2.3.3 点到直线的距离公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标 与距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 知识点一　点到直线的距离 1．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B．2 C．eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|－1－0＋3|,\r(2))＝eq \r(2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 2．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A．eq \f(\r(2),2)(a－b) B．b－a C．eq \f(\r(2),2)(b－a) D．eq \r(a2＋b2) 解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|a－b|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)(b－a)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 解析　∵点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为eq \r(2)，∴eq \f(|b－2|,\r(2))＝eq \r(2)，解得b＝0或b＝4.故选A. 3．点(0，b)到直线x＋y－2＝0的距离为eq \r(2)，则b＝(　　) A．0或4 B．4 C．0 D.eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [规律方法]　(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式求解即可． (2)已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)求解即可． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 4．[多选]已知A(－2，－4)，B(4，2)两点到直线l：ax＋y－1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析　由A，B两点到直线l的距离相等，得eq \f(|－2a－4－1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|4a＋2－1|,\r(a2＋1))，即|2a＋5|＝|4a＋1|，解得a＝2或a＝－1.故选AC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 90°或30° 解析 答案 * 5．[易错题]一直线过点P(2，0)，且点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(4\r(3),3)))到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________________． 解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，设过点P的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2k－\f(4\r(3),3)－2k)),\r(k2＋1))＝4，解得k＝eq \f(\r(3),3)，此时直线的倾斜角为30°.综上，该直线的倾斜角为90°或30°. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [易错分析]　设直线的方程时，一定要考虑直线的斜率存在和不存在两种可能性，不要想当然地认为直线的斜率存在而漏解． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 知识点二　点到直线距离公式的应用 6．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则eq \r(m2＋n2)的最小值为_________________． 解析　因为eq \r(m2＋n2)是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是eq \r(m2＋n2)的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝eq \f(5,\r(22＋12))＝eq \r(5). eq \r(5) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 * 7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP| 的最小值是____________________． 解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点M(0，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，∴d＝eq \f(|2×0＋2－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5). eq \f(\r(5),5) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 8．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(m，eq \r(m))，C(4，2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解　|AC|＝eq \r(（4－1）2＋（2－1）2)＝eq \r(10)，直线AC的方程为eq \f(y－1,2－1)＝eq \f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0. ∵点B(m，eq \r(m))到直线AC的距离d＝eq \f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋（－3）2))＝eq \f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10))， ∴S＝eq \f(1,2)|AC|·d＝eq \f(1,2)|m－3eq \r(m)＋2|＝eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))\s\up20(2)－\f(1,4))). ∵1<m<4，∴1<eq \r(m)<2，∴0<eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))\s\up20(2)－\f(1,4)))≤eq \f(1,4)，0<S≤eq \f(1,8). ∴当eq \r(m)＝eq \f(3,2)，即m＝eq \f(9,4)时，△ABC的面积S最大． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 9.如图，某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中|AB|＝40，|BC|＝15，O为AB上一点(不与端点重合)，且|BO|＝10，线段OC，OD，MN为表演队列所在位置(M，N分别在线段OD，OC上)，△OCD内的点P为领队位置，且点P到OC，OD的距离分别为eq \r(13)，eq \r(5)，记|OM|＝d.当d为何值时，P为队列MN的中点？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 解　以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C(10，15)，B(10，0)，D(－30，15)， ∴直线OC的方程为y＝eq \f(3,2)x，直线OD的方程为y＝－eq \f(1,2)x， 设P(a，b)(a<0，b>0)，M(－2m，m)， Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(3,2)n))(m>0，n>0)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－b)),\r(\f(9,4)＋1))＝\r(13)，,\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b)),\r(\f(1,4)＋1))＝\r(5)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,2)a＝\f(13,2)，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＝\f(5,2)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝\f(7,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(9,2)，,b＝－\f(1,4)))(舍去)， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,2))). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * ∵P为MN的中点， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m＋n＝－4，,m＋\f(3,2)n＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(13,4)，,n＝\f(5,2).)) ∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(13,4)))， ∴d＝|OM|＝eq \f(13\r(5),4)， ∴当d＝eq \f(13\r(5),4)时，P为队列MN的中点． 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．(2023·河北张家口高二期末)点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－2))到直线y＝2x－2的距离为(　　) A．5 B.eq \r(5) C．