第23章 专题训练(八) 用辅助线构造中位线解题(选做)（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

数学 九年级上册 华师版 四清导航 专题训练(八) 用辅助线构造中位线解题(选做) 第23章 图形的相似 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别交直线MN于点E，F.求证：∠BEM＝∠CFM. 类型之二　中点条件不充足时，作辅助线构造中位线解题 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是____． 类型之一　已知两个或多个中点时，作辅助线构造中位线解题 1．如图，已知△ABC，延长BC到点D，使CD＝BC.取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求 eq \f(AE,AC) 的值． 解：如图，连结FC，AD.∵点F是AB的中点，CD＝BC，∴FC是△ADB的中位线，所以FC∥AD，FC＝ eq \f(1,2) AD，∴△EDA∽△EFC，∴ eq \f(AE,CE) ＝ eq \f(AD,FC) ＝2，∴ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(2,3) 证明：如图，连结BD，取BD的中点G，连结GM，GN.∵N是AD的中点，∴GN∥AB，GN＝ eq \f(1,2) AB.同理GM∥DC，GM＝ eq \f(1,2) DC.∵AB＝CD，∴GM＝GN，∴∠GNM＝∠GMN，且∠GNM＝∠BEM，∠GMN＝∠CFM，∴∠BEM＝∠CFM eq \f(\r(3),2) 4．如图，AD是△ABC的中线．求证：AD< eq \f(1,2) (AB＋AC). 证明：如图，取AC的中点E，连结DE，则EA＝EC＝ eq \f(1,2) AC.∵DB＝DC，∴DE＝ eq \f(1,2) AB.∵AD<AE＋DE，∴AD< eq \f(1,2) AC＋ eq \f(1,2) AB，∴AD< eq \f(1,2) (AB＋AC) 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ eq \f(1,2) BC.以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中点．求证：AE⊥EB. 证明：如图，取BD的中点F，连结EF.则EF为△BCD的中位线，∴EF＝ eq \f(1,2) BC，EF∥BC.∵∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝135°，∠DFE＝∠DBC＝45°，∴∠EFB＝135°.∵EF＝ eq \f(1,2) BC，AC＝ eq \f(1,2) BC，∴EF＝AC.∵CD＝BD，E，F分别为CD，BD的中点，∴CE＝FB，∴△EFB≌△ACE，∴∠CEA＝∠FBE.又∵∠FBE＋∠DEB＝90°，∴∠DEB＋∠CEA＝90°，故∠AEB＝90°，∴AE⊥EB $$