2.1 直线的斜率-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 2.1 直线的斜率 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率这些概念，提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题，提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 目录 随堂水平达标 核心概念掌握 知识点一　直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点_________旋转到与直线l ___________首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． 2．当直线l与x轴______________时，规定倾斜角α＝0. 3．倾斜角的取值范围是___________． 4．平面直角坐标系内的每一条直线都有一个______的倾斜角α，而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角_____，倾斜程度不同的直线，其倾斜角_________． 逆时针 向上方向 平行或重合 0≤α<π 确定 相等 不相等 核心概念掌握 5 正切值k tanα 没有斜率 不同 斜率 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　 ) (2)任意一条直线都有斜率．(　 ) (3)倾斜角越大，斜率也越大．(　 ) (4)倾斜角为0的直线只有一条，即x轴．(　 ) √ × × × 核心概念掌握 10 答案 0 k1<k3<k2 核心概念掌握 11 核心素养形成 答案 解析 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 核心素养形成 15 答案 核心素养形成 16 解析 核心素养形成 17 (2)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，其中l1∥l4，则(　 ) A．k1<k2<k3<k4 B．k1＝k4<k2<k3 C．k3<k2<k1＝k4 D．k4＝k1<k3<k2 答案 解析 核心素养形成 18 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 核心素养形成 21 解 [跟踪训练2]　(1)已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角． 核心素养形成 22 解 (2)已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率． 核心素养形成 23 解 题型三　直线斜率公式的应用 例3　(1)已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一条直线上，求a的值． 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 核心素养形成 27 解 核心素养形成 28 解 (2)在平面直角坐标系中，画出经过点P(1，－1)，且斜率分别为2，－2的直线l1，l2. 核心素养形成 29 解 (3)已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围． 核心素养形成 30 随堂水平达标 1．下列说法正确的是(　 ) A．直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α≤π C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为π D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 解析 解析　对于A，倾斜角的定义中把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角叫倾斜角，∴A错误；对于B，倾斜角的范围是0≤α<π，∴B错误；对于C，与x轴平行的直线的倾斜角为0，∴C错误；D正确． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 3.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则(　 ) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 答案 解析 解析　由题图可得k1<0<k3<k2. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 4．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则点B的坐标为__________________． 答案 (1，0)或(0，－2) 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 5．如图，已知三点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 课后课时精练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 38 2．m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　 ) A．在同一条直线上 B．是直角三角形的顶点 C．是等腰三角形的顶点 D．是等边三角形的顶点 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 39 3．经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　 ) A．m<1 B．m>－1 C．－1<m<1 D．m>1或m<－1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 40 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 41 5．(多选)已知直线ax＋by＝ab，则下列说法正确的是(　 ) A．当a≠0，b＝0时，直线的倾斜角为直角 B．当a＝0，b≠0时，直线的倾斜角为平角 C．当ab<0时，直线的倾斜角为锐角 D．当ab>0时，直线的倾斜角为钝角 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 42 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 43 7．已知A(－1，2)，B(3，2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是____________． 答案 解析 (1，6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 44 8．