2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线的点斜式方程及斜截式方程的过程，提升逻辑推理素养和数学抽象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 目录 随堂水平达标 核心概念掌握 知识点一　直线方程 用给定的条件，将直线上所有点的坐标(x，y)满足的__________表示出来，这就是直线方程． 知识点二　直线的点斜式方程 已知直线l的斜率为k，且l过已知点P0(x0，y0)，其直线方程为_____________ ． 由于该方程由直线上__________及其_________确定，因此把此方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是__________． 共同关系 y－y0＝k(x－x0) 一定点 x＝x0 斜率 核心概念掌握 5 知识点三　直线的斜截式方程 经过点P(0，b)，斜率为k的直线方程为_____________． 直线l与y轴的交点(0，b)的_________称为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线l的_______和它在y轴上的_______确定，因此把此方程称为直线的斜截式方程，简称斜截式． y＝kx＋b 纵坐标 斜率 截距 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 2．对直线斜截式方程的理解 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负、可为零． 核心概念掌握 8 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　 ) (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　 ) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　 ) √ × √ 核心概念掌握 9 答案 2 y＝2x＋3 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　直线的点斜式方程 例1　(1)已知直线的方程为y－3＝－x＋5，则(　 ) A．该直线过点(－5，3)，斜率为－1 B．该直线过点(－5，－3)，斜率为1 C．该直线过点(5，3)，斜率为－1 D．该直线过点(5，－3)，斜率为1 答案 解析 解析　原方程可化为y－3＝(－1)(x－5)，即该直线的斜率为－1，且过点(5，3)，故选C. 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 感悟提升 直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用点斜式表示直线方程，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0. 核心素养形成 14 [跟踪训练1]　(1)直线方程y－y0＝k(x－x0)(　 ) A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 答案 解析 解析　该直线方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，故不能表示垂直于x轴的直线，故选D. 核心素养形成 15 核心素养形成 16 解 解　①∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即y＝－3x－9. ②与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. ③∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴直线方程为x＝－5. 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 题型二　直线的斜截式方程 例2　(1)(多选)下列四个说法中，正确的是(　 ) A．任何一条直线在y轴上都有截距 B．直线在y轴的截距一定是正数 C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线 D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1 答案 解析 解析　平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确；直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确；直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确；直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确． 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 感悟提升 直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 核心素养形成 21 [跟踪训练2]　(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程． 解 解　易知k＝－1，b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2. 核心素养形成 22 解 (3)已知直线方程为y＋1＝－2(x－1)，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 解　直线方程y＋1＝－2(x－1)，可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，与y轴交点的坐标为(0，1)． 核心素养形成 23 随堂水平达标 1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是(　 ) A．x＝3 B．y＝3x－5 C．y－2＝3(x－1) D．x＝4y－1 答案 解析 解析　由直线的斜截式方程的定义可知选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 2．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，该定点为(　 ) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 答案 解析 解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线的斜率为k，且过点(－2，3)． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 课后课时精练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 32 2．已知ab>0，bc>0，则直线ax＋by＝c经过(　 ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 33 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 34 4．已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　 ) A．－1 B．3 C．7 D．8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 35 5．(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　 ) A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 36 二、填空题 6．若直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过点P(3，3)，则直线l的方程为____________． 答案 x＝3 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 37 7．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若直线l在y轴上的截距为7，则m＝________． 答案 解析 4 解析　在直线l的方程y－m＝(m－1)(x＋1)中，令x＝0，得y＝2m－1.因为直线l在y轴上的截距为7，所以2m－1＝7.所以m＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 38 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 39 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 40 10．已知直线经过两点A(2＋a2，1＋a2)，B(－1，－5)． (1)若a＝1，求直线AB的斜截式方程； (2)求当斜率kAB最大时，直线AB的点斜式方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 41 解 课后课时精练 1 2 B级 42 解 课后课时精练 1 2 B级 43 2．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 B级 44 　　　　　　　　　　　　　 R 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线的点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝eq \f(y－y0,x－x0)不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)且不垂直于x轴的无数条直线． 2．做一做 (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　 ) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 (2)过点P(－1，2)，倾斜角为eq \f(π,3)的直线的点斜式方程为_________________． (3)已知直线l：y＝2－eq \r(3)x，则直线l的斜率是_______，在y轴上的截距为______． (4)斜率为2，过点A(0，3)的直线的斜截式方程为____________． y－2＝eq \r(3)(x＋1) －eq \r(3)　 (2)求满足下列条件的直线的点斜式方程． ①过点(－1，2)且斜率为3； ②过点(－1，2)且与x轴平行； ③过点(－1，2)且与x轴垂直； ④已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为eq \f(π,3). 