3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　椭圆及其标准方程的应用 知识点一　椭圆定义的综合应用 1．若椭圆C：＋＝1(m>0)上一点到C的两个焦点的距离之和为2m，则m＝(　　) A．1 B.3 C．6 D.1或3 答案　B 解析　若m>9，则由2＝2m，得m＝1(舍去)；若0<m<9，则由2m＝6，得m＝3.综上，m＝3.故选B. 2．已知椭圆的方程为＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，过F1且不与x轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　) A．10 B．20 C．2 D．4 答案　D 解析　由已知得a2＝25＋16＝41，所以△ABF2的周长是4a＝4. 3．已知椭圆C的方程为＋＝1，B(－2，0)，A(4，2)，M为C上任意一点，则|MA|－|MB|的最小值为________． 答案　2－6 解析　由题意，a＝3，b＝，c＝2，所以B(－2，0)为左焦点，设右焦点为D(2，0)，所以|MA|－|MB|＝|MA|－(2a－|MD|)＝|MA|＋|MD|－2a≥|AD|－2a＝2－6，当且仅当M，D，A三点共线且M在A，D之间时取等号． 4．已知椭圆＋＝1上一点A到焦点F1的距离为3，B是AF1的中点，O为原点，则|OB|＝________． 答案　 解析　设椭圆的另一个焦点为F2，连接AF2，∵O为F1F2的中点，B是AF1的中点，∴|OB|＝|AF2|.又|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|AF1|＝3，∴|AF2|＝，∴|OB|＝. 5．已知椭圆＋＝1的上、下两个焦点分别为F1，F2，点P为该椭圆上一点，若|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，则m＝________． 答案　－3 解析　由已知，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.又|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，∴|PF1|＋|PF2|＝－2m，∴m＝－3.经检验，m＝－3满足题意． 6．(2024·广西梧州高二校考期中)已知点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，且点P到椭圆焦点的距离的最大值为2＋，最小值为2－，则＋的取值范围是________． 答案　[1，4] 解析　因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为2＋，最小值为2－，所以⇒所以|PF1|＋|PF2|＝4，所以＋＝＝，因为|PF1|·|PF2|＝|PF1|(4－|PF1|)＝－(|PF1|－2)2＋4，又2－≤|PF1|≤2＋，所以1≤|PF1|·|PF2|＝－(|PF1|－2)2＋4≤4，所以＋的取值范围是[1，4]． 知识点二　椭圆标准方程的应用 7．若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝(　　) A．－1 B．1 C. D．－ 答案　B 解析　由椭圆方程5x2＋ky2＝5，得x2＋＝1.因为焦点(0，2)在y轴上，所以a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1＝4，解得k＝1.故选B. 8．(2023·江苏苏州中学高二期末)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝＝2.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.由中位线定理，得PF2⊥x轴．令x＝2，得y＝±×＝±，即|PF2|＝，则|PF1|＝6－＝.所以＝.故选C. 9．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 答案　A 解析　依题意a＝5，b＝3，∴c＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝64，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝100，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝9. [规律方法]　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些问题，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系，从而解决这些问题． 10．椭圆＋y2＝1上有动点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程． 解　设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)， ∵在已知的椭圆方程中，a＝3，b＝1， ∴c＝＝2， 则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)， F2(2，0)． ∵△PF1F2存在，∴y1≠0. 由三角形重心坐标公式有 即 ∵y1≠0，∴y≠0. ∵点P在椭圆上，∴＋y＝1， ∴＋(3y)2＝1(y≠0)， 即△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)． 一、选择题 1．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，∴△PF1F2为直角三角形．故选B. 2．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sinα>cosα>0.又α∈，所以<α<. 3．(2023·河北保定二中高二期末)P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　B 解析　由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝8，cos∠F1PF2＝＝＝＝.又因为0°≤∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝60°. 4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 答案　B 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 5．[多选](2023·华中师范大学附中高二期末)已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，则(　　) A．|PM|－|PF1|的最大值为 B．|PM|－|PF1|的最小值为－ C．|PM|＋|PF1|的最大值为10＋ D．|PM|＋|PF1|的最小值为－10 答案　ABC 解析　由椭圆方程知a＝5，F1(－3，0)，F2(3，0)．对于A，由于三角形两边之差小于第三边，连接MF1并延长交椭圆于点P1，则点P1是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|－|PF1|)max＝|MF1|＝＝，A正确；对于B，|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，连接F1M并延长交椭圆于点P2，则点P2是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即点P2是使|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－，B正确；对于C，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则点P3是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2|＝10＋＝10＋，C正确；对于D，|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，连接F2M并延长交椭圆于点P4，则点P4是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即点P4是使|PM|＋|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为________． 答案　＋＝1 解析　当点P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1. 7．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________． 答案　12 解析　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________． 答案　(0，±1) 解析　根据题意，知F1(－，0)，F2(，0)．设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(c，d)．可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴∴c＝，d＝.∵点A，B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋＝1，解得m＝0，n＝±1，故点A的坐标为(0，±1)． 三、解答题 9．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求这个动点的轨迹方程． 解　设动点P(x，y)， 由题意，得|x－8|＝2， 两边平方，得x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2. 整理，得＋＝1. 所以这个动点的轨迹方程为＋＝1. 10．已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点P满足∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 解　(1)由已知得|F1F2|＝2，c＝1， ∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a， ∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)在△PF1F2中，由余弦定理得， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|· |PF2|cos60°， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|， ∴4＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|＝16－3|PF1|· |PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝×4×＝. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$