1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 知识点一　空间中点、直线和平面的向量,表示) 1．[多选]由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可知，选AB. 2．已知空间三点的坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 答案　A 解析　由题意，知＝(－4，x－1，2)，＝(－1，2，－1)，＝(－3，－2，3)．由A，B，C，P四点共面，则＝λ＋μ＝(－λ－3μ，2λ－2μ，－λ＋3μ)＝(－4，x－1，2)． 由解得则实数x的值为1. 知识点二　直线的方向向量 3．[多选]已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 答案　BCD 解析　由题意知，＝(－3，－3，3)，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．故选BCD. 4.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量． 解　＝＋＋＝(－)－＋＝－－＝a－b－c，故直线EF的一个方向向量为a－b－c. [名师点拨]　求直线的方向向量的关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 知识点三　平面的法向量 5．已知平面α内有两点M(－2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，则a＝(　　) A．－ B． C．－24 D．24 答案　C 解析　由题意可得＝(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，所以n⊥，所以n·＝(6，a，6)·(4，1，0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. 6．(2023·广西河池高二联考)已知向量＝(1，2，3)，＝(2，m，3)，＝(4，2，k)，若是平面ABC的一个法向量，则mk＝(　　) A．3 B．2 C．6 D．4 答案　A 解析　由题意可得＝－＝(1，m－2，0)，＝－＝(3，0，k－3)，又为平面ABC的一个法向量，∴·＝1×1＋2×(m－2)＋3×0＝2m－3＝0，解得m＝，·＝1×3＋2×0＋3(k－3)＝3k－6＝0，解得k＝2，∴mk＝3.故选A. 7.(2023·广东江门高二期末)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面ABB1A1的一个法向量； (2)求平面MD1B的一个法向量． 解　(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1， 所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量． (2)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1， 所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 因此＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)， 设n2＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量， 则n2⊥，n2⊥， 所以 取z＝3，则x＝2，y＝1. 于是n2＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量． [规律方法]　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组． (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 一、选择题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是直线AA1的一个方向向量，故选C. 2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 答案　B 解析　由题意知，与a共线的非零向量都能作为平面γ的法向量，由(3，6，9)＝3(1，2，3)知，向量(3，6，9)与向量a＝(1，2，3)共线．故选B. 3．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B. C. D. 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则∴x＝y＝z，又单位向量的模为1，故只有B符合题意． 4．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必(　　) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 答案　C 解析　因为＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，且11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，故选C. 5．[多选]在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(其中abc≠0)，定点P0(x0，y0，z0)，异于点P0的动点P(x，y，z)，则以下说法正确的是(　　) A．若u为直线PP0的方向向量，则＝＝ B．若u为直线PP0的方向向量，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 C．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则＝＝ D．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 答案　AD 解析　是直线P0P的一个方向向量，＝(x－x0，y－y0，z－z0)，u为直线PP0的方向向量，则＝＝，A正确，B错误；P0P在平面α内，u为平面α的法向量，则u⊥，所以u·＝a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，C错误，D正确．故选AD. 二、填空题 6．(2023·天津河东区高二期中)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝________． 答案　3 解析　∵直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，∴＝(－1，2－a，b－3)，且＝＝，解得a＝，b＝.∴a＋b＝＋＝3. 7．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________． 答案　2∶3∶(－4) 解析　∵A，B，C，∴＝，＝.又平面α的法向量a＝(x，y，z)，∴ ∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 8．(2024·陕西榆林高二校考阶段练习)在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2，0，2)在平面α内，且OM⊥α，N(a，b，c)为平面α内任意一点，则a＋c＝________． 答案　4 解析　由题意知，＝(a－2，b，c－2)，根据OM⊥α可知，＝(2，0，2)是平面α的一个法向量，则·＝0，所以2(a－2)＋0×b＋2(c－2)＝0，整理可得a＋c＝4. 三、解答题 9.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，分别求直线AD，AE的一个方向向量． 解　＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋·＝＋＋＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋＝＋＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量是b＋c. 10.(2023·河南南阳高二校考阶段练习)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC.建立适当的空间直角坐标系，并求出平面BED的一个法向量． 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)， 则有＝(0，2，1)，＝(2，2，0)， 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则有即 令x＝1，得y＝－1，z＝2， 故平面BED的一个法向量为n＝(1，－1，2)． 11.(2024·江苏镇江中学高二阶段考试)如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面Oyz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求： (1)直线CD的一个方向向量； (2)平面ADC的一个法向量． 解　(1)在Rt△BCD中，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， ∴CD＝BCcos30°＝，BD＝BCsin30°＝1. 过D作DE⊥BC于点E， 则DE＝CDsin30°＝， OE＝OB－BDcos60°＝1－＝， ∴点D的坐标为， 又C(0，1，0)， ∴＝， 即直线CD的一个方向向量为. (2)＝， 设平面ADC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝，可得y＝1，x＝， ∴平面ADC的一个法向量为n＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$