2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 15分钟对点练 目录 30分钟综合练 15分钟对点练 解析：由等式的性质可知B正确．A中应为x＋c＝y＋c，C中c不能为0，D中应为3x＝2y.故选B. 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 知识点二　恒等式 3．化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 解析：(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 4．[多选]下列等式中是恒等式的是(　　) A．(x－2)(x＋2)＝x2－4 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9 D．16x2－9＝24x 解析：对于A，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；对于B，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；对于C，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，使用平方差公式化简，是恒等式；对于D，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式． 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 5．利用十字相乘法对x2－5x＋4分解因式． 解：对于式子x2－5x＋4来说，因为－1＋(－4)＝－5，且－1×(－4)＝4，所以x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 解析：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6，去括号，得3x－9－4x－2＝6，移项，得－x＝17，系数化为1，得x＝－17.方程的解集为{－17}． 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 7．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n＝________． 解析：因为n是方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则有n2＋mn＋2n＝0⇒n(n＋m＋2)＝0，即n＋m＋2＝0，所以m＋n＝－2. 答案 解析 －2 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8．求方程x(x－1)＝7(1－x)的解集． 解：由x(x－1)＝7(1－x)，得x2－x＝7－7x， 即x2＋6x－7＝0，(x－1)(x＋7)＝0， 故x＝1或x＝－7. 所以原方程的解集为{1，－7}． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 30分钟综合练 一、单选题 1．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解析：因为x＝1是方程2x－a＝0的解，所以a＝2.故选B. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 解析：－(an＋1)(an－1)＋(an)2＝－(a2n－1)＋a2n＝－a2n＋1＋a2n＝1. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解析：方程可化为2x＋9＝x2＋2x，即x2＝9，所以x＝3或x＝－3，即原方程的解集为{3，－3}．故选D. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 5．一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　　) A．(x＋1)(x－2) B．(2x＋1)(x－2) C．2(x－1)(x＋2) D．2(x＋1)(x－2) 解析：∵一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，∴2(x＋1)(x－2)＝0，∴2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2)．故选D. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 二、多选题 6．下列各式正确的是(　　) A．a2＋4a＋5＝(a＋1)(a＋5) B．4a2＋12ab＋9b2＝(2a＋3b)2 C．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) D．a3－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2) 解析：对于A，右边＝a2＋6a＋5≠左边，故A错误；对于B，右边＝4a2＋12ab＋9b2＝左边，故B正确；对于C，根据立方和公式可知，C正确；对于D，根据立方差公式可知，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，故D错误．故选BC. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 9．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米，设绿地宽为x米，根据题意，列方程为____________________，其解集为________． 解析：根据题意可列方程x(x＋40)＝1200，即(x－20)(x＋60)＝0，x>0，解得x＝20，即方程的解集为{20}． 答案 解析 x(x＋40)＝1200(x>0) {20} 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 10．已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝________． 解析：方程mx2＋5x＋m2－2m＝0的一个根为0，则有m2－2m＝0，解得m＝0或m＝2，又因为方程为一元二次方程，所以m≠0，即m＝2. 答案 解析 2 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 四、解答题 11．求下列方程的解集： (1)2x2－4x－30＝0； (2)(200－x)(x－120)＝1500； (3)ax2－(a＋1)x＋1＝0. 解：(1)方程可化为x2－2x－15＝0， 即(x－5)(x＋3)＝0，解得x＝5或x＝－3. 方程的解集为{5，－3}． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 13．关于x的方程mx＋4＝3x－n的解集为R，则m＝____，n＝_____． 解析：由题意知(m－3)x＝－n－4.当m－3＝0且－n－4＝0，即m＝3且n＝－4时，方程的解集为R. 答案 解析 3 －4 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 14．已知集合A＝{x|x2－9x＋20＝0}，B＝{x|x2－(a＋1)2x＋2a(a2＋1)＝0}，且A≠B，A∩B≠∅，求正实数a的取值范围． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等式的性质 1．设x，y，c是实数，则下列说法正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则eq \f(x,c)＝eq \f(y,c) D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y eq \f(5,3) 2．若eq \f(a,b)＝eq \f(2,3)，则eq \f(a＋b,b)＝________． 解析　由eq \f(a,b)＝eq \f(2,3)，得eq \f(a＋b,b)＝eq \f(a,b)＋1＝eq \f(2,3)＋1＝eq \f(5,3). 知识点三　方程的解集 6．方程eq \f(x－3,2)－eq \f(2x＋1,3)＝1的解集为(　　) A．{3} B．{－1，－17} C．∅ D．{－17} 9．已知集合A＝{x|x2＋(a＋b)x＋ab＝0(a≠b)}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，若A∩B＝A，求实数a，b的值． 解 由x2＋(a＋b)x＋ab＝0， 得(x＋a)(x＋b)＝0， 所以x＝－a或x＝－b，所以A＝{－a，－b}． 因为A∩B＝A，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝－1，,－b＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝－\f(1,2)，,－b＝－1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝1.)) 2．下列等式中，属于恒等式的是(　　) A．x2＝0 B．x＋y＝0 C．eq \f(1,xy)＝eq \f(1,x)·eq \f(1,y)(x≠0，y≠0) D．eq \r(xy)＝eq \r(x)·eq \r(y) 解析　对于A，当x＝1时，x2≠0，故A错误；对于B，取x＝0，y＝1，则x＋y＝1≠0，故B错误；对于C，eq \f(1,xy)＝eq \f(1,x)·eq \f(1,y)(x≠0，y≠0)，故C正确；对于D，取x＝y＝－1，可得eq \r(xy)＝1，eq \r(x)与eq \r(y)无意义，故D错误．故选C. 4．一元二次方程2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(9,2)))＝x(x＋2)的解集是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，－\f(9,2))) B．{－3，－2} C．{0，2} D．{3，－3} 7．(2024·重庆北碚高一期中)方程eq \f(x2＋x,x＋1)＝eq \f(2x＋m,x)的解集只有一个元素，那么该方程的解集可以是(　　) A．{1} B．{2} C．{3} D．{4} 解析　由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝eq \f(2x＋m,x)，得x2－2x－m＝0，若方程有一根为0，则m＝0，此时原方程的解为x＝2(x＝0舍去)，符合题意；若方程有一根为－1，则m＝3，此时原方程的解为x＝3(x＝－1舍去)，符合题意；若Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选ABC. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) 三、填空题 8．方程1－eq \f(1,3)x＝x＋3的解集为________． 解析　化简1－eq \f(1,3)x＝x＋3，得eq \f(4,3)x＝－2，故x＝－eq \f(3,2)，即方程1－eq \f(1,3)x＝x＋3的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))). (2)方程可化为x2－320x＋25500＝0， 解得x＝150或x＝170. 即方程的解集为{150，170}． (3)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0， 所以x＝1. 当a≠0时，ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 即原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0， 所以当a≠0且a≠1时，x＝eq \f(1,a)或x＝1. 当a＝1时，x＝1. 综上所述，当a＝0或a＝1时，方程的解集为{1}； 当a≠0且a≠1时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a))). 12．(2024·浙江宁波高一期中)已知关于x的方程x－eq \f(3－2x,2)＝1－eq \f(x＋2a,6)与eq \f(2x＋a,3)－eq \f(x－a,6)＝1有相同的解集，求a的值及方程的解集． 解：方程x－eq \f(3－2x,2)＝1－eq \f(x＋2a,6)化为6x－3(3－2x)＝6－x－2a， 整理，得13x＝15－2a，解得x＝eq \f(15－2a,13). 方程eq \f(2x＋a,3)－eq \f(x－a,6)＝1化为2(2x＋a)－(x－a)＝6， 整理，得3x＝－3a＋6，解得x＝－a＋2. 由题意，得eq \f(15－2a,13)＝－a＋2，解得a＝1，所以x＝1. 综上，a＝1，方程的解集为{1}． 解：A＝{x|x2－9x＋20＝0}＝{x|(x－4)(x－5)＝0}＝{4，5}， B＝{x|x2－(a＋1)2x＋2a(a2＋1)＝0}＝{x|(x－2a)[x－(a2＋1)]＝0}， 当2a＝a2＋1，即a＝1时，B＝{2}，不符合题意； 当2a≠a2＋1，即a≠1时，B＝{2a，a2＋1}， 因为A∩B≠∅， 所以2a＝4或2a＝5或a2＋1＝4或a2＋1＝5， 又a>0，所以a＝2或a＝eq \f(5,2)或a＝eq \r(3)， 又A≠B，所以a≠2. 综上，正实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\r(3))). $$