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，当m∈_________________________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈____________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈____________时，直线MN的倾斜角为钝角． 答案 解析 (－∞，－5)∪(1，＋∞) {－5} 　(－5，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 45 三、解答题 9．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，求a的值． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 46 10．已知直线l过点P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 课后课时精练 47 解 课后课时精练 1 2 B级 48 解 课后课时精练 1 2 B级 49 解 课后课时精练 1 2 B级 50 解 课后课时精练 1 2 B级 51 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　直线的斜率 1．一条直线的倾斜角αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的_________称为这条直线的斜率，即k＝______． 2．倾斜角是eq \f(π,2)的直线___________．倾斜角α≠eq \f(π,2)的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也_______．因此，可以用________来表示直线的倾斜程度． 3．设直线l的倾斜角为α，且经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，此 直线的斜率公式为k＝tanα＝___________． eq \f(y2－y1,x2－x1) 1．对直线倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件 ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于π的非负角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． 2．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与A，B点的先后顺序无关. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(公式中x1与x2，y1与y2可以同时交换，即可以写成k＝\f(y1－y2,x1－x2).)) (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 3．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k＝tanα>0 k＝0 k＝tanα<0 不存在 倾斜角α 锐角 0 钝角 eq \f(π,2) 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示： ①当α取值在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，由0增大到eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))时，k由0增大并趋向于正无穷大； ②当α取值在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))内，由eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想． 4．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意． 2．做一做 (1)已知直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则该直线的倾斜角为(　 ) A.eq \f(5π,6) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,12) D.eq \f(π,4) (2)如图1所示，直线l的倾斜角为____________． (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为_________． (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为____________． (5)过点(0，1)和(－3，0)的直线的斜率为______． eq \f(3π,4) eq \f(1,3) 解析　有两种情况： ①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为eq \f(π,3)，即直线l的倾斜角为eq \f(π,3). ②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为eq \f(2π,3)，即直线l的倾斜角为eq \f(2π,3). 题型一　直线的倾斜角与斜率的概念 例1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为eq \f(π,6)，则直线l的倾斜角为__________． eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) (2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝eq \f(π,6)，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率． 解　直线l1的斜率k1＝tanα1＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3). ∵直线l2的倾斜角α2＝eq \f(π,2)＋eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)， ∴直线l2的斜率k2＝taneq \f(2π,3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3). 感悟提升 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是eq \f(π,2)时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0≤α<π；③充分结合图形进行分析． [跟踪训练1]　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转eq \f(π,4)，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　 ) A．α＋eq \f(π,4) B．α－eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,4)－α D．