专题6.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. (2)常见的面积类型： 【特别提示】 (1)已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (2)越大，双曲线离原点越远. (3)求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3; 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................4； 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................4； 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................5； 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性...................................................5； 【题型6】判断反比例函数的增减性...............................................6； 【题型7】由反比例函数的增减性求参数...........................................7； 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小.................................7； 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积...........................................8； 【题型10】由图形面积求比例系数................................................9; 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考............................................................9; 【题型12】拓展延伸...........................................................10. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（20-21九年级上·江西南昌·阶段练习）已知a满足以下三个条件：①a是整数；②关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根；③反比例函数的图象在第二、四象限． （1）求a的值．              （2）求一元二次方程ax2+4x﹣2＝0的根． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（21-22九年级上·河南漯河·阶段练习）已知反比例函数y=（m为常数） （1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值： （2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（2024·江苏南京·三模）点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值． (1)求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率； (2)若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果，那么反比例函数的图象在第 象限． 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． (1)在图①中画出点关于原点的对称点； (2)点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 【变式1】已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【变式1】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【变式2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知是反比例函数图象上的三点． (1)请直接写出的大小关系，并用“＜”连结； (2)请判断与之间的大小关系，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）点，，都在函数上，则，，的大小关系是 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【变式2】（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【例2】（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【例2】（2024·安徽合肥·三模）如图，直线与双曲线，相交于点，，． （1）如果，则值为 ； （2）作交双曲线于点，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 反比例函数的图象和性质（3大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. (2)常见的面积类型： 【特别提示】 (1)已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (2)越大，双曲线离原点越远. (3)求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【反比例函数的图象】 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3; 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................5； 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................7； 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................9； 【反比例函数的性质】 【题型5】反比例函数的对称性..................................................10； 【题型6】判断反比例函数的增减性..............................................13； 【题型7】由反比例函数的增减性求参数..........................................15； 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小................................17； 【比例系数k的几何意义】 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积..........................................19； 【题型10】由图形面积求比例系数...............................................21; 【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考...........................................................25; 【题型12】拓展延伸...........................................................26. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【答案】(1)；(2)见解析；(3)y随x的增大而增大. 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据分母不为零即可得解；（2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． （1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是； （2）解：列表格如下： x … 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（20-21九年级上·江西南昌·阶段练习）已知a满足以下三个条件：①a是整数；②关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根；③反比例函数的图象在第二、四象限． （1）求a的值．              （2）求一元二次方程ax2+4x﹣2＝0的根． 【答案】(1)-1;(2) x1＝2+，x2＝2﹣． 【分析】(1)先根据关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根求出a的取值范围，再由反比例函数的图象在二、四象限得出a的取值范围，由a为整数即可得出a的值； (2)根据a的值得出方程，解方程即可得出结论. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＝16+8a＞0，得a＞﹣2且a≠0； ∵反比例函数图象在二，四象限， ∴2a+1＜0，得a＜﹣， ∴﹣2＜a＜﹣． ∵a是整数且a≠0， ∴a＝﹣1； （2）∵a＝﹣1， ∴一元二次方程为﹣x2+4x﹣2＝0，即：x2﹣4x+2＝0， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣． 【点拨】此题主要考查一元二次方程根的判别式、反比例函数的性质和一元二次方程的解法. 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3，故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用．求得中点A的坐标是解题的关键． 由点D的坐标为，可求得菱形的边长，得到，由点中点性质即得． 解：∵点 D 的坐标为 ， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（21-22九年级上·河南漯河·阶段练习）已知反比例函数y=（m为常数） （1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值： （2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）根据图象所处的象限确定m的取值范围即可． 解：（1）∵函数图象经过点A（-1，6）， ∴m-8=xy=-1×6=-6， 解得：m=2， ∴m的值是2； （2）∵函数图象在二、四象限， ∴m-8＜0， 解得：m＜8， ∴m的取值范围是m＜8． 【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（2024·江苏南京·三模）点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值． (1)求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率； (2)若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，解题的关键是画出树状图． （1）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据点P坐标的情况数，得出的情况数，然后根据概率公式进行计算即可． 解：（1）解：画树状图为： ∵共有12种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为：4， ∴点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为； （2）解：∵共有12种等可能的结果，其中的情况数有8种，即反比例函数的图象在二、四象限的情况数有8种， ∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果，那么反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．判断出的取值范围即可求解． 解：， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三． 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． (1)在图①中画出点关于原点的对称点； (2)点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，无刻度的直尺作图，全等三角形的判定及性质，理解反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，是解决问题的关键． （1）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，即可求解； （2）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，连接，，并延长交反比例函数的图象于，，连接，并延长交轴于，即可求解． （1）解：连接，并延长交反比例函数的图象于，如图所示， 点即为所求； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于， 连接，，并延长交反比例函数的图象于，， 连接，并延长交轴于，如图所示， ∵反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 点即为所求． 【变式1】已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出的值即可判断． 解：点、、都在反比例函数的图象上， ，，， ， 故选． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【答案】(1)；(2)见解析；(3)y随x的增大而增大. 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 解：（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是； （2）解：列表格如下： x … 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 【变式1】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象经过点 C．随的增大而减小 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题． 解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意； ．当，，所以经过，该选项正确，不符合题意； ．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意； ． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 解：（1）解：由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得． 解：， 函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 点在函数的图象上， 又，， ∴， ， ∴， ∴的值可以是1； 故答案为：C． 【变式2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知是反比例函数图象上的三点． (1)请直接写出的大小关系，并用“＜”连结； (2)请判断与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用反比例函数的性质求求解即可； （2）先由反比例函数图象上点的坐标特征表示出，再计算，根据进行求解即可． 解：（1）∵， ∴在第一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴； （2）是反比例函数的图象的三点， ， ，， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值进行比较即可． 解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． ． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）点，，都在函数上，则，，的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 把点，，代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案． 解：把点，，代入反比例函数的关系式； 解得：，，， 故， 故答案为： 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案． 解：如图，过点作轴于， 已知，是反比例函数图象上的两点， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 轴，轴， ， 又 ， ， ， ． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 解：设， ∵直线轴， ∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上， ∴当 即点Ａ的坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当 ∴B点坐标为， ∴， ∴ 故答案为：3． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积相等．作轴，垂足为点，连接，利用相似得到三角形面积，根据线段之比得到三角形的面积，两个面积之和为绝对值的一半即可求出值． 解：作轴，垂足为点，连接， ，轴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数图象在第一象限， ． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可． 解：如图所示，过点D作于点E， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， 又∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】直通中考 【例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 【例2】（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0． 【答案】/小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 【例2】（2024·安徽合肥·三模）如图，直线与双曲线，相交于点，，． （1）如果，则值为 ； （2）作交双曲线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】（1）过作轴交于，过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由反比例函数中“”的几何意义得，，即可求解； （2）将直线绕点顺时针旋转，点的对应点，可求，由相似三角形的性质得，由此可求，由旋转得，可求直线解析式为，直线的解析式为，联立可求解，由勾股定理可求和的长，即可求解． 解：（1）如图，过作轴交于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）如图，将直线绕点顺时针旋转，点的对应点， ， ， ， 联立：， 解得：或（舍去）， ， ，， 由（1）得： ， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ， ， ， ， 故答案：； 【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，待定系数法求反比例及一次函数解析式，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；理解的几何意义，掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$