4.6 函数的应用（二）-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 知识点一　指数型函数模型 1．(2024·海南省海口市期末)李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为(取lg 2≈0.30)(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 答案：D 解析：∵经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，又小程序发布经过10天后有2000名用户，∴2000＝500e10k，即4＝e10k，可得lg 4＝lg e10k，∴lg 4＝10k·lg e　①，当用户超过50000名时有50000＜500ekt，即100＜ekt，可得lg 100＜lg ekt，∴2＜kt·lg e　②，联立①②，可得＞，即＞，故t＞≈≈33.3，∴用户超过50000名至少经过的天数为34.故选D. 2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要的时间为________ min.(精确到1 min，参考数据：lg 2≈0.30，lg 11≈1.04) 答案：25 解析：由题意知40－24＝(88－24)·，即＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.将T＝35代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.所以t＝10×(log264－log211)＝60－10×≈60－10×≈25.因此，约需要25 min可降温到35 ℃. 知识点二　对数型函数模型 3．在天文学中，常用星等m、光照度E等来描述天体的明暗程度．两颗星的星等与光照度满足星普森公式m2－m1＝－2.5lg .已知大犬座天狼星的星等为－1.45，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．2 B．1.05 C．0.05 D．－1.05 答案：C 解析：设天狼星的星等为m1，光照度为E1，织女星的星等为m2，光照度为E2，因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，所以＝，因为两颗星的星等与光照度满足星普森公式m2－m1＝－2.5lg ，所以m2＋1.45＝－2.5lg ，解得m2＝5lg 2－1.45≈0.05.所以织女星的星等为0.05.故选C. 4．(2024·天津期末)研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为E1，2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为E2，则比值的整数部分为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：由已知得lg E1＝4.8＋1.5×5.7，lg E2＝4.8＋1.5×5.2，所以lg ＝1.5×0.5＝0.75，所以＝100.75＝10＝，因为54<1000<64，所以5<<6，所以＝∈(5，6)．故选B. 知识点三　幂函数模型 5．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元． 答案：125 解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 6．(2024·四川绵阳期末)小王进行投资研究，发现投资开餐馆的收益f(x)(单位：万元)与投资金额x(单位：万元)的关系是f(x)＝k1x，f(x)的部分图象如图1.投资运输运营的收益g(x)(单位：万元)与投资金额x(单位：万元)的关系是g(x)＝k2，g(x)的部分图象如图2. (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)小王准备将自己的存款100万元全部投资餐馆和运输运营，如何分配才能使投资获得最大收益？其最大收益为多少万元？ 解：(1)由题图1，得1.8k1＝0.45，解得k1＝，∴f(x)＝x， 由题图2，得2k2＝2.5，解得k2＝， ∴g(x)＝. (2)设最大收益为y万元，投资运输运营x万元，则投资餐馆(100－x)万元． 由题意，得y＝(100－x)＋＝－x＋＋25(0≤x≤100)， ∴易知当＝－＝， 即x＝时，ymax＝. ∴投资餐馆93.75万元，投资运输运营6.25万元，才能使投资获得最大收益，其最大收益为万元． 一、单项选择题 1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 答案：D 解析：由题意分析，符合对数型函数的特点． 2．某种商品在今年1月份价格降低10%，在此之后由于市场供求关系的影响，价格连续三次上涨，使目前售价与1月降价前的价格相同．则这三次价格上涨的平均回升率是(　　) A． B．＋1 C．－1 D．－1 答案：D 解析：根据题意，设该商品在今年1月份的价格为a(a>0)，这三次价格上涨的平均回升率为x，则有(1－10%)a·(1＋x)3＝a，解得x＝－1.故选D. 3．已知函数t＝－144lg 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中N表示打字速度(单位：字/min)，t表示达到打字速度N所需的学习时间，则按此曲线，打字速度要达到90字/min所需的学习时间是(　　) A．144 min B．90 min C．60 min D．40 min 答案：A 解析：由题意，把N＝90代入t＝－144lg 中，得t＝－144lg ＝－144lg ＝144. 4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a，则一个新丸体积变为a，需经过的天数为(　　) A．125 B．100 C．75 D．50 答案：C 解析：依题意，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴t1＝，即t1＝75. 5．遗忘曲线(又称作“艾宾浩斯记忆曲线”)由德国心理学家艾·宾浩斯(H.Ebbinghaus)研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系：y＝1－0.6x0.06.若陈同学需要在明天15时语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在(　　) A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 答案：A 解析：令1－0.6x0.06＝0.5，得x0.06＝，x＝，∵<<＝≈0.5，∴他在考试前半小时复习即可，∴他复习背诵时间需大约在14：30.故选A. 二、多项选择题 6．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝a·eRt(a，R为常数，e是自然对数的底数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　) A．a＝128 B．R＝ln 2 C．排气12分钟后浓度为16 ppm D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 答案：ACD 解析：设f(t)＝a·eRt，代入(4，64)，(8，32)，得解得a＝128，R＝－ln 2，A正确，B错误；此时f(t)＝128(eR)t＝27·(2)t＝2，所以f(12)＝24＝16(ppm)，C正确；当f(t)≤0.5，即2≤0.5＝2－1时，得7－≤－1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．故选ACD. 7．江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经研究发现，花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为 m/s.则下列说法正确的是(　　) A．v＝log2(x≥100) B．