当0≤α<eq \f(3π,4)时，倾斜角为α＋eq \f(π,4)；当eq \f(3π,4)≤α<π时，倾斜角为α－eq \f(3π,4) 解析　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0≤α<π，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不符合题意．通过画图(如图所示)可知，当0≤α<eq \f(3π,4)时，l1的倾斜角为α＋eq \f(π,4)；当eq \f(3π,4)≤α<π时，l1的倾斜角为eq \f(π,4)＋α－π＝α－eq \f(3π,4).故选D. 解析　由l1与l4平行，知l1与l4的倾斜角相等，所以斜率相等，故排除A.从图上可知l3的倾斜角比l2的倾斜角小，并且是小于eq \f(π,2)的角，所以k2>k3>0.而l1与l4的倾斜角是钝角，故k1＝k4<0，通过以上的分析可知D项是正确的． 题型二　直线的倾斜角与斜率的计算 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角． (1)A(－eq \r(3)，eq \r(2))，B(eq \r(2)，－eq \r(3))； (2)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)(a≠c)； (3)A(－3，1)，B(－3，10)． 解　(1)存在．∵－eq \r(3)≠eq \r(2)，∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝eq \f(－\r(3)－\r(2),\r(2)－（－\r(3)）)＝－1，则直线AB的倾斜角α满足tanα＝－1，又0≤α<π，∴倾斜角α＝eq \f(3π,4). (2)存在．∵a≠c，∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝eq \f(b＋c－（a＋b）,c－a)＝1，则直线AB的倾斜角α满足tanα＝1，又0≤α<π，∴倾斜角α＝eq \f(π,4). (3)不存在．∵xA＝xB＝－3，∴直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝eq \f(π,2).　 感悟提升 斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y2－y1,x2－x1). (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 解　∵l2过N(5，3)，M(8，6)， ∴l2的斜率k2＝eq \f(3－6,5－8)＝1，∴l2的倾斜角为eq \f(π,4). 又l1，l2，l3，l4倾斜角之比为1∶2∶3∶4， ∴l1的倾斜角为eq \f(π,8)，l3的倾斜角为eq \f(3π,8)，l4的倾斜角为eq \f(π,2). 解　kAB＝eq \f(1－1,1－（－1）)＝0，kAC＝eq \f(－1－1,1－（－1）)＝－1. ∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在． 解　由题意知该直线的斜率存在， ∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC，即eq \f(2－1,a－5)＝eq \f(2a－1,－4－5)， 解得a＝2或a＝eq \f(7,2). 故a的值为2或eq \f(7,2). 解　设直线l1上另一点B的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有eq \f(1,2)＝eq \f(y1－1,x1－2)，即y1＝eq \f(1,2)x1. 不妨取x1＝0，则y1＝0，于是得点B的坐标为(0，0)，即坐标原点O.过点A(2，1)及点O(0，0)作直线即为l1，如图所示． 设直线l2上另一点C的坐标为(x2，y2)，根据斜率公式有－eq \f(1,2)＝eq \f(y2－1,x2－2)，即y2＝－eq \f(1,2)x2＋2.不妨取x2＝0，则y2＝2，于是得点C的坐标为(0，2)．过点A(2，1)及点C(0，2)作直线即为l2，如图所示． (2)在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，1)，且斜率分别为eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)的直线l1，l2. 解　如图所示，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)， ∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)，∴eq \f(π,4)≤α≤eq \f(2π,3). (3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的范围． 感悟提升 1.斜率公式解决三点共线问题 利用斜率证明A，B，C三点共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 2．斜率公式解决范围问题 (1)由倾斜角的大小(或范围)求斜率的值(或范围)利用定义式k＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 解　∵α＝eq \f(π,4)，∴直线l的斜率k＝taneq \f(π,4)＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kP1P2＝kP2P3＝k， ∴eq \f(5－y1,x2－2)＝eq \f(1－5,3－x2)＝1，解得x2＝7，y1＝0. [跟踪训练3]　(1)已知某直线l的倾斜角α＝eq \f(π,4)，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 解　设直线l1上另一点A的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有2＝eq \f(y1－（－1）,x1－1)，即y1＝2x1－3. 不妨取x1＝0，则y1＝－3，于是得点A的坐标为(0，－3)． 过点P(1，－1)及点A(0，－3)作直线即为l1，如图所示． 设直线l2上另一点B的坐标为(x2，y2)， 根据斜率公式有－2＝eq \f(y2－（－1）,x2－1)，即y2＝－2x2＋1. 不妨取x2＝0，则y2＝1，于是得点B(0，1)．过点P(1，－1)及点B(0，1)作直线即为l2，如图所示． 解　如图所示，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 又kAB＝eq \f(3－2,3＋4)＝eq \f(1,7)， kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3)， 所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))). 2．已知A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为eq \f(π,2)，则a，b的值为(　 ) A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1 解析　由直线AB的倾斜角是eq \f(π,2)，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D. 