1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第3课时　空间中直线、平面的垂直 知识点一　空间中直线与直线垂直 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 答案　B 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，∴＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1)．∵·＝×(－1)＋×(－1)＋1×0＝0，∴CE⊥BD. 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD? 解　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)． (1)证明：∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)， ∴·＝0，∴⊥，即AC⊥BC1. (2)假设在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD.设＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0，1]，则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)． ∵＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合． 知识点二　空间中直线与平面垂直 3．(2023·北京丰台高二统考期中)若直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则下列选项中能使l⊥α成立的是(　　) A．u＝(2，1，1)，n＝(－1，1，1) B．u＝(1，－2，0)，n＝(－2，4，0) C．u＝(1，2，4)，n＝(1，0，1) D．u＝(1，－1，2)，n＝(0，3，1) 答案　B 解析　要使l⊥α，则应有u∥n.对于A，由已知可知u∥n不成立，故A不符合题意；对于B，由已知可得u＝－n，所以u∥n，故B符合题意；对于C，由已知可知u∥n不成立，故C不符合题意；对于D，由已知可知u∥n不成立，故D不符合题意． 4.(2024·湖北宜昌当阳一中高二校考)已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，AA1⊥底面ABC，AB＝2，AA1＝，E，F分别为侧棱BB1和边A1C1的中点．求证：BF⊥平面ACE. 证明　如图，以C为原点，CB，CC1所在直线分别为y轴、z轴，作Cx⊥CB，得到x轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(，1，0)，E，F，B(0，2，0)， ＝，＝(，1，0)，＝， 因为·＝×－＝0，·＝－×2＋×＝0， 所以BF⊥CA，BF⊥CE， 又CA∩CE＝C，CA，CE⊂平面ACE， 所以BF⊥平面ACE. [规律方法]　用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③证明直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 知识点三　空间中平面与平面垂直 5．已知三个互不相同的平面α，β，γ的法向量依次是m＝(2，－4，6)，n＝(－1，2，－3)，k＝(－1，4，3)，则α，β两个平面的位置关系是________，α，γ两个平面的位置关系是________，β，γ两个平面的位置关系是________． 答案　平行　垂直　垂直 解析　三个互不相同的平面α，β，γ的法向量依次是m＝(2，－4，6)，n＝(－1，2，－3)，k＝(－1，4，3)，所以m＝－2n，即m∥n，所以α∥β；又m·k＝(2，－4，6)·(－1，4，3)＝－2－16＋18＝0，则m⊥k，所以α⊥γ；n·k＝(－1，2，－3)·(－1，4，3)＝1＋8－9＝0，则n⊥k，所以β⊥γ. 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)． 设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 即 令y1＝1，得n1＝(0，1，－2)． 同理可得，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0，2，1)． 因为n1·n2＝0， 所以平面AED⊥平面A1FD1. [名师点拨]　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 7.(2023·辽宁名校高二联考)如图，P－ABCD是一个四棱锥，已知四边形ABCD是梯形，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为棱PC的中点，点F在棱PB上，＝λ.问λ取何值时，平面DEF⊥平面BDE? 解　因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC，又AD⊥CD，所以以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)． 所以＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，2，－2)． 因为＝λ，所以＝(2λ，2λ，－2λ)， 所以＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设平面DEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 取z1＝－2，则y1＝1，x1＝， 所以n1＝. 设平面BDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则取y2＝1，则x2＝－1，z2＝－2， 所以n2＝(－1，1，－2)． 因为平面DEF⊥平面BDE， 所以n1·n2＝＋5＝0，解得λ＝. 所以当λ＝时，平面DEF⊥平面BDE. 一、选择题 1．设直线l1的一个方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1 B．－2 C．－3 D．3 答案　D 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3. 2．[多选](2023·新疆实验中学高二期中)已知e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，并且直线l不在平面α，β内，那么下列说法中正确的是(　　) A．e⊥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥β C．n1∥n2⇔α∥β D．e⊥n1⇔l⊥α 答案　ABC 解析　已知直线l不在平面α内，则e⊥n1⇔l∥α，故A正确，D错误；由空间向量的位置关系得n1⊥n2⇔α⊥β，n1∥n2⇔α∥β，故B，C正确．故选ABC. 3.