当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位 C．当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s D．若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍 答案：AB 解析：因为花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比，所以设v＝k·log2.又因为当x＝200时，v＝，所以＝k·log2，解得k＝，所以v＝log2(x≥100)，故A正确；当花鲢鱼静止，即v＝0时，得log2＝0，解得x＝100，故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400单位，即x＝400时，得v＝log2＝log24＝1 m/s，故C错误；设花鲢鱼开始的游速为v0，耗氧量的单位数为x0，后来的速度为v1，提速后的耗氧量的单位数为x1，因为v1＝v0＋1＝log2＋1＝＝log2，又因为v1＝log2，即log2＝log2，所以x1＝4x0，即耗氧量的单位数是原来的4倍，故D错误． 三、填空题 8．(2024·上海奉贤期末)在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值为y(单位：dB(分贝))，定义为y＝10·lg .其中，I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2(瓦/平方米)，I0＝10－12 W/m2为基准值．声强级60 dB的声强度I60是声强级40 dB的声强度I40的________倍． 答案：100 解析：由题意可得解得所以＝＝100. 9．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 答案：5 解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlg＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故这个驾驶员至少要经过5小时才能开车． 10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位： ℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案：24 解析：依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝192×＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 四、解答题 11．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s. (1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式； (2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？ 解：(1)由题意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8， 所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln . (2)由已知，得M＝m＋x＝479.8， 则m＝479.8－x. 将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln ， 解得x≈303.3. 所以应装载大约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道． 12．国家正在大力倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化．某化工企业通过改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量r0＝2 mg/m3，首次改良工艺后排放的废气中含有的污染物数量r1＝1.94 mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中的污染物数量rn满足函数关系rn＝r0－(r0－r1)·50.5n＋p(p∈R，n∈N＋)，其中n是指改良工艺的次数． (1)求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数关系式； (2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3.求至少进行多少次改良工艺后才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据：lg 2≈0.3) 解：(1)由题意，得r0＝2，r1＝1.94， 所以当n＝1时，r1＝r0－(r0－r1)·50.5＋p，即1.94＝2－(2－1.94)×50.5＋p，解得p＝－0.5， 所以rn＝2－0.06×50.5n－0.5(n∈N＋)， 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数关系式为rn＝2－0.06×50.5n－0.5(n∈N＋)． (2)由题意，得rn＝2－0.06×50.5n－0.5≤0.08，整理，得50.5n－0.5≥， 即50.5n－0.5≥32，两边同时取对数，得0.5n－0.5≥，整理，得n≥2×＋1， 因为lg 2≈0.3，所以2×＋1≈＋1≈5.3， 又因为n∈N＋，所以n≥6. 综上，至少进行6次改良工艺后才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． 13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案：(1)y＝　(2)0.6 解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k>0)，将点(0.1，1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t；将点(0.1，1)代入y＝，得a＝0.1.故所求的函数关系式为y＝ (2)由＝0.25＝，得t＝0.6. 即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 14．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知，甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入b(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解：(1)当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，总收益为f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元)． (2)由题意知，投资甲城市x万元，投资乙城市(240－x)万元， 依题意，得 解得80≤x≤160. 当80≤x<120时，120<240－x≤160， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16. 当120≤x≤160时，80≤240－x≤120， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56， 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88， 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2(31－8)>0， 所以f(x)的最大值为88. 综上，当投资甲城市128万元，投资乙城市112万元时，才能使公司总收益最大，且最大总收益为88万元． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$