5.1.1 第3课时 分层抽样-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 第3课时　分层抽样 知识点一　分层抽样的概念 1．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为了调查各类超市的营业情况，需从所有超市中抽取一个容量为200的样本，则合适的抽样方法是 (　　) A．抽签法 B．简单随机抽样 C．分层抽样 D．随机数表法 答案：C 解析：由于各类超市的营业情况会有明显的差异，所以要用分层抽样．故选C. 2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　) A．每层的个体数一样多 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1，2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量 D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 答案：C 解析：分层抽样时，每层的个体数不一定都一样多，A错误；分层抽样时，由于每层的容量不一定相等，所以在各层中抽取的个体数不一定相等，B错误；分层抽样中每个个体被抽取的可能性是相同的，被抽到的可能性与层数无关，C正确；分层抽样中每层抽取的个体数是有限制的，D错误．故选C. 知识点二　分层抽样的应用 3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案：A 解析：设从高三学生中抽取x人，则＝，得x＝10. 4．(2024·江苏南通期末)某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成，现要抽取一个容量为45的样本进行调查．已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员与后勤职工人数之比为2∶3，则该科研机构后勤职工的人数是(　　) A．15 B．30 C．45 D．135 答案：C 解析：不妨设行政人员有2x人，则后勤职工有3x人，根据分层抽样的性质，得＝，解得x＝15，故后勤职工有3x＝45(人)．故选C. 5．(2024·陕西汉中期末联考)某校高三年级选择“物化生”“物化地”和“史政地”组合的学生人数分别是200，320，280.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出40位学生进行调查，则从选择“物化生”组合的学生中应抽取的人数是________． 答案：10 解析：因为＝，所以从选择“物化生”组合的学生中应抽取的人数为200×＝10. 6．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，200个，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，其中C种零件抽取了10个，则此三种零件共有________个． 答案：900 解析：抽样比为＝，则零件总数为45×20＝900. 7．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________． 答案：88 解析：依题意，得＝，解得n＝88，所以样本容量为88. 8．某政府机关有在编人员100人，其中科级以上干部10人，科员70人，办事员20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用哪种方法抽取，并写出具体的抽样过程． 解：因为个体差异较大，而且机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样法抽取．抽样过程如下： 第一步，确定抽样比：＝. 第二步，确定各层抽取的人数： 从科级以上干部中抽取10×＝2(人)； 从科员中抽取70×＝14(人)； 从办事员中抽取20×＝4(人)． 第三步，在各层中分别用简单随机抽样法抽取，抽取科级以上干部2人，科员14人，办事员4人． 第四步，将所抽取的个体组合在一起构成样本． 一、单项选择题 1．某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类(每类家庭数不完全相同)，再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．随机数表法抽样 C．分层抽样 D．不属于以上几类抽样 答案：C 解析：因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层抽样． 2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称职工15人，中级职称职工45人，普通职工90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称职工、中级职称职工、普通职工的人数分别为(　　) A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16 答案：B 解析：分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称职工、中级职称职工、普通职工的人数分别为a，b，c，则＝＝＝，解得a＝3，b＝9，c＝18. 3．学校进行数学竞赛，将考生的成绩分成[0，90)，[90，120)，[120，150](单位：分)三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本，其中分数在[90，120)的人数是45，则m的值为(　　) A．75 B．100 C．125 D．135 答案：D 解析：由三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在[90，120)的人数是45可知，＝，解得m＝135. 4．某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，分别占总数的40%，10%，30%，20%，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为4∶3∶3，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为(　　) A．30 B．50 C．72 D．80 答案：C 解析：依题意，高二年级师生应分得树苗的数量为800×＝240，所以高二年级师生应分得桂花树苗的数量为240×30%＝72.故选C. 5．某校读书节期间，共120名同学获奖(分金、银、铜三个等级)，从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是(　　) A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低 C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级 答案：D 解析：对于A，高二和高三年级获奖同学共120－120×＝90人，A错误；对于B，不能确定获银奖和铜奖的人数，B错误；对于C，获金奖人数为120×＝20，获银奖和铜奖的人数和为100，故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，C错误；对于D，高一年级人数为30，获金奖人数为20，故获金奖的同学可能都在高一年级，D正确．故选D. 二、多项选择题 6．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的是(　　) A．应该采用分层抽样法抽取 B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C．乙被抽到的可能性比甲大 D．该问题中的总体是高一、高二年级全体学生的视力 答案：ABD 解析：易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高一年级的人数为20×50＝1000，高二年级的人数为30×45＝1350，则高一年级应抽取的人数为235×＝100，高二年级应抽取的人数为235－100＝135，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；该问题中的总体是高一、高二年级全体学生的视力，故D正确．故选ABD. 7．(2024·江西上饶高一期末)北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按年级分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的是(　　) A．样本容量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有80人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 答案：ABC 解析：对于A，从中随机抽取30名，则样本容量为30，故A正确；对于B，设120名社团成员中男生有n人，因为按性别分层随机抽样时男生抽取18人，所以＝，解得n＝72，所以120名社团成员中男生有72人，故B正确；对于C，设高二与高三年级的社团成员共有m人，因为按年级分层随机抽样时高一年级抽取10人，所以＝，解得m＝80，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，故C正确；对于D，根据C项可知高一年级的社团成员有120－80＝40人，故高一年级的社团成员中女生最多有40人，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．(2024·天津市红桥区入学检测)某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为7∶3∶4，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取56名学生参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取________名学生． 答案：28 解析：高一年级应抽取的学生人数为56×＝28. 9．已知某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，则采用________方法抽样比较合理，其中山地应抽取________亩． 答案：分层随机抽样　80 解析：总体是由差异明显的几个层组成的，符合分层随机抽样的要求．山地应抽取480×＝80亩． 10．某学校开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级参加“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 答案：6 解析：解法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级参加“剪纸”社团的学生中抽取的人数为96×＝6. 解法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以从高二年级参加“剪纸”社团的学生中抽取的人数为20×＝6. 四、解答题 11．某网站针对“2025年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁以上(含35岁)的人数 100 100 400 (1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值； (2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？ 解：(1)由题意得＝，解得n＝40. (2)这5人中，35岁以下的人数为5×＝4，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1. 12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数． 解：(1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占的比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%.解得b＝50%，c＝10%. 故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例分别为40%，50%，10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60； 抽取的中年人人数为200××50%＝75； 抽取的老年人人数为200××10%＝15. 13．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生的人数为(　　) A．8 B．11 C．16 D．10 答案：A 解析：若设高三学生人数为x，则高一学生人数为，高二学生人数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3500，解得x＝1600.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生的人数为800×＝8. 14．经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生参加摄影讲座，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班学生中“喜欢”摄影的人比全班学生的一半还多________人． 答案：3 解析：设班里“喜欢”摄影的有y人，持“一般”态度的有x人，“不喜欢”摄影的有(x－12)人，则＝，解得x＝18.∵＝，∴y＝30，∴全班共有30＋18＋6＝54人．又30－＝3，∴全班学生中“喜欢”摄影的人比全班学生的一半还多3人． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$