠OPQ＝90°， 由勾股定理得MO＝50 km，QO＝130 km， ∴MO＋QO＝50＋130＝180(km)， ∴该沿江高速公路的造价预计是：180×5000＝900000(万元) 10. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：连接AC，在Rt△ABC中， 根据勾股定理， 得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5＞2.22， ∴AC大于木板的宽2.2 m， ∴薄木板能从门框内通过 c2－4× eq \f(1,2) ab 4× eq \f(1,2) ab＋c2 四个直角三角形的面积等于4× eq \f(1,2) ab， 解：由图可得， eq \f(1,2) ×(a＋b)(a＋b)＝ eq \f(1,2) ab＋ eq \f(1,2) c2＋ eq \f(1,2) ab， 整理，得 eq \f(a2＋2ab＋b2,2) ＝ eq \f(2ab＋c2,2) ， $$