1.1.1 第2课时 集合的表示方法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第2课时　集合的表示方法 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　用列举法表示集合 1．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　　) A．{1，2} B．{(1，2)} C．{(1，1)，(2，2)} D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)} 解析：x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2，∴集合{(x，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．故选D. 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 知识点二　用描述法表示集合 3．用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合为 _________________________________________ ． 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈ N＋，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数的集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点三　区间及其表示 5．用区间表示下列数集． (1){x|x≥2}＝______________； (2){x|3<x≤4}＝______________； (3){x|x＜－1}＝______________． 解析：由区间表示法知，(1){x|x≥2}＝[2，＋∞)，(2){x|3<x≤4}＝(3，4]，(3){x|x<－1}＝(－∞，－1)． 答案 解析 [2，＋∞) (3，4] (－∞，－1) 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 答案 解析 {－2，2，4，5} 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7．已知集合A＝{x|x<5且x∈N＋}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，b∈A}，则用列举法表示集合B＝_________________________________________． 解析：∵x<5且x∈N＋，∴x＝1，2，3，4，∴A＝{1，2，3，4}．又a＋b2＝1，且b∈A，∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3；当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15.∴B＝{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)}． 答案 解析 {(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)} 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 8．若49∈{ (a2，7a) }，则a＝________． 解析：若7a＝49，即a＝7，a2＝7a＝49，不符合集合中元素的互异性，所以a2＝49，解得a＝－7或a＝7(舍去)．综上所述，a＝－7. 答案 解析 －7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 40分钟综合练 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 2．下列集合恰有两个元素的是(　　) A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x} C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x} 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x＋y－4>0，x，y∈A}，则集合B中的元素个数为(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 解析：通过列举，可知x，y∈A的数对共9对，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种．∵B＝{(x，y)|x＋y－4>0，x，y∈A}，∴易得(2，3)，(3，2)，(3，3)满足x＋y－4>0.∴集合B中的元素个数为3.故选D. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 2 三、填空题 8．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________． 解析：由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素之和为2. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 9．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________． 答案 解析 (2，5) 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 10．若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是_____________． 解析：因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a ≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 答案 解析 [2，＋∞) 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 四、解答题 11．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集． (1)方程x2(x＋1)＝0的解组成的集合； (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合； (3)自然数的平方组成的集合． 解：(1)由x2(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1，0}．故该集合为有限集． (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集． (3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0，12，22，32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 12．已知A＝{x|x2－(a＋1)x＋b＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B. 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 13．(2024·湖南长沙高一期末)已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和组成的集合为{1，2，3}，则集合A中任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合是________． 答案 解析 {1，2} 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 14．(2024·北京大兴高一期中)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 　　　　　　　　　　　　　 R 2．用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集； (3)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋6＝0，,x－y＋3＝0))的解集． 解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以所求集合可表示为{1，3，5，15}． (2)因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以所求集合可表示为{2，4，6，8，10}． (3)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋6＝0，,x－y＋3＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝0.)) 所以所求集合可表示为{(－3，0)}． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(3,2)，－\f(1,2)≤y≤1，且xy≥0)))) 解析：用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(3,2)，－\f(1,2)≤y≤1，且xy≥0)))). 知识点四　集合表示法的综合应用 6．用列举法表示集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈Z且\f(8,6－x)∈N))))＝______________． 解析：∵x∈Z且eq \f(8,6－x)∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，eq \f(8,7)∉N；当x＝0时，eq \f(4,3)∉N；当x＝1时，eq \f(8,5)∉N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，eq \f(8,3)∉N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2，2，4，5}． 一、单选题 1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解组成的集合是(　　) A．{2，1} B．(2，1) C．{(2，1)} D．{－1，2} 解析：先求出方程组的解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2，1)，故选C. 解析：A项表示只有一个元素“x2－x＝0”的集合；B项为二次函数y＝x2－x中自变量x的取值范围，有无数个元素；C项为方程y2－y＝0的解，有0，1两个元素；D项中，y＝x2－x≥－eq \f(1,4)，集合中有无数个元素．故选C. 3．设集合M＝[3，＋∞)，m＝eq \r(10)，则下列关系中正确的是(　　) A．{m}∈M B．{m}∈{M} C．m∈{M} D．m∈M 解析：∵M是所有大于或等于3的数组成的集合，且eq \r(10)＞3，∴eq \r(10)∈M.故选D. 5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)，\f(7,3)，\f(9,4)，…))可表示为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,2n)，n∈N＋)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋3,n)，n∈N＋)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n－1,n)，n∈N＋)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋)))) 解析：∵3＝eq \f(3,1)，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N＋，∴集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋)))).故选D. 二、多选题 6．已知集合M＝{m|m＝a＋eq \r(2)b，a∈Q，b∈Q}，若x＝eq \f(1,3－5\r(2))，y＝3＋eq \r(2)π，则x，y与集合M间的关系正确的是(　　) A．x∈M B．x∉M C．y∈M D．y∉M 解析：x＝eq \f(1,3－5\r(2))＝－eq \f(3,41)－eq \f(5\r(2),41)，∵－eq \f(3,41)，－eq \f(5,41)∈Q，∴x∈M，∵3∈Q，π∉Q，∴y∉M.故选AD. 7．下列说法中正确的是(　　) A．∅∈{0} B．∅＝{0} C．集合{x|x2－2x＋1＝0}中只有一个元素 D．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,x)∈N))))是有限集 解析：根据∅的定义知，A，B均不正确；集合{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}中只有一个元素，C正确；集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,x)∈N))))＝{1，5}中只有两个元素，是有限集，D正确．故选CD. 解析：由题意知，a∈A，a∈B，所以a是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝x＋3))的解，解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))即a为(2，5)． 解：因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1. 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－3）2＋3（a＋1）＋b＝0，,1－（a＋1）＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－3.)) 将a＝－3，b＝－3代入x2－2ax＋b＝0， 得x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2eq \r(3)， 所以B＝{－3－2eq \r(3)，－3＋2eq \r(3)}． 解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b＋c＝2，,c＋a＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,c＝2，))所以集合A＝{0，1，2}，则集合A中任意2个不同元素的差的绝对值分别是1，2，故集合A中任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合是{1，2}． 解：(1)∵A是空集，∴a≠0且Δ<0， ∴a≠0且9－8a<0，解得a>eq \f(9,8)， ∴a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)). (2)当a＝0时，集合A＝{x|－3x＋2＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))； 当a≠0时，Δ＝0， ∴9－8a＝0，解得a＝eq \f(9,8)，此时集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))). 综上所述，a的值为0或eq \f(9,8)，当a＝0时，元素为eq \f(2,3)，当a＝eq \f(9,8)时，元素为eq \f(4,3). (3)当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合题意； 当a≠0时，要使关于x的方程ax2－3x＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a≥0， 得a≤eq \f(9,8)且a≠0. 综上所述，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,8))). $$