解析　设B(x，0)或B(0，y)，则kAB＝eq \f(4,3－x)或kAB＝eq \f(4－y,3)，由kAB＝2，解得x＝1或y＝－2.所以点B的坐标为(1，0)或(0，－2)． 解　直线AB的斜率kAB＝eq \f(1－2,－4－3)＝eq \f(1,7)； 直线BC的斜率kBC＝eq \f(－1－1,0－（－4）)＝eq \f(－2,4)＝－eq \f(1,2)； 直线CA的斜率kCA＝eq \f(－1－2,0－3)＝eq \f(－3,－3)＝1. 由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角． 一、选择题 1．过点A(1，－3)和B(2，4)的直线的斜率为(　 ) A．1 B．－7 C．7 D.eq \f(1,7) 解析　k＝eq \f(4－（－3）,2－1)＝7. 解析　kAB＝eq \f(m－p,p－m)＝－1，kBC＝eq \f(n－m,m－n)＝－1，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线． 解析　∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝eq \f(m2－1,1－2)>0，∴－1<m<1. 4．若a＝eq \f(ln 2,1)，b＝eq \f(ln 3,2)，c＝eq \f(ln 5,4)，则(　 ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析　eq \f(ln x,x－1)＝eq \f(ln x－0,x－1)表示函数y＝ln x图象上的点(x，y)与点D(1，0)连线的斜率，如图所示．令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图知kDC<kDB<kDA，即c<b<a. 解析　当a≠0，b＝0时，直线表示的是y轴，倾斜角为直角，A正确；当a＝0，b≠0时，直线表示的是x轴，倾斜角为0，B错误；当ab<0时，∵直线过(0，a)，(b，0)，∴斜率k＝eq \f(a－0,0－b)＝－eq \f(a,b)，由于ab<0，∴k>0，∴倾斜角为锐角，故C正确；同理可知D正确．故选ACD. 二、填空题 6．已知A(x，0)，B(2，eq \r(3))两点，且直线AB的倾斜角为eq \f(π,3)，则直线AB的斜率为_______，x的值为________． 解析　斜率k＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，由eq \r(3)＝eq \f(0－\r(3),x－2)，解得x＝1. eq \r(3) 解析　设点P(x，y)，则有eq \f(y－2,x＋1)＝2，且eq \f(y－2,x－3)＝－2，解得x＝1，y＝6，即点P的坐标是(1，6)． 解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)，kMN>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)，kMN<0，则－5<m<1. 解　由题意，直线AB，BC的斜率存在，则kAB＝kBC，即eq \f(a2＋a,2－1)＝eq \f(a3－a2,3－2)， 又a>0，∴整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋eq \r(2)或a＝1－eq \r(2)(舍去)． ∴a的值为1＋eq \r(2). 解 根据题中的条件可画出图形，如图所示， 又可得直线PA的斜率kPA＝－eq \f(3,2)，直线PB的斜率kPB＝eq \f(4,3)， 结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到eq \f(π,2)，故斜率的变化范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))；当直线l由与y轴平行的位置变化到PA的位置时，它的倾斜角由eq \f(π,2)增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))). 综上可知，直线l的斜率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)). 解　设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α. 由0≤4α<π，得0≤α<eq \f(π,4). 由已知，得tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(3,4)， 解得tanα＝eq \f(1,3)(tanα＝－3舍去)，则tan3α＝tan(α＋2α)＝eq \f(tanα＋tan2α,1－tanαtan2α)＝eq \f(13,9)， tan4α＝eq \f(2tan2α,1－tan22α)＝eq \f(24,7)， 即直线l1，l3，l4的斜率分别为eq \f(1,3)，eq \f(13,9)，eq \f(24,7). 1．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为eq \f(3,4)，求l1，l3，l4的斜率． 2．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，3]时，求： (1)eq \f(y,x)的最大值与最小值； (2)eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围． 解　(1)解法一：如图所示，由于点M(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点M(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)． 由于eq \f(y,x)的几何意义是直线OM的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)， ∴可求得eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 解法二：∵y＝－2x＋8， ∴eq \f(y,x)＝eq \f(8,x)－2. 设f(x)＝eq \f(y,x)＝eq \f(8,x)－2，则f(x)在[2，3]上单调递减． 当x＝2时，f(x)max＝2；当x＝3时，f(x)min＝eq \f(2,3). 故eq \f(y,x)的最大值与最小值分别为2，eq \f(2,3). (2)由于eq \f(y＋1,x＋1)＝eq \f(y－（－1）,x－（－1）)，其几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率． 设函数y＝－2x＋8在x∈[2，3]的图象的左、右端点分别为A(2，4)，B(3，2)． ∵kNA＝eq \f(5,3)，kNB＝eq \f(3,4)， ∴eq \f(3,4)≤eq \f(y＋1,x＋1)≤eq \f(5,3). ∴eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,3))). $$