5.3.3 古典概型-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 5．3.3　古典概型 知识点一　样本点个数的计算 1．一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是(　　) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 答案：C 解析：把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C. 2．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程．有种植白菜、种植番茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．9 答案：C 解析：设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个．故选C. 3．连续掷一个骰子两次，用(x，y)表示结果，则“点数之和不超过4”这一事件的集合表示为________． 答案：{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(2，2)} 解析：连续掷一个骰子两次，掷出的点数之和不超过4包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(2，2)，则对应的集合为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(2，2)}． 知识点二　古典概型的判断 4．下列问题中是古典概型的是(　　) A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C．在区间[1，4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率 D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 答案：D 解析：A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的出现是等可能的，且样本点总数有限．故选D. 5．下列概率模型：①从6名同学中任选4人参加学校文艺汇演；②近三天中有一天降雪的概率；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤3个人站成一排，其中甲、乙相邻．其中属于古典概型的是________． 答案：①③⑤ 解析：①属于，原因是从6名同学中任选4人，满足有限性，是等可能的；②不属于，原因是不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤属于，原因是满足有限性，是等可能的． 知识点三　古典概型概率的计算 6．已知集合M＝{－1，0，1，－2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标，则点P落在x轴上的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：要想点P落在x轴上，只需要纵坐标为0就可以了，纵坐标是从集合M＝{－1，0，1，－2}中等可能的取值，所以纵坐标为0的概率为.故选B. 7．小李打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，他只记得第一位是M，N中的一个字母，第二位是1，2，3中的一个数字，则小李输入一次密码能成功开机的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：从M，N中取一个字母，再从1，2，3中取一个数字的所有情况有(M，1)，(M，2)，(M，3)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，共6种，其中只有一个是密码的前两位，所以小李输入一次密码能成功开机的概率是.故选C. 8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考试级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若只选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率． 解：将5杯饮料分别编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本空间为Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共10个样本点． 设事件D表示“此人被评为优秀”，事件E表示“此人被评为良好”，事件F表示“此人被评为良好及以上”，则 (1)事件D只含一个样本点(1，2，3)，故P(D)＝. (2)事件E含样本点(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个，故P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝. 一、单项选择题 1．下列有关古典概型的四种说法： ①试验中所有样本点的个数只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等； ④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝. 其中所有正确说法的序号是(　　) A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 答案：D 解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D. 2．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放顺序共有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 答案：C 解析：设这部小说三册分别为1，2，3，则排放顺序有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种．故选C. 3．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：这个试验的样本空间Ω＝{12，13，21，23，31，32}，共包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31，32，共2个，所以所求概率P＝＝. 4．(2024·山东青岛月考)新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度为27 mm左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到37 mm以上．用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好．某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：记3款用新疆超长棉纱制成的毛巾分别为a，b，c，另外2款分别记为A，B，从这5款毛巾中任选2款，所有的情况分别为ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共10种，“只有一款是用新疆超长棉纱制成的”所包含的情况有aA，aB，bA，bB，cA，cB，共6种，故所求概率为P＝＝.故选A. 5．(2024·河北邢台模拟)在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等．从不超过13的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：不超过13的正奇数有1，3，5，7，9，11，13，共7个，从中随机抽取2个，有21种情况，其中孪生素数有{3，5}，{5，7}，{11，13}，共3种情况，则这2个奇数是孪生素数的概率为＝.故选C. 二、多项选择题 6．以下对各事件发生的概率判断正确的是(　　) A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为 C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是 D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 答案：BCD 解析：对于A，画树形图如下： 从树形图可以看出，样本空间共包含9个样本点，每个样本点出现的可能性相等，玩一局甲不输包含6个样本点，故玩一局甲不输的概率是，A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13，共6个，从这6个素数中任取2个不同的数，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13，共15种结果，这15种结果出现的可能性是相等的，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；对于C，样本空间中，共有36个样本点，这36个样本点出现的可能性是相等的，其中点数之和是6的有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个样本点，则所求概率是，故C正确；对于D，记三件正品分别为A1，A2，A3，一件次品为B，任取两件产品，样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性是相等的，其中两件都是正品包含的样本点有A1A2，A1A3，A2A3，共3个，则所求概率为P＝＝，故D正确．故选BCD. 7．(2024·山东青岛期中)一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张形状、大小完全相同的标签，则(　　) A．有放回地随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回地随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回地随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回地随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 答案：AD 解析：从5张标签中有放回地随机选取两张标签，则试验的样本空间为Ω1＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共有25个样本点，对于A，其中标号相等的样本点有5个，所求概率为P＝＝，所以A正确；对于B，其中第一次标号大于第二次的样本点有10个，所求概率为P＝＝，所以B不正确；从5张标签中无放回地随机选取两张标签，则试验的样本空间为Ω2＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共有20个样本点，对于C，其中标号之和为5的样本点有4个，所求概率为P＝＝，所以C不正确；对于D，其中第一次标号大于第二次的样本点有10个，所求概率为P＝＝，所以D正确．故选AD. 三、填空题 8．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________． 答案： 解析：设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝＝. 9．(2024·江西上饶高一期末)现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为________． 答案： 解析：记2名男生为a，b，2名女生为A，B，任选2人参加围棋比赛，则可能的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(A，B)，则样本空间中共包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的．其中至少有1名男生的事件包含的样本点有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，共5个，故所选2人中至少有1名男生的概率为. 10．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________． 答案： 解析：由1，2，3组成的三位自然数有123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为＝. 四、解答题 11．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)． 解：用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共包含36个样本点，这36个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝＝. B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)}，包含15个样本点，所以P(B)＝＝. AB＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)}，包含3个样本点，所以P(AB)＝＝. A＋B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，包含18个样本点，所以P(A＋B)＝＝. 因为事件C的对立事件表示“点数之和等于或大于11”，所以＝{(5，6)，(6，5)，(6，6)}，P()＝＝. 所以P(C)＝1－P()＝1－＝. 12．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(若指针停在边界上则重新转)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}． 所以样本点总数n＝16，且这16个样本点出现的可能性是相等的． (1)记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的样本点共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为. (2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C， 则事件B包含的样本点共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P(B)＝＝. 事件C包含的样本点共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(C)＝. 因为>， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 13．某高速公路服务区临时停车场按时段收费，收费标准：每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元，超过1小时的部分每小时收费7元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人在该服务区临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于12元的概率为，求甲停车付费恰为5元的概率； (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率． 解：(1)设“甲停车付费恰为5元”为事件A，则P(A)＝1－＝，所以甲停车付费恰为5元的概率是. (2)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{5，12，19，26}． 则甲、乙二人的停车费用构成的样本点有(5，5)，(5，12)，(5，19)，(5，26)，(12，5)，(12，12)，(12，19)，(12，26)，(19，5)，(19，12)，(19，19)，(19，26)，(26，5)，(26，12)，(26，19)，(26，26)，共16种情形，其中(12，26)，(19，19)，(26，12)这3种情形符合题意．故甲、乙两人停车付费之和为38元的概率为P＝. 14．某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成二十大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名． (1)请列出二十大报告宣讲团组成人员的全部样本点； (2)求教师A1被选中的概率； (3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率． 解：(1)从6名教师代表中选出3名教师，且每校至多选出1名组成二十大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D)． (2)组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，所以教师A1被选中的概率为P＝. (3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P＝＝. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$