(2024·陕西咸阳高二校考阶段练习)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为3，CA＝CB＝4，∠ACB＝，点D，E分别在AA1，B1C1上，F为AB的中点，若CD⊥FE，则线段AD的长为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由于直三棱柱ABC－A1B1C1，且∠ACB＝，所以以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，由CA＝CB＝4，可得F(2，2，0)，设E(0，b，3)，D(4，0，c)，则＝(4，0，c)，＝(－2，b－2，3)，因为CD⊥FE，所以·＝0，即－8＋3c＝0，解得c＝，所以AD＝.故选B. 4．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝(　　) A．a B．2a C．a或2a D．2a或4a 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，3a)，C(0，a，0)，D.设E(a，0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝.要使CE⊥平面B1DE，则·＝a2－a2＋0＝0，·＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a，故AE＝a或2a.故选C. 5．[多选]如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为(　　) 答案　AD 解析　如图1所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，连接AC，BD，∵M，P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，又DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l⊥平面MNP，故A正确；在D中，与A中证明同理，可证l⊥MP，l⊥MN，又MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP，故D正确；对于B，建立空间直角坐标系如图2，设正方体的棱长为2，则M(1，0，0)，N(2，2，1)，＝(1，2，1)，直线l所在体对角线两个顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，∴直线l的一个方向向量为n＝(2，2，－2)，∵n·＝4≠0，∴直线l不垂直于平面MNP，故B错误；同理，可在C中建立相同的空间直角坐标系如图3，则M(2，0，1)，N(1，2，0)，＝(－1，2，－1)，∵n·＝4≠0，∴直线l不垂直于平面MNP，故C错误．故选AD. 二、填空题 6．平面α的一个法向量为m＝(2，3，－5)，＝(1，1，1)，＝(－4，－6，10)，则直线AB与平面α的位置关系为________，直线CD与平面α的位置关系为________． 答案　平行或线在面内　垂直 解析　因为平面α的一个法向量为m＝(2，3，－5)，＝(1，1，1)，＝(－4，－6，10)，所以m·＝2＋3－5＝0，＝－2m，所以m⊥，∥m，所以AB∥α或AB⊂α，CD⊥α，故直线AB与平面α的位置关系为平行或线在面内，直线CD与平面α的位置关系为垂直． 7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________． 答案　垂直 解析　∵DA⊥平面α，∴是平面α的一个法向量．∵CA⊂平面α，∴⊥.在△ABC中，∵∠A＝90°，∴⊥，∵DA∩BA＝A，∴是平面DAB的一个法向量．∵DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB. 8．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对． 答案　0 解析　∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，∴α，β，γ三个平面中互相垂直的有0对． 三、解答题 9.(2024·陕西咸阳高二校考阶段练习)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．请用空间向量知识解决下列问题： (1)求证：BM⊥DC； (2)求证：BC⊥平面BDE. 证明　(1)因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥CD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面ADEF，又DE⊂平面ADEF，所以CD⊥DE， 又因为在正方形ADEF中，AD⊥DE，所以DA，DC，DE两两垂直， 以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)， 因为M为CE的中点，所以M(0，2，1)， 故＝(－2，0，1)，＝(0，4，0)， 所以·＝0，故⊥，即BM⊥DC. (2)由(1)得＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， 所以·＝－4＋4＝0，则⊥，即BC⊥DB， 又·＝0，故⊥，即BC⊥DE， 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE， 所以BC⊥平面BDE. 10.如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：(1)EG⊥PG，EG⊥BC； (2)平面GEF⊥平面PBC. 证明　如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz. 则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)． (1)∵＝(1，－1，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，－3，3)， ∴·＝0，·＝0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC. (2)∵＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)， ∴即取n＝(0，1，－1)． 显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥， ∴平面GEF⊥平面PBC. 11.(2023·济南一中高二期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，λ－2)． 当λ＝1时，＝(－1，0，1)， 因为＝(－2，0，2)，所以＝2， 即∥，又BC1与FP无公共点，所以BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ. (2)假设存在符合题意的λ. 设平面EFPQ的法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 于是可取n＝(λ，－λ，1)． 同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)． 则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0. 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使平面EFPQ⊥平面PQMN. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$