3 D.eq \r(3) 解析　因为直线方程可化为2x－y－2＝0，所以点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－2))到直线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,2)－（－2）－2)),\r(22＋（－1）2))＝eq \r(5).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．直线2x＋3y－4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y＋6＝0 C．3x－2y－10＝0 D．2x＋3y－10＝0 解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－4)，由题意可知eq \f(|4＋3－4|,\r(22＋32))＝eq \f(|4＋3＋C|,\r(22＋32)).∴C＝－4(舍去)或C＝－10，故所求直线的方程为2x＋3y－10＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则eq \r(（m－1）2＋n2)的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 解析　eq \r(（m－1）2＋n2)表示点(1，0)与点(m，n)的距离，且点(1，0)不在直线l上，则eq \r(（m－1）2＋n2)的最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离，即eq \f(|3－13|,\r(32＋42))＝2，故eq \r(（m－1）2＋n2)的最小值为2.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 解析　联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＋1＝0，,2x＋y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝2.))当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，M到l的距离为2，N到l的距离为5，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，由3×eq \f(|－k－3＋3k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|2k＋4＋3k＋2|,\r(1＋k2))，解得k＝9或k＝－eq \f(3,11).所以直线l的方程为9x－y＋29＝0或3x＋11y－13＝0.故选AC. 4．[多选]已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0和2x＋y＋4＝0的交点，且M(－1，3)到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为(　　) A．9x－y＋29＝0 B．9x＋y＋25＝0 C．3x＋11y－13＝0 D．3x－11y＋31＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 5．[多选]已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝eq \f(4,3)x D．y＝2x＋1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　对于A，点M到直线的距离d＝eq \f(5＋1,\r(2))＝3eq \r(2)>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；对于B，点M到直线的距离d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于C，点M到直线的距离d＝eq \f(20,\r(42＋（－3）2))＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于D，点M到直线的距离d＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 －1 解析 答案 * 二、填空题 6．(2024·河北衡水中学高二月考)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为________． 解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为m(x－2)＋1－y＝0.令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴直线过定点Q(2，1)．易知当PQ与直线垂直时，点P到直线的距离最大，此时m·kPQ＝m·eq \f(2－1,3－2)＝－1，解得m＝－1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 解析 答案 * 7．已知点A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________． 解析　|AB|＝eq \r(（3－2）2＋（4－1）2)＝eq \r(10).AB边上的高h就是点C到AB所在直线的距离．由两点式可得AB边所在直线的方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x－2,3－2)，即3x－y－5＝0.点C(－2，－1)到直线3x－y－5＝0的距离h＝eq \f(|3×（－2）－（－1）－5|,\r(32＋（－1）2))＝eq \r(10)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×eq \r(10)＝5. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ④ 答案 * 8．定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离d＝eq \f(Ax0＋By0＋C,\r(A2＋B2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题： ①若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行； ②若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行； ③若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直； ④若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交． 其中所有正确命题的序号是________． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝eq \f(Ax1＋By1＋C,\r(A2＋B2))，d2＝eq \f(Ax2＋By2＋C,\r(A2＋B2)).若d1－d2＝0，则d1＝d2，即eq \f(Ax1＋By1＋C,\r(A2＋B2))＝eq \f(Ax2＋By2＋C,\r(A2＋B2))，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C.若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故命题①②③均不正确；当d1d2<0时，P1，P2在直线l的两边，则直线P1P2与直线l相交，故命题④正确． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 三、解答题 9．当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？ 解　设l1与l2的交点为M，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2y＋3m（3m＋1）＝0，,2x＋6y－3m（9m＋20）＝0，)) 解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3m，\f(9m2＋18m,2))). 设M到l3的距离为d，则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(12m－\f(3,2)（9m2＋18m）－12)),\r(42＋（－3）2))＝eq \f(1,10) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(27\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(5,9)))\s\up20(2)＋\f(47,3)))， 故当m＝－eq \f(5,9)时，距离最短，且dmin＝eq \f(47,30). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．(2023·华中师范大学附属中学高二期中)在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，C(－2，3)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上的中线AD的方程为x－2y＋t＝0(t∈R)，且△ABC的面积为4，求点A的坐标． 解　(1)∵B(2，1)，C(－2，3)，∴BC边所在直线的斜率为eq \f(3－1,－2－2)＝－eq \f(1,2)，∴BC边所在直线的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)由题意知，BC边的中点D(0，2)，代入中线AD的方程x－2y＋t＝0，得t＝4. ∵点A(m，n)在中线AD上， ∴把点A的坐标代入中线AD的方程，得m－2n＋4＝0.① ∵点A到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|m＋2n－4|,\r(5))， |BC|＝eq \r(（－2－2）2＋（3－1）2)＝2eq \r(5)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(|m＋2n－4|,\r(5))＝4，化简，得|m＋2n－4|＝4.② 联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝1.))∴点A的坐标为(2，3)或(－2，1)． 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$