热点02 基本不等式求最值及应用-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点02基本不等式求最值及应用 考点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 考点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 热点一 直接法求最值 例1．已知，，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 例2．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 变式1-1．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 变式1-2．取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式1-3．已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 热点二 配凑法求最值 例3．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 变式2-2．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．15 变式2-3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 热点三 商式型求最值 例5．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 例6．求的最大值,以及取得最大值时的值. 变式3-1．函数的最小值为 变式3-2．函数的值域是 ． 变式3-3．求函数的最小值. 热点四 常数代换法求最值 例7．已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 例8．设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 变式4-1．已知两个正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式4-2．已知，则的最小值为 ． 变式4-3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 热点五 消元法求最值 例9．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例10．已知实数满足，则的最小值是 ． 变式5-1．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，且，则的最小值为 ． 热点六 不等式法求最值 例11．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．已知正实数满足，则的最小值为 变式6-1．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式6-2．已知，且，则的最大值为 . 变式6-3．若，，，则的取值范围为 ． 热点七 与基本不等式的有关的参数问题 例13．已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 例14．关于的不符式； (1)若，求不等式的解集． (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 变式7-1．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 热点八 基本不等式的实际问题 例15．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 例16．如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 变式8-1．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 变式8-2．现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？    变式8-3．在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋的面积预定为112平方米，且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用为元/米；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算？（，结果精确到0.1） 一、单选题 1．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知，以下给出的4个不等式中错误的共有（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·广东珠海·一模）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 4．（2023-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 7．（2023-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高二下·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 二、多选题 9．（2023-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 10．（2023-24高一上·江西南昌·阶段练习）设一元二次方程的两个实根为，，则（    ） A． B．当时，的最小值为 C．为定值 D．当时， 11．（2023-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 三、填空题 12．（2023-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知直角三角形的三边长之和为1，则该三角形面积的最大值为 . 13．（2023-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 14．（2023-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 四、解答题 15．（2023-24高一上·陕西西安·期末）求下列式子的最小值. (1)已知，求； (2)已知，且，求的最小值. 16．（2023-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 17．（2023-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 18．（2023-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19．（2023-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02基本不等式求最值及应用 考点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 考点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 热点一 直接法求最值 例1．已知，，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】利用基本不等式可知 因为，所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为. 故选：D 例2．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【答案】A 【详解】因a，b为正实数，由可得， 即得，当且仅当时取等号， 即时，ab的最小值为4. 故选：A. 变式1-1．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 变式1-2．取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 变式1-3．已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 热点二 配凑法求最值 例3．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由于，所以， 由, （当且仅当时取等号），可得的最小值为3， 故选：D． 例4．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 变式2-1．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【详解】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 变式2-2．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】因为，则，即， 所以，令，则，， 所以， 当且仅当，即，，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 变式2-3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【详解】， 当且仅当即时取等号. 故选：B 热点三 商式型求最值 例5．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 例6．求的最大值,以及取得最大值时的值. 【答案】时, 【解析】当时,；当时,转化为根据基本不等式求最值. 【详解】解:当时,； 当时,. ,当且仅当,即时,等号成立. 当时,. 【点睛】此题考查求函数的最值，结合基本不等式求解，需要注意根据基本不等式求最值时应考虑等号成立的条件. 变式3-1．函数的最小值为 【答案】3 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将题干进行配凑，再求解，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 变式3-2．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 变式3-3．求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 热点四 常数代换法求最值 例7．已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. 故选：C 例8．设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，故， 当且仅当时，即时，等号成立； 故选：A 变式4-1．已知两个正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 变式4-2．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 变式4-3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，， ， ，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A. 热点五 消元法求最值 例9．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由得， 故， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 例10．已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 变式5-1．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 变式5-2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 变式5-3．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 热点六 不等式法求最值 例11．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 例12．已知正实数满足，则的最小值为 【答案】 【详解】，所以， 即，解得，当且仅当，即时等号成立， ， 故答案为： 变式6-1．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】因为为正数，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 变式6-2．已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 即， 由基本不等式得， 则， 解得，当且仅当取等号. 所以的最大值为. 故答案为：. 变式6-3．若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又， 当且仅当时等号成立，故，解得，即． 故答案为： 热点七 与基本不等式的有关的参数问题 例13．已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 【答案】C 【详解】∵，所以， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 即， 由题意可得：，又，解得， 故的最大值为24. 故选：C. 例14．关于的不符式； (1)若，求不等式的解集． (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，即， ，解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， ， 因为时，不等式有解， 所以当时，有解， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 变式7-1．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数 m 的取值范围是． 故选：B． 变式7-2．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则. 故选：A. 变式7-3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则， 故选：A. 热点八 基本不等式的实际问题 例15．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 例16．如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】(1)规划时，面积最少 (2)步道至少有7米. 【详解】（1）根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； （2）根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 变式8-1．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 变式8-2．现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？    【答案】488kg. 【详解】设矩形草坪的长为，宽为，由题意草坪的面积为， 花卉带的面积为， 所以每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为 ， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料最少为488kg. 变式8-3．在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋的面积预定为112平方米，且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用为元/米；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算？（，结果精确到0.1） 【答案】保留约11.3米最为合算 【详解】设保留的旧墙的长度为， 则另外三面墙的长度之和为， 另外三面墙中利用旧墙材料修建的长度为， 所以新墙的长度为， 所以总费用为 ， 当且仅当，即时等号成立， 故保留约11.3米最为合算. 一、单选题 1．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知，以下给出的4个不等式中错误的共有（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】因为，所以，可得， 所以（1）（2）错误； 因为，所以，故（4）错误； 又因为，所以，可得， 综上，故（3）正确. 故选：C. 2．（2023-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 3．（2020·广东珠海·一模）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（　　） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【答案】B 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B． 4．（2023-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（2023-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 6．（2023-24高二下·河北石家庄·期末）存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 【答案】B 【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数， 设，，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，由得，，即， 所以， 故选：B． 7．（2023-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 8．（2023-24高二下·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 二、多选题 9．（2023-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 10．（2023-24高一上·江西南昌·阶段练习）设一元二次方程的两个实根为，，则（    ） A． B．当时，的最小值为 C．为定值 D．当时， 【答案】BC 【详解】因为方程的两个实根为， 所以，解得， 由，，所以，所以A错误； 则 ，当时，等号成立， 所以的最小值为，所以B正确； 由，所以C正确； 当时，，得，所以D错误． 故选：BC. 11．（2023-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误； 对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C，由，得， 由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（2023-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知直角三角形的三边长之和为1，则该三角形面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设直角三角形的两直角边分别为，斜边为，其中 因为直角三角形的三边长之和为1，则，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立, 所以的最大值为， 故答案为： 13．（2023-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 14．（2023-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为， 所以，即，又， 所以. 当且仅当时上式最右侧等号成立. 故答案为： 四、解答题 15．（2023-24高一上·陕西西安·期末）求下列式子的最小值. (1)已知，求； (2)已知，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为； （2）解：由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 16．（2023-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元， 所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得，当且仅当，即时取等号， 易知函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 17．（2023-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由，，，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. 18．（2023-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 19．（2023-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 【答案】(1)当且仅当且x，y同号时等号成立，此时x，y满足； (2)当时，T有最小值． 【详解】（1）解：由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当且x，y同号时等号成立， 此时x，y满足. （2）解：令且，由，即， 则，，解得，， 因为，所以，，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$