2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C. D. 答案　C 解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)·x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　A 解析　由方程组解得由题意知＝8，即a＝. 3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和2x－3y＋3＝0的交点，且平行于直线y＝x的直线的一般式方程为________． 答案　3x－3y＋4＝0 解析　由解得故交点坐标为，由所求直线平行于直线y＝x，可得所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y－＝x＋1，化为一般式方程为3x－3y＋4＝0. 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点坐标： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋5＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [名师点拨]　判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况． 知识点二　直线过定点问题 5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，令解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D. [规律方法]　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(A1B2－A2B1≠0)，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1过一定点，则定点坐标为(　　) A． B．(1，3) C．(－3，－2) D． 答案　A 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为. 知识点三　对称问题 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案　B 解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2过定点(0，2)． 8．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解　由得 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)．在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)， 设点H(0，－3)关于2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)， 则解得即H′(－4，－1)．因为kNH′＝＝1，所以反射光线所在直线的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0. 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案　C 解析　由得故A∩B＝{(3，1)}． 2．(2023·长沙一中高二期末)过两条直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案　D 解析　过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 3．已知一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－y＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－17＝0 C．4x＋3y－17＝0 D．3x＋2y－12＝0 答案　C 解析　设点P(－1，5)关于直线x－y＝0的对称点为P′(a，b)，则解得故反射光线所在直线过点P′(5，－1)与点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为4x＋3y－17＝0.故选C. 4．[多选]已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．－2 C. D．－1 答案　BCD 解析　解方程组得所以l1与l2的交点M的坐标为(1，2)．三条直线不能围成三角形，有以下三种情况：①l3经过点M：1－2a－3＝0，a＝－1；②l3∥l1：－3a＝1×(－1)，a＝；③l3∥l2：－a＝1×2，a＝－2.综上，a＝或a＝－2或a＝－1. 5．[多选]若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率k的取值可能为(　　) A． B． C． D．2 答案　CD 解析　易知直线l过定点(0，－)，画出图象如图所示，由图分析，可知直线l的斜率k＞kAB＝，结合选项，易知选CD. 二、填空题 6．已知A＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，B＝{(x，y)|x＋3y－11＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝________. 答案　－3 解析　A∩B＝＝{(2，3)}，把(2，3)代入y＝3x＋b，得b＝－3. 7．点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是________． 答案　(－2，7) 解析　设点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是A′(m，n)，则有解得故点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是(－2，7)． 8．(2023·河北保定高二期中)直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且以这两个交点为端点的线段的中点是P(0，1)，则直线l的方程是________，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________． 答案　x＋4y－4＝0　2 解析　由直线l和两条直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1，l2上，设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)．∵线段AB的中点是P(0，1)，∴解得∴A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(4，0)，∴过A，B的直线方程为x＋4y－4＝0，即直线l的方程为x＋4y－4＝0.令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝4，故直线l与坐标轴围成的三角形的面积为×4×1＝2. 三、解答题 9．在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，3)，D(4，6)，M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 解　(1)设点C的坐标为(x，y)．在平行四边形ABCD中，因为线段AC与线段BD的中点重合，所以解得 所以C(10，8)． 因为M为AB的中点， 所以点M的坐标为(4，2)． 因为C(10，8)，M(4，2)，所以直线CM的方程为x－y－2＝0. (2)因为B(7，3)，D(4，6)，所以直线BD的方程为x＋y－10＝0. 联立方程解得 所以点P的坐标为(6，4)． 10．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使其分别到A，B两镇的管道之和最省，则供水站P应建在什么地方？ 解　如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省． 设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即解得 即A′(3，6)． 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0. 解方程组得 所以点P的坐标为. 故供水站P应建在点处． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$