解　①y－2＝3(x＋1)． ②y＝2. ③x＝－1. ④斜率k＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，AB的中点为(1，4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝eq \r(3)(x－1)． (2)求满足下列条件的直线方程． ①过点P(－4，3)，斜率k＝－3； ②过点P(3，－4)，且与x轴平行； ③经过点(－5，2)且平行于y轴； ④过点P(1，2)且与直线y＝2x＋1的斜率相等； ⑤过点P(4，－2)，倾斜角为eq \f(5π,6)； ⑥过两点A(1，3)，B(2，5)． ④由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1，2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. ⑤∵α＝eq \f(5π,6)，∴k＝taneq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y＋2＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)－2. ⑥∵k＝eq \f(5－3,2－1)＝2，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 解　①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. ②因为倾斜角为eq \f(π,6)，所以直线的斜率为taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3).由斜截式可得所求直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－2. ③由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. (2)根据条件写出下列直线的斜截式方程． ①斜率为2，在y轴上的截距是5； ②倾斜角为eq \f(π,6)，在y轴上的截距是－2； ③斜率为eq \r(3)，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程． 解　由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化为斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4. 3．(多选)方程y＝ax＋eq \f(1,a)表示的直线可能是(　 ) 解析　易知a≠0，当a>0时，eq \f(1,a)>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，eq \f(1,a)<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB. 4．倾斜角为eq \f(2π,3)，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为____________． y＝－eq \r(3)x－3 解析　∵所求直线的倾斜角为eq \f(2π,3)，∴它的斜率k＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，又b＝－3，∴它的斜截式方程为y＝－eq \r(3)x－3. 5．已知直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(3，－4)； (2)在y轴上的截距为3. 解　设直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的倾斜角为α， 则直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋5的斜率k＝tanα＝－eq \f(\r(3),3)， ∴α＝eq \f(5π,6). 故所求直线l的倾斜角为eq \f(π,6)，斜率k′＝eq \f(\r(3),3). (1)过点P(3，－4)，由点斜式方程， 得y＋4＝eq \f(\r(3),3)(x－3)， ∴y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \r(3)－4. (2)在y轴上的截距为3，由斜截式方程得y＝eq \f(\r(3),3)x＋3. 一、选择题 1．已知直线方程y－3＝eq \r(3)(x－4)，则这条直线经过的定点、倾斜角分别为(　 ) A．(4，3)，eq \f(π,3) B．(－3，－4)，eq \f(π,6) C．(4，3)，eq \f(π,6) D．(－4，－3)，eq \f(π,3) 解析　由直线的点斜式方程易知直线过点(4，3)，且斜率为eq \r(3)，所以倾斜角为eq \f(π,3). 解析　把直线方程ax＋by＝c化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(c,b)，∵ab>0，bc>0，∴－eq \f(a,b)<0，eq \f(c,b)>0.故直线经过第一、二、四象限． 3．与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线l的斜截式方程是(　 ) A．y＝eq \f(1,2)x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－eq \f(1,2)x＋4 解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，∴直线l的斜率是－eq \f(1,2)，∴直线l的斜截式方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4，故选D. 解析　依题意，得kAB＝eq \f(5－1,2－4)＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7. 解析　由已知可得所求直线的倾斜角为eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).所以所求直线的斜率k＝taneq \f(π,4)＝1或k＝taneq \f(3π,4)＝－1.所以所求直线的方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，即y＝x－1或y＝－x＋3.故选BC. 解析　因为直线y＝x＋1的斜率为1，所以该直线的倾斜角为eq \f(π,4).所以直线l的倾斜角为eq \f(π,2).又直线l过点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3. 8．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－eq \f(\r(3),3)，则直线l1的点斜式方程为_________________，把l1绕点P按顺时针方向旋转eq \f(π,6)得直线l2，则直线l2的点斜式方程为_____________________． 解析　直线l1的点斜式方程是y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)．∵k1＝－eq \f(\r(3),3)＝tanα1，∴α1＝eq \f(5π,6).如图，l1绕点P按顺时针方向旋转eq \f(π,6)，得到直线l2的倾斜角为α2＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)，∴k2＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，∴直线l2的点斜式方程为y－2＝－eq \r(3)(x＋1)． y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1) y－2＝－eq \r(3)(x＋1) 三、解答题 9．根据下列条件分别写出直线的方程． (1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5，3)； (2)倾斜角为eq \f(3π,4)，在y轴上的截距为－2. 解　(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，即y＝eq \r(3)x＋3－5eq \r(3). (2)因为所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)， 所以所求直线的斜率为taneq \f(3π,4)＝－1. 由斜截式方程，可知所求直线的方程为y＝－x－2. 解　(1)当a＝1时，A(3，2)，则kAB＝eq \f(2－（－5）,3－（－1）)＝eq \f(7,4). 设直线AB在y轴上的截距为b，则y＝eq \f(7,4)x＋b. 因为点B(－1，－5)在直线上，所以－5＝eq \f(7,4)×(－1)＋b，所以b＝－eq \f(13,4). 所以直线AB的斜截式方程为y＝eq \f(7,4)x－eq \f(13,4). (2)kAB＝eq \f(1＋a2－（－5）,2＋a2－（－1）)＝eq \f(a2＋6,a2＋3)＝1＋eq \f(3,a2＋3)， 当a2＝0时，kAB取得最大值2，直线AB的点斜式方程为y＋5＝2(x＋1)． 解　(1)由题意知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)， 当y＝0时，x＝－eq \f(4,k)－3，当x＝0时，y＝3k＋4， 由已知，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（3k＋4）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)－3))))＝6， 解得k＝－eq \f(2,3)或－eq \f(8,3). ∴直线l的斜截式方程为y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(8,3)x－4. 1．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程． (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). (2)设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l的斜截式方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，当y＝0时，x＝－6b，由已知，得|－6b·b|＝6， ∴b＝±1. ∴直线l的斜截式方程为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1. 解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－2，1)． (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)． 当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）≥0，,f（3）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋2k＋1≥0，,3k＋2k＋1≥0，))解得－eq \f(1,5)≤k≤1. 所以实数k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))≤k≤